實驗四MATLAB在方程求解和級數(shù)中的應(yīng)用課件

實驗四MATLAB在方程求解

和級數(shù)中的應(yīng)用

線性映射的迭代與特征向量的計算級數(shù)方程和方程組的求解實驗四MATLAB在方程求解

和級數(shù)中的應(yīng)用線性映射的一、利用MATLAB進行級數(shù)運算的方法和技能在高等數(shù)學(xué)中，級數(shù)一般分為三個部分來敘述，即常數(shù)項級數(shù)的求和和審斂法則、冪級數(shù)的審斂和將函數(shù)展開為冪級數(shù)、傅立葉級數(shù)的性質(zhì)和將函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications一、利用MATLAB進行級數(shù)運算的方法和技能在高等數(shù)學(xué)中，級21.常數(shù)項級數(shù)的求和與審斂在討論常數(shù)項級數(shù)時，一般認為，如果級數(shù)的部分和的極限存在，則稱該級數(shù)收斂，并稱此極限為級數(shù)的和。在MATLAB中，用于級數(shù)求和的命令是symsum()，該命令的應(yīng)用格式為：

symsum(comiterm,v,a,b)其中：comiterm為級數(shù)的通項表達式，v是通項中的求和變量，a和b分別為求和變量的起點和終點。如果a，b缺省，則v從0變到v-1，如果v也缺省，則系統(tǒng)對comiterm中的默認變量求和。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications1.常數(shù)項級數(shù)的求和與審斂在討論常數(shù)項級數(shù)時，一般認為，如果3例1：求級數(shù)，的和。解：利用MATLAB函數(shù)symsum設(shè)計如下程序：clearsymsnf1=(2*n-1)/2^n;f2=1/(n*(2*n+1));I1=symsum(f1,n,1,inf)I2=symsum(f2,n,1,inf)運行結(jié)果為：I1=3I2=2-2*log(2)

NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例1：求級數(shù)，4本例是收斂的情況，如果發(fā)散，則求得的和為inf，因此，本方法就可以同時用來解決求和問題和收斂性問題。例2：求級數(shù)，的和。解：MATLAB程序如下：clearsymsnxf3=sin(x)/n^2;f4=(-1)^(n-1)*x^n/n;I3=symsum(f3,n,1,inf)I4=symsum(f4,n,1,inf)321sinnxIn￥==?NanjingUniversityofPostsandTelecommunications本例是收斂的情況，如果發(fā)散，則求得的和為inf，因此，本方法5運行結(jié)果為：I3=1/6*sin(x)*pi^2I4=log(1+x)從這個例子可以看出，symsum()這個函數(shù)不但可以處理常數(shù)項級數(shù)，也可以處理函數(shù)項級數(shù)。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications運行結(jié)果為：NanjingUniversityofPo62.函數(shù)的泰勒展開級數(shù)是高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的一種重要表示形式，有許多復(fù)雜的函數(shù)都可以用級數(shù)簡單地來表示，而將一個復(fù)雜的函數(shù)展開成冪級數(shù)并取其前面的若干項來近似表達這個函數(shù)是一種很好的近似方法，在學(xué)習(xí)級數(shù)的時候，將一個函數(shù)展開成級數(shù)有時是比較麻煩的，現(xiàn)在介紹利用MATLAB展開函數(shù)的方法。(泰勒級數(shù)逼近計算器taylortool)

NanjingUniversityofPostsandTelecommunications2.函數(shù)的泰勒展開級數(shù)是高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的一種重要表7在MATLAB中，用于冪級數(shù)展開的函數(shù)為taylor()，其具體格式為：

taylor(function,n,x,a)function是待展開的函數(shù)表達式，n為展開項數(shù)，缺省時展開至5次冪，即6項，x是function中的變量，a為函數(shù)的展開點，缺省為0，即麥克勞林展開。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications在MATLAB中，用于冪級數(shù)展開的函數(shù)為taylor()，其8例3：將函數(shù)sin（x）展開為x的冪級數(shù)，分別展開至5次和20次。解：MATLAB程序為：clearsymsxf=sin(x);taylor(f)taylor(f,20)結(jié)果為：ans=x-1/6*x^3+1/120*x^5NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例3：將函數(shù)sin（x）展開為x的冪級數(shù)，分別展開至5次9ans=x-1/6*x^3+1/120*x^5-1/5040*x^7+1/362880*x^9-1/39916800*x^11+1/6227020800*x^13-1/1307674368000*x^15+1/355687428096000*x^17-1/121645100408832000*x^19NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsans=x-1/6*x^3+1/120*x^5-Nanjin10例4：將函數(shù)(1+x)m展開為x的冪級數(shù)，為任意常數(shù)。展開至4次冪。解：MATLAB程序為：clearsymsxmf=(1+x)^m;taylor(f,5)運行結(jié)果為：

