數(shù)學(xué)人教A版高中必修一（2019新編）2-1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第1課時(shí)）（分層作業(yè)）

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第1課時(shí)）（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某電腦用戶計(jì)劃使用不超過(guò)500元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60元?70元的單片軟件和盒裝磁盤.根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購(gòu)方式共有（

）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種【答案】C【分析】根據(jù)題意，，，考慮，，，四種情況，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)軟件片，磁盤盒，，則，，.當(dāng)時(shí)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，滿足條件；故共有7種方案.故選：C.2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工每人需付工資800元，請(qǐng)瓦工每人需付工資700元，現(xiàn)工人工資預(yù)算為20000元，設(shè)請(qǐng)木工人，瓦工人，則，滿足的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件直接列出不等式即可判斷作答.【詳解】因請(qǐng)木工每人需付工資800元，木工人，則需付木工工資元，因請(qǐng)瓦工每人需付工資700元，瓦工人，則需付瓦工工資元，于是得完成這項(xiàng)裝修工程，共需付工資()元，而工人工資預(yù)算為20000元，因此有：800x+700y≤20000，即8x+7y≤200，所以，滿足的關(guān)系式是：.故選：D3．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)a＞b＞1，y1，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（

）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1【答案】C【分析】利用作差法先比較y1，y2，再比較y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小關(guān)系.【詳解】解：由a＞b＞1，有y1﹣y20，即y1＞y2，由a＞b＞1，有y2﹣y30，即y2＞y3，所以y1＞y2＞y3，故選：C.4．（2020·湖北·襄陽(yáng)市第二十四中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，那么的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用作差法比較大小.【詳解】解：，，．，．．故選：B．5．（2021·湖北·華中科技大學(xué)附屬中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖兩種廣告牌，其中圖（1）是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的，圖（2）是一個(gè)矩形，從圖形上確定這兩個(gè)廣告牌面積的大小關(guān)系，并將這種關(guān)系用含字母的不等式表示出來(lái)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形的面積計(jì)算公式、矩形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：圖（1）是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的，面積．圖（2）是一個(gè)矩形，面積．可得：．故選：A6．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在一個(gè)面積為200m2的矩形地基上建造一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，四周是綠地，倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)a大于寬b的4倍，則表示上述的不等關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知條件及矩形面積公式即可求解.【詳解】解：由題意知，根據(jù)面積公式可以得到.故選:C．7．（2021·重慶十八中高一期中）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，為了慶祝建黨100周年，學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買一些氣球來(lái)布置會(huì)場(chǎng)，已知購(gòu)買的氣球一共有紅?黃?藍(lán)?綠四種顏色，紅色多于藍(lán)色，藍(lán)色多于綠色，綠色多于黃色，黃色的兩倍多于紅色，則購(gòu)買的氣球最少有（

）個(gè)A．20 B．22 C．24 D．26【答案】B【分析】分別設(shè)紅?黃?藍(lán)?綠各有，，，個(gè)，根據(jù)題意列出不等式可分別求出范圍，即可求出.【詳解】分別設(shè)紅?黃?藍(lán)?綠各有，，，個(gè)，且，，，為正整數(shù)，則由題意得，，，，可得，所以，，，即至少有個(gè).故選：B.二、概念填空8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，則m，n的大小關(guān)系是___________．【答案】【詳解】∵∴故答案為：9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）實(shí)數(shù)大小比較的基本事實(shí)如果是___________，那么；如果等于___________，那么；如果是___________，那么．反過(guò)來(lái)也對(duì)．這個(gè)基本事實(shí)可以表示為：___________；___________；___________．【答案】

正數(shù)

0

負(fù)數(shù)

