南昌大學(xué)概率論邊緣分布課件

小結(jié)聯(lián)合分布函數(shù)離散型連續(xù)型——聯(lián)合分布列——聯(lián)合概率密度X與Y的聯(lián)合分布非負(fù)性規(guī)范性1小結(jié)聯(lián)合離散型——聯(lián)合分布列X與Y的聯(lián)合分布題某產(chǎn)品８件,其中有２件次品.每次從中抽取一件,不放回，抽取兩次,分別以X、Y表示第一、二次取到的次品件數(shù),試求(X,Y)的分布律．(X,Y)的所有取值為(i,j),i,j=0,1由乘法公式有解XY01012題某產(chǎn)品８件,其中有２件次品.每次從中抽取一件,不放回，抽

二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律.而單個(gè)隨機(jī)變量X,Y也具有自己的概率分布.那么要問:二者之間有什么關(guān)系呢?這一節(jié)里,我們就來探求這個(gè)問題.§3.2邊緣分布3二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機(jī)變量這一節(jié)二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體,具有分布函數(shù)而和都是隨機(jī)變量,也有各自的分布函數(shù),分別記為變量(X,Y)關(guān)于

X和Y的邊緣分布函數(shù).依次稱為二維隨機(jī)一、邊緣分布函數(shù)說明,已知聯(lián)合分布函數(shù),可以確定邊緣分布函數(shù).4二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體,具有分布函數(shù)而邊緣分布的幾何意義：FX(x)的函數(shù)值表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落入如下左圖所示區(qū)域內(nèi)的概率；

FY(y)的函數(shù)值表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落入如下右圖所示區(qū)域內(nèi)的概率。OxxOxyyy5邊緣分布的幾何意義：FX(x)的函數(shù)值表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落解(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)

6解(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)6二、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為:P{X=xi,Y=yj}=pij(i,j=1,2,…)則:P{X=xi}=P{X=xi,Y<+

}=pi·7二、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布二維離散型隨同理:分別稱pi·(i=1,2,…)和p·j(j=1,2,…)為X和Y的邊緣分布律

另有:=p·jFY(y)=F(+

,y)FX(x)=F(x,+

)點(diǎn)·

表示pij對(duì)于該點(diǎn)所在位置的變量求和8同理:分別稱pi·(i=1,2,…)和99例1設(shè)(X,Y)的分布律如下:YX012011/41/61/81/41/81/12

求X和Y的邊緣分布律10例1設(shè)(X,Y)的分布律如下:YX0解:X的邊緣分布律:,i=0,i=1,i=2,j=0,j=1Y的邊緣分布律:pi·=p·j=11解:X的邊緣分布律:,i=0,i=1,i或直接在表格上:YX012p·j011/41/61/81/41/81/12pi·1/27/245/2413/2411/2412或直接在表格上:YX012FX(

x

)=F(x,+

)X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y

),則(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為三、連續(xù)型二維隨機(jī)變量的邊緣概率密度(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為13FX(x)=F(x,+)X和Y的聯(lián)合分布函例2設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求:X和Y的邊緣概率密度解:0,其它=0≤x≤114例2設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求:X和Y的邊緣概率=0,其它0≤y≤2

在求連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度時(shí)，往往要對(duì)聯(lián)合密度在一個(gè)變量取值范圍上進(jìn)行積分.當(dāng)聯(lián)合密度是分段函數(shù)時(shí)，在計(jì)算積分時(shí)應(yīng)特別注意積分限.

15=0,其它0≤y≤2在求連續(xù)型隨機(jī)變題

設(shè)(X,Y)的概率密度是解求邊緣密度.分段函數(shù)積分應(yīng)注意其表達(dá)式

yx01y

=

xy

=

x216題設(shè)(X,Y)的概率密度是解求邊緣密度.分

yx-a0

a

例3

設(shè)(X,Y

)服從橢圓域上的均勻分布,求(1)

求(X,Y

)的邊緣密度函數(shù)解(1)由題知(X,Y)的概率密度為同理可得(2)

(2)

,其中A為區(qū)域:X與Y不服從均勻分布二維均勻分布的兩個(gè)邊緣密度未必是均勻分布的二維正態(tài)分布的邊緣密度仍服從正態(tài)分布

yxa0

a

Gx+y=a17yx-a0

二維正態(tài)分布的邊緣分布仍是正態(tài)分布例4設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,其概率密度為:求:X和Y的邊緣概率密度

<x<+

,

<y<+

,18二維正態(tài)分布的邊緣分布仍是正態(tài)例4解:令,得:19解:令,得:19同理,得:可見,(X,Y)～N(

1,

2,

12,

22,

)

X~N(

1,

12),Y~N(

2,

22)20同理,得:可見,(X,Y)～N(1,2,12,22

說明對(duì)于確定的

1,

2,

1,

2,當(dāng)

不同時(shí)，對(duì)應(yīng)了不同的二維正態(tài)分布。對(duì)這個(gè)現(xiàn)象的解釋是:邊緣概率密度只考慮了單個(gè)分量的情況,而未涉及X與Y之間的關(guān)系.

(X1,X2)～N(

1,

2,,

)

X1～X2～(與參數(shù)

無關(guān))21說明對(duì)于確定的1,2,1,2,當(dāng)不同時(shí)，對(duì)應(yīng)了例5若二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求邊緣密度函數(shù)

解同理～～二維正態(tài)分布性質(zhì)二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣密度仍是正態(tài)分布的正態(tài)分布的聯(lián)合分布未必是正態(tài)分布但反之不真22例5若二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求邊緣密度函數(shù)