ans=1+m*x+1/2*m*(m-1)*x^2+1/6*m*(m-1)*(m-2)*x^3+1/24*m*(m-1)*(m-2)*(m-3)*x^4NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例4：將函數(shù)(1+x)m展開為x的冪級數(shù)，為任意常數(shù)。展開11例5：將函數(shù)展開為的冪級數(shù)。解：MATLAB程序為：clearsymsxf=1/(x^2+5*x-3);taylor(f,5,x,2)pretty(ans)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例5：將函數(shù)展開為12結(jié)果為：ans=29/121-9/121*x+70/1331*(x-2)^2-531/14641*(x-2)^3+4009/161051*(x-2)^429702531340094------9/121x+------(x-2)--------(x-2)+----------(x-2)121133114641161051NanjingUniversityofPostsandTelecommunications結(jié)果為：NanjingUniversityofPost13NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsNanjingUniversityofPostsan14二、線性方程組、非線性方程、非線性方程組的求解。在MATLAB中，由函數(shù)solve()、null()、fsolve()，fzero等來解決線性方程（組）和非線性方程（組）的求解問題，其具體格式如下：X=solve(‘eqn1’,’eqn2’,…,’eqnN’,’var1’,’var2’,…,’varN’)X=fsolve(fun,x0,options)函數(shù)solve用來解符號方程、方程組，以及超越方程，如三角函數(shù)方程等非線性方程。參數(shù)’eqnN’為方程組中的第N個方程，’varN’則是第N個變量。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications二、線性方程組、非線性方程、非線性方程組的求解。在MATLA15函數(shù)null(A)則用來解線性方程組AX=O的基礎(chǔ)解系，實際是求系數(shù)矩陣A的零空間，在null函數(shù)中可加入?yún)?shù)’r’，表示有理基。通過求系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩，可以判定方程組是否有解，以及是否需要求基礎(chǔ)解系。另外，還可以用函數(shù)fzero來求解非線性方程。用法與fsolve類似。

NanjingUniversityofPostsandTelecommunications函數(shù)null(A)則用來解線性方程組AX=O的基礎(chǔ)解系，實際16例1：求解方程的MATLAB程序為：X=solve(‘x^2-x-6=0’,’x’)結(jié)果為：X=3,-2例2：求解方程組的程序為：[X,Y]=solve('x^2+y-6=0','y^2+x-6=0','x','y')結(jié)果為：X=2,-3,1/2-1/2*21^(1/2),1/2+1/2*21^(1/2)Y=2,-3,1/2+1/2*21^(1/2),1/2-1/2*21^(1/2)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications例1：求解方程的MATLA17例3：求解方程組

的程序為：clearformatratA=[5,0,4,2;1,-1,2,1;4,1,2,0;1,1,1,1]；B=[3;1;1;0]；X=A\BNanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsNanjingUniversityofPostsan18例4：求方程組

的通解的程序為：clearformatratA=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3]C=null(A,'r')％求出矩陣A的解空間的有理基。結(jié)果如下：

NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsNanjingUniversityofPostsan19C=25/3-2-4/31001接著，用命令：symsk1k2X=k1*C(:,1)+k2*C(:,2)NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsC=NanjingUniversityofPosts20求出的通解為：X=[2*k1+5/3*k2][-2*k1-4/3*k2][k1][k2]NanjingUniversityofPostsandTelecommunications求出的通解為：NanjingUniversityofP21例5：求方程組的通解的程序為：clearformatratA=sym('[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3]')b=sym('[1;2;2]')B=[A,b]n=length(A(1,:))RA=rank(eval(A))RB=rank(eval(B))NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsNanjingUniversityofPostsan22if(RA==RB&RA==n)X=eval(A\B)％在方程組滿秩時，求出唯一解elseif(RA==RB&RA<n)C=eval(A\b)％在方程組不滿秩時，求出特解D=null(eval(A),‘r’)％求出矩陣A的零空間的基，即方程組的基礎(chǔ)解系symsk1k2X=k1*D(:,1)+k2*D(:,2)+C％求出方程組的全部解elsefprintf('NoSolutionfortheEquations')endNanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsNanjingUniversityofPostsan23現(xiàn)在轉(zhuǎn)而來看非線性方程組的求解，對于非線性方程組，用函數(shù)fsolve來求解。例6：求解非線性方程組時，采用如下的方法，先建立存放函數(shù)的m文件，文件名必須與函數(shù)名一致，這里就應(yīng)該為fun.m，內(nèi)容如下：NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsNanjingUniversityofPostsan24functiony=fun

(x)y(1)=x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2))y(2)=x(2)-0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))接著，我們建立另一個m文件fsolve1.m，其內(nèi)容為：clearformatshortx0=[0.1,0.1]fsolve(@fun,x0,optimset(‘fsolve’))％這里的optimset(‘fsolve’)部分是優(yōu)化設(shè)置，可以不用結(jié)果是：0.5414，0.3310。

NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsNanjingUniversityofPostsan25三線性映射的迭代與特征向量的計算1.定義關(guān)系式將向量映射為向量NanjingUniversityofPostsandTelecommunications三線性映射的迭代與特征向量的計算1.定義關(guān)系26寫成矩陣形式其中分別為與，A為m×m矩陣形如y=Ax的映射稱為線性映射.給出一個初始向量,將上述映射反復(fù)作用可得序列：，，，…，，…我們將這一過程稱為線性映射的迭代，其中矩陣A稱為迭代矩陣。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications寫成矩陣形式其中分別為272.天氣問題問題1某地區(qū)的天氣可分為兩種狀態(tài)：晴、陰雨.若今天的天氣為晴，則明天晴的概率為3/4，陰雨的概率為1/4；如果今天為陰雨天，則明天晴的概率為7/18，陰雨的概率為11/18.我們可以用一矩陣來表示這種變化，矩陣稱為轉(zhuǎn)移矩陣（這些概率可以通過觀察該地區(qū)以往幾年每天天氣變化的測量數(shù)據(jù)來確定）試根據(jù)這些數(shù)據(jù)來判斷該地區(qū)的天氣變化情況NanjingUniversityofPostsandTelecommunications2.天氣問題問題1某地區(qū)的天氣可分為兩種狀態(tài)：晴、陰雨.28設(shè)某天是晴的概率為，陰雨的概率為，這一天的天氣狀態(tài)用向量來表示，k天之后的天氣狀態(tài)用向量來表示.則由全概率公式可以得到：即可得NanjingUniversityofPostsandTelecommunications設(shè)某天是晴的概率為，陰雨的概率為29下面我們來求解，設(shè)

A1=[3/4,7/18;1/4,11/18];p=[0.5;0.5];fori=1:20p(:,i+1)=A1*p(:,i);endp得到p=NanjingUniversityofPostsandTelecommunications下面我們來求解，設(shè)A1=[3/4,7/18;1/4,11/30

Columns1through60.50000.56940.59450.60360.60680.60800.50000.43060.40550.39640.39320.3920Columns7through120.60850.60860.60870.60870.60870.60870.39150.39140.39130.39130.39130.3913Columns13through180.60870.60870.60870.60870.60870.60870.39130.39130.39130.39130.39130.3913Columns19through210.60870.60870.60870.39130.39130.3913NanjingUniversityofPostsandTelecommunicationsColumns1through6Nanjing31第8天之后，晴、陰雨的概率便穩(wěn)定下來，均約等于問題：這個穩(wěn)定值是否與p0有關(guān)？是否與A1有關(guān)？由于，因此有.由線性代數(shù)的知識我們知道，如存在等式說明A1有一特征值1，而恰是其對應(yīng)的特征向量。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications第8天之后，晴、陰雨的概率便穩(wěn)定下來，均約等于32命令[P,D]=eig(A1)可求得p=0.8412-0.70710.54080.7071d=1.0000000.3611說明A1確有一特征值是1，而對應(yīng)的特征向量是(0.8412,0.5408)T,與算得的差距較大。思考：如何解釋這種差異？實際上，通過計算可得(0.6087,0.3913)T=0.7236(0.8412,0.5408)TNanjingUniversityofPostsandTelecommunications命令[P,D]=eig(A1)可求得d=說明A1確有一特33能不能直接計算出p(k)呢？如果A1有兩個不同的特征值（前面計算已知），這個問題容易解決（見板書）由命令[P,D]=eig(sym(A1))可求得A1的特征向量與特征值的精確值，解方程組可得u,v，從而得到p(k)。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications能不能直接計算出p(k)呢？如果A1有兩個不同的特征值（343.平面線性映射迭代(m=2的情況)取，我們編程觀察點列構(gòu)成的圖形A=[4,2;1,3];x=[1;2];t=[];fori=1:20x=A*x;t(i,1:2)=x;endplot(t(1:20,1),t(1:20,2),’*’)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications3.平面線性映射迭代(m=2的情況)取35由圖形可以看出，迭代序列不收斂，但點列似乎呈線性分布?，F(xiàn)在求序列的一般項由命令[P,D]=eig(sym(A))，得到P=[-1,2][1,1]D=[2,0][0,5]于是AP=PD，或A=PDP-1NanjingUniversityofPostsandTelecommunications由圖形可以看出，迭代序列不收斂，但點列似乎呈線性分布?，F(xiàn)在求36最后的計算留著作業(yè)NanjingUniversityofPostsandTelecommunications最后的計算留著作業(yè)NanjingUniversityof374.線性迭代的極限性質(zhì)對于前例，隨機任取一些初始向量，將迭代得到的所有向量畫在一張圖中A=[4,2;1,3];t=[];fori=1:20x=2*rand(2,1)-1;t(length(t)+1,1:2)=x;forj=1:40x=A*x;t(length(t)+1,1:2)=x;endendplot(t(:,1),t(:,2),'*')grid('on')NanjingUniversityofPostsandTelecommunications4.線性迭代的極限性質(zhì)對于前例，隨機任取一些初始向量，將迭代38這些點在一條直線上？如果是這樣，那么它們的兩個分量的比值應(yīng)該相等或差異不大，請驗證！NanjingUniversityofPostsandTelecommunications這些點在一條直線上？如果是這樣，那么它們的兩個分量的比值應(yīng)該394.線性迭代的歸一化線性迭代序列不一定收斂，由前面討論知道，迭代序列不收斂時，序列分量似乎有趨于無窮大的傾向。如果我們關(guān)心的僅僅是序列每個分量絕對值的大小關(guān)系，而不是它們的具體數(shù)值，此時每個分量可以同時除以某一個數(shù)。如果每次除以絕對值最大的那個分量，以保證絕對值最大的分量等于1，這個過程稱為歸一化。這個過程便是：NanjingUniversityofPostsandTelecommunications4.線性迭代的歸一化線性迭代序列不一定收斂，由前面討論知道，40…………..…………..NanjingUniversityofPostsandTelecommunications…………..…………..NanjingUniversity41這樣得到的序列{yn}是否收斂呢？如果{yn