三、填空題10．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）請(qǐng)根據(jù)“糖水加糖變得更甜了”提煉出一個(gè)不等式：______（設(shè)糖水為a克，含糖為b克，加入的糖為m克）．【答案】【分析】克糖水中有克糖，若再添克糖，濃度發(fā)生了變化，只要分別計(jì)算出添糖前后的濃度進(jìn)行比較即得．【詳解】克糖水中有克糖，糖水的濃度為：；克糖水中有克糖，若再添克糖，則糖水的濃度為，又糖水變甜了，說(shuō)明濃度變大了，，，，，.故答案為：，11．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（x+1）（x+5）與（x+3）2的大小關(guān)系為_(kāi)_.【答案】（x+1）（x+5）＜（x+3）2【分析】作差，判斷差的符號(hào)，即可得到答案.【詳解】解：（x+1）（x+5）﹣（x+3）2＝﹣4＜0，∴（x+1）（x+5）＜（x+3）2，故答案為：（x+1）（x+5）＜（x+3）212．（2021·河南·高一階段練習(xí)）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立周年，某校為了慶祝建黨周年，組織了一系列活動(dòng)，其中紅歌會(huì)比賽就是其中一項(xiàng).已知高一年級(jí)選手人數(shù)多于高二年級(jí)選手人數(shù)，高二年級(jí)選手人數(shù)多于高三年級(jí)選手人數(shù)，高三年級(jí)選手人數(shù)多于教師選手人數(shù)，教師選手人數(shù)的倍多于高一年級(jí)選手人數(shù)，則參加紅歌會(huì)的選手至少有___________人.【答案】【分析】設(shè)高一年級(jí)選手人數(shù)?高二年級(jí)選手人數(shù)?高三年級(jí)選手人數(shù)?教師選手人數(shù)分別為，根據(jù)條件列不等式求解即可.【詳解】設(shè)高一年級(jí)選手人數(shù)?高二年級(jí)選手人數(shù)?高三年級(jí)選手人數(shù)?教師選手人數(shù)分別為，且為正整數(shù)，則，從而，解得故選手至少有人.四、解答題13．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）用一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)為18m，靠墻的一邊長(zhǎng)為xm.（1）若要求菜園的面積不小于110m2，試用不等式組表示其中的不等關(guān)系;（2）若矩形的長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)11m，試求x滿足的不等關(guān)系.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由邊長(zhǎng)表示出面積，再由邊長(zhǎng)與面積的范圍求解即可；（2）由長(zhǎng)與寬的范圍都不超過(guò)11m，求解即可【詳解】（1）因?yàn)榫匦尾藞@靠墻的一邊長(zhǎng)為，而墻長(zhǎng)為，所以，這時(shí)菜園的另一邊長(zhǎng)為，，所以菜園的面積，依題意有，即，故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為（2）因?yàn)榫匦蔚牧硪贿呴L(zhǎng)，所以，又，且，所以.14．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）比較與)的大小.【答案】【分析】做差化簡(jiǎn)，分情況討論比較大小.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，即；當(dāng)時(shí)，，，即；綜上所得.15．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，證明：.【分析】利用作差法即得.【詳解】∵，，，即.16．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，證明：.【分析】利用作差法即得.【詳解】∵，，，，.【能力提升】一、單選題1．（2021·云南·曲靖市關(guān)工委麒麟希望學(xué)校高一階段練習(xí)）生活中有這樣一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：如果一杯糖水不夠甜，可以選擇加糖的方式，使得糖水變得更甜．若，則下列數(shù)學(xué)模型中最能刻畫(huà)“糖水變得更甜”的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可得糖水甜可用濃度體現(xiàn)，設(shè)糖的量為，糖水的量設(shè)為，添加糖的量為，對(duì)照選項(xiàng)，即可得到結(jié)論．