微分方程式的建立與求解市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

§2.2微分方程式

建立與求解第1頁第1頁主要內(nèi)容物理系統(tǒng)模型微分方程列寫n階線性時不變系統(tǒng)描述求解系統(tǒng)微分方程典型法復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程典型法第2頁第2頁一．物理系統(tǒng)模型許多實際系統(tǒng)能夠用線性系統(tǒng)來模擬。若系統(tǒng)參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)能夠用線性常系數(shù)微分方程來描述。第3頁第3頁二．微分方程列寫依據(jù)實際系統(tǒng)物理特性列寫系統(tǒng)微分方程。對于電路系統(tǒng)，主要是依據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓撲約束列寫系統(tǒng)微分方程。元件特性約束：表征元件特性關(guān)系式。比如二端元件電阻、電容、電感各自電壓與電流關(guān)系以及四端元件互感初、次級電壓與電流關(guān)系等等。

網(wǎng)絡(luò)拓撲約束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定電壓電流約束關(guān)系,KCL，KVL。第4頁第4頁三．n階線性時不變系統(tǒng)描述

一個線性系統(tǒng)，其激勵信號與響應(yīng)信號之間關(guān)系，能夠用下列形式微分方程式來描述若系統(tǒng)為時不變，則C，E均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)n階線性常微分方程。階次：方程階次由獨立動態(tài)元件個數(shù)決定。第5頁第5頁四．求解系統(tǒng)微分方程典型法分析系統(tǒng)辦法：列寫方程，求解方程。

求解方程時域典型法就是：齊次解+特解。

第6頁第6頁§2-2系統(tǒng)微分方程及其典型解任何LTI連續(xù)時間系統(tǒng)，n階一元常系數(shù)微分方程普通式為：全解=齊次解+特解通解普通式為：特性方程為：典型法求解該方程：齊次解rn(t)是齊次方程通解：第7頁第7頁該一元n次方程n個特性根為：自然頻率固有頻率討論通解形式：1

i為互異實根：2

1有k重根：其中

1為k重根，j為單根特解形式：依據(jù)激勵查表2-1得rf(t)全解形式：求系數(shù)Ci,cj第8頁第8頁例1：求齊次解：解：該微分方程特性方程為：解得特性根：齊次解為：例3：求齊次解：解：二重根第9頁第9頁例４：方程為：若激勵為：求其特解rf(t).查表2-1得相應(yīng)特性解為：代入原微分方程得：等式兩邊同次冪系數(shù)相等：第10頁第10頁例5：方程為：求：當(dāng)時全解解：特性方程為因此齊次解為：與例４相同：因此全解其一階導(dǎo)為：t=0時初值代入：全解:第11頁第11頁1齊次解：其形式與激勵e(t)無關(guān)，僅依賴于系統(tǒng)本身特性――＞自由響應(yīng)或固有響應(yīng)，系數(shù)ci，cj與激勵相關(guān)．2特解形式：由激勵信號決定――＞逼迫響應(yīng)．第12頁第12頁齊次解：由特性方程→求出特性根→寫出齊次解形式注意重根情況處理辦法。特解：依據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。典型法例題全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解。第13頁第13頁我們普通將激勵信號加