}的極限存在，那么m(xn)的極限也存在，(知道為什么嗎？)設(shè)它們極限分別為y與，容易推導(dǎo)出即說明是A的特征值，而y是對應(yīng)的特征向量。NanjingUniversityofPostsandTelecommunications這樣得到的序列{yn}是否收斂呢？如果{yn}42定理 9.1設(shè)m階實方陣A有m個線性無關(guān)的特征向量，A的m個特征值滿足下列關(guān)系：則對任意的非零初始向量,按上述迭代過程得到及，有：（其中a是一個非零常數(shù)），NanjingUniversityofPostsandTelecommunications定理 9.1設(shè)m階實方陣A有m個線性無關(guān)的特征向Nanj43比賽名次問題六名選手A、B、C、D、E和F進行圍棋單循環(huán)比賽，其比賽結(jié)果如下：A戰(zhàn)勝B、D、E、F；B戰(zhàn)勝D、E、F；C戰(zhàn)勝A、B、D；D戰(zhàn)勝E、F；E戰(zhàn)勝C、F；F戰(zhàn)勝C.請你給六名選手排一個合理的名次.NanjingUniversityofPostsandTelecommunications比賽名次問題六名選手A、B、C、D、E和F進行圍棋單循環(huán)比44按通常的方法可以給選手們排一個初步的名次.即每戰(zhàn)勝一名選手得1分，按總得分排名次.六名選手的得分排成一個向量為：我們得到的初步名次為：1：A；2、3：B、C；4、5：D、E；6：F.

那么，這樣排名次是否合理？并列名次怎么處理？NanjingUniversityofPostsandTelecommunications按通常的方法可以給選手們排一個初步的名次.即每我們得到的初步45我們排名次的一個重要根據(jù)是每戰(zhàn)勝一名選手得1分.事實上，這一根據(jù)并不十分合理，勝“強者”的得分比勝“弱者”的得分應(yīng)該高.那么，誰是“強者”，誰是“弱者”呢？得分又應(yīng)該給多少呢？NanjingUniversityofPostsandTelecommunications我們排名次的一個重要根據(jù)是每戰(zhàn)勝一名NanjingUniv46我們可以按初步得到的得分S1,判定強弱，得分就按照s1的分量大小給定.比如，A勝了B、D、E、F，而s1中對應(yīng)于B、D、E、F的分量分別為3,2,2,1.所以A的得分分別為3,2,2,1A的總得分為.類似地可得出其它選手的得分，于是得到得分向量s2=(8,5,9,3,4,3)將上述過程進行下去，編程計算sk,k=3,4,5,…如何給出各選手的最終名次？一個直觀的想法是計算sk的極限，如果極限存在，我們可以依照極限來排名次.NanjingUniversityofPostsandTelecommunications我們可以按初步得到的得分S1,判定強弱，得分就按照s1的分47按照前面