【詳解】由題意，若，設(shè)糖的量為，糖水的量設(shè)為，添加糖的量為，選項(xiàng)A，C不能說(shuō)明糖水變得更甜，糖水甜可用濃度體現(xiàn)，而，能體現(xiàn)糖水變甜；選項(xiàng)D等價(jià)于，不成立，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式在實(shí)際生活中的運(yùn)用，考查不等式的等價(jià)變形，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、多選題2．（2021·廣東·小欖中學(xué)高一階段練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】BD【分析】A特殊值法判斷；B由結(jié)合不等式性質(zhì)判斷；C作差法判斷；D由或時(shí)的大小情況判斷.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，不成立，錯(cuò)誤；B：由，有，則，正確；C：由，則，錯(cuò)誤；D：若或，有，與題設(shè)矛盾，故，正確.故選：BD三、填空題3．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某校的一個(gè)志愿者服務(wù)隊(duì)由高中部學(xué)生組成，成員同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（1）高一學(xué)生人數(shù)多于高二學(xué)生人數(shù)；（2）高二學(xué)生人數(shù)多于高三學(xué)生人數(shù)；（3）高三學(xué)生人數(shù)的3倍多于高一高二學(xué)生人數(shù)之和若高一學(xué)生人數(shù)為7，則該志愿者服務(wù)隊(duì)總?cè)藬?shù)為_(kāi)_________．【答案】18【詳解】分析：設(shè)高二學(xué)生人數(shù)為，高三學(xué)生人數(shù)為，根據(jù)題意列不等式，根據(jù)不等式的解為整數(shù)，可得符合條件的有六組解，逐一驗(yàn)證，即可得結(jié)果.詳解：設(shè)高二學(xué)生人數(shù)為，高三學(xué)生人數(shù)為，則由②可知，，結(jié)合①可知，，共有種，取法，逐一代入②驗(yàn)證，可得只有滿足，，該志愿者服務(wù)隊(duì)總?cè)藬?shù)為人，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查分類討論思想、不等式的應(yīng)用以及整數(shù)解的問(wèn)題，求解整數(shù)解得的問(wèn)題，往往根據(jù)不等關(guān)系初步判斷出有限個(gè)（組）解，然后逐一驗(yàn)證排除即可.4．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）用錘子以均勻的力敲擊鐵釘進(jìn)入木板．隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力會(huì)越來(lái)越大，使得每次釘入木板的釘子長(zhǎng)度為前一次的(k∈N*)，已知一個(gè)鐵釘受擊3次后全部進(jìn)入木板，且第一次受擊后進(jìn)入木板部分的鐵釘長(zhǎng)度是釘長(zhǎng)的，試從中提煉出一個(gè)不等式組．(釘帽厚度不計(jì))【答案】【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二元一次不等式組的建立，關(guān)鍵是要從已知的題目中找出不等關(guān)系，并用不等式表達(dá)出來(lái)．【詳解】解：依題意，且三次后全部進(jìn)入，即，故不等式組為故答案為【點(diǎn)睛】在使用不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵的步驟是仔細(xì)分析題意，從題目中找到合適的變量及不等關(guān)系，并用不等式（組將數(shù)量間的不等關(guān)系正確表達(dá)出來(lái)，在表達(dá)時(shí)要注意變量的取值范圍，特別在實(shí)際問(wèn)題中，要實(shí)際問(wèn)題實(shí)際考慮．四、雙空題5．（2020·全國(guó)·高一單元測(cè)試）為滿足人民群眾便利消費(fèi)、安全消費(fèi)、放心消費(fèi)的需求，某社區(qū)農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)管理部門規(guī)劃建造總面積為的新型生鮮銷售市場(chǎng)．市場(chǎng)內(nèi)設(shè)蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類店面共80間．每間蔬菜水果類店面的建造面積為，月租費(fèi)為萬(wàn)元；每間肉食水產(chǎn)店面的建造面積為，月租費(fèi)為0.8萬(wàn)元．全部店面的建造面積不低于總面積的80%，又不能超過(guò)總面積的85%．①兩類店面間數(shù)的建造方案為_(kāi)________種．②市場(chǎng)建成后所有店面全部租出，為保證任何一種建設(shè)方案平均每間店面月租費(fèi)不低于每間蔬菜水果類店面月租費(fèi)的90%，則的最大值為_(kāi)________萬(wàn)元．【答案】

