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1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪知識梳理(1)a>0,m,n∈N*,且n>1.(2)a
>0,m,n∈N*,且n>1.3.指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
(1)ar·as=ar+s:a>0,r,s∈R.(2)(ar)s=ars:a>0,r,s∈R.(3)(ab)r=arbr:a>0,b>0,r∈R.4.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式logaN=b?ab=N:a>0,a≠1,N>0.推論:a>0,且a≠1,m,n>0,且m≠1,n≠1,b>0.6.對數(shù)的四則運(yùn)算法則若a>0,a≠1,M>0,N>0,則(1)
loga(MN)=logaM+logaN;(3)logaMn=nlogaM(n∈R).類型一
指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算提煉化簡方向:根式化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,異底化同底.化簡技巧:分與合.注意事項(xiàng):變形過程中字母范圍的變化.例1
化簡:解
原式(2)解
原式=log39-9=2-9=-7.指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算應(yīng)遵循的原則指數(shù)式的運(yùn)算首先注意化簡順序,一般負(fù)指數(shù)先轉(zhuǎn)化成正指數(shù),根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算,其次若出現(xiàn)分式則要注意分子、分母因式分解以達(dá)到約分的目的.對數(shù)運(yùn)算首先注意公式應(yīng)用過程中范圍的變化,前后要等價(jià),熟練地運(yùn)用對數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并結(jié)合對數(shù)恒等式,換底公式是對數(shù)計(jì)算、化簡、證明常用的技巧.類型二
數(shù)的大小比較例2
比較下列各組數(shù)的大?。?1)27
,82;解
∵82=(23)2=26,由指數(shù)函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增知26<27即82<27.(2)log20.4,log30.4,log40.4.解
∵對數(shù)函數(shù)y=log0.4x在(0,+∞)上是減函數(shù),∴l(xiāng)og0.44<log0.43<log0.42<log0.41=0.又冪函數(shù)y=x-1在(-∞,0)上是減函數(shù),即log20.4<log30.4<log40.4.數(shù)的大小比較常用方法:(1)比較兩數(shù)(式)或幾個(gè)數(shù)(式)大小問題是本章的一個(gè)重要題型,主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用及差值比較法與商值比較法的應(yīng)用.常用的方法有單調(diào)性法、圖象法、中間搭橋法、作差法、作商法.
(2)當(dāng)需要比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)均是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時(shí),可將其看成某個(gè)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的函數(shù)值,然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較.(3)比較多個(gè)數(shù)的大小時(shí),先利用“0”和“1”作為分界點(diǎn),即把它們分為
“小于0”,“大于等于0小于等于1”,“大于1”三部分,再在各部分內(nèi)利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小.類型三
指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的綜合應(yīng)用所以1+2x+a·4x>0在(-∞,1]上恒成立.因?yàn)?x>0,指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是使用頻率非常高的基本初等函數(shù),它
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