16

1【解析】（1）設(shè)蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類店分別為，根據(jù)條件建立不等關(guān)系和相等關(guān)系，求解，確定解的個(gè)數(shù)；（2）平均每間店的收入不低于每間蔬菜水果類店面月租費(fèi)的90%建立不等式，根據(jù)不等式恒成立求的最大值即可.【詳解】設(shè)蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類店分別為,（1）由題意知，，化簡(jiǎn)得：，又，所以，解得：，共種；（2）由題意知，，，，，即的最大值為1萬(wàn)元，故答案為：16；1【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，屬于難題.6．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)是青年學(xué)生按照學(xué)校培養(yǎng)目標(biāo)的要求，利用節(jié)假日等課余時(shí)間參與社會(huì)政治、經(jīng)濟(jì)、文化生活的教育活動(dòng).通過(guò)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，可以使學(xué)生豐富對(duì)國(guó)情的感性認(rèn)識(shí)，加深對(duì)社會(huì)、對(duì)人民群眾的了解，從而增強(qiáng)擁護(hù)和執(zhí)行黨的基本路線的自覺(jué)性；可以使學(xué)生在接觸實(shí)際的過(guò)程中鞏固和深化課堂知識(shí)，鍛煉和增強(qiáng)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.某學(xué)校要建立社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組，小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；②女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；③教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).若男學(xué)生人數(shù)為，則女學(xué)生人數(shù)的最小值為_(kāi)__________；若男學(xué)生人數(shù)未知，則該小組人數(shù)的最小值為_(kāi)__________.【答案】

【分析】設(shè)男學(xué)生、女學(xué)生、教師的人數(shù)分別為、、，可得出，當(dāng)時(shí)，討論的取值，結(jié)合不等式的性質(zhì)可求得的最小值；當(dāng)?shù)闹滴粗獣r(shí)，討論的取值，結(jié)合不等關(guān)系可求得的最小值.【詳解】設(shè)男學(xué)生、女學(xué)生、教師的人數(shù)分別為、、，則.若，則，可得，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，即男學(xué)生人數(shù)為，則女學(xué)生人數(shù)的最小值為；若的值未知，當(dāng)時(shí)，則，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，則，不合乎題意，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，，則，合乎題意.故當(dāng)男學(xué)生人數(shù)未知，則該小組人數(shù)的最小值為.故答案為：；.五、解答題7．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，試比較與的值的大?。敬鸢浮繒r(shí)，；時(shí)，．【分析】用做差法比較可得答案.【詳解】，可得，當(dāng)時(shí)，，，則，即；當(dāng)時(shí)，，則，即．綜上可得時(shí)，；時(shí)，．8．（2021·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）船在流水中航行，在甲地與乙地間來(lái)回行駛一次的平均速度和船在靜水中的速度是否相等，為什么？【答案】船在流水中來(lái)回行駛一次的平均速度與船在靜水中的速度不相等，平均速度小于船在靜水中的速度【分析】設(shè)甲地與乙地的距離為S，船在靜水中的速度為u，水流速度為v(u>v>0)，分別求得平均速度，作差，判斷符號(hào)可得結(jié)論.【詳解】解：設(shè)甲地與乙地的距離為S，船在靜水中的速度為u，水流速度為v(u>v>0)，則船在流水中在甲地和乙地間來(lái)回行駛一次的時(shí)間，平均速度，∵，∴因此，船在流水中來(lái)回行駛一次的平均速度與船在靜水中的速度不相等，平均速度小于船在靜水中的速度.9．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）比較下列各題中兩個(gè)代數(shù)式值的大?。?1)與；(2)與．【答案】(1)(2)【分析】利用作差法得出大小關(guān)系.(1)因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).即(2)因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).故.10．（2021·貴州畢節(jié)·高一階段練習(xí)）（1）比較和的大?。唬?）已知，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用作差法比較大小；（2）直接利用不等式的性質(zhì)求出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，故?1．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大小.（1）與，；（2）與.【答案】（1）；（2）.【解析】利用作差法求解即可.【詳解】（1），，且，，.，即.（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又，，..【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用作差法比較大小，屬于較難題.12．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)試證:對(duì)任意實(shí)數(shù)有【分析】