常用概率分布

第五章：

常用概率分布1一、二項(xiàng)分布

二、Poisson分布

三、正態(tài)分布常見隨機(jī)變量的分布：連續(xù)型變量離散型變量2第一節(jié)

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用1.1二項(xiàng)分布的概念和函數(shù)1.2二項(xiàng)分布的特征1.3

二項(xiàng)分布的應(yīng)用3一、二項(xiàng)分布的概念

和概率函數(shù)4

在醫(yī)學(xué)研究中，許多觀察或試驗(yàn)的可能結(jié)果可以歸結(jié)為二個相互排斥的結(jié)果。如檢查的結(jié)果為“陽性”或”陰性”，治療結(jié)果可分為“有效”或

“無效”，也可為

“生存”或“死亡”等。5舉例：0例有效的概率是多大？1例有效的概率是多大？2例有效的概率是多大？3例都有效的概率是多大？臨床上用針炙治療某型頭痛，有效的概率為60%；現(xiàn)以該法治療患者3例，其中：6摸球模型一個袋子里有5個乒乓球，其中2個黃球、3個白球，我們進(jìn)行摸球游戲，每次摸1球，放回后再摸。先后摸100次，請問：

⑴摸到0次黃球的概率是多大？解：①每次摸到白球的概率=0.6②第1次摸到白球的概率=0.6第2次摸到白球的概率=0.6第100次摸到白球的概率=0.6③

100次摸到0次黃球的概率=0.6×0.6×…×0.6=0.6100…7

⑵先后摸100次，摸到3次黃球的概率是多大？解：①每次摸到黃球的概率=0.4黃白黃白黃白白…白概率=(0.4)3(0.6)97③100次摸到3次黃球的概率=(0.4)3(0.6)97+(0.4)3(0.6)97+(0.4)3(0.6)97+…

= C1003(0.4)3(0.6)97…每次摸到白球的概率=0.6②黃黃黃白白白白…白黃白黃黃白白白…白概率=(0.4)3(0.6)97概率=(0.4)3(0.6)978⑶先后摸100次，摸到x次黃球的概率是多大？解：100次摸到x次黃球的概率=C100x

(0.4)x(0.6)100-x100次摸到3次黃球的概率=C1003(0.4)3(0.6)97⑷先后摸n次，摸到x次黃球的概率是多大？n次摸到x次黃球的概率=Cnx

(0.4)x(0.6)n-x解：⑷如果摸到黃球的概率不是0.4，而是π，先后摸n次，摸到x次黃球的概率是多大？n次摸到x次黃球的概率=Cnx

(π)x(1-π)n-x解：9小結(jié)：摸球模型二分類：每次摸球都有兩種可能的結(jié)果（黃球或白球）獨(dú)立：每次摸球都是彼此獨(dú)立的重復(fù)：每次摸到黃球的概率都是π、摸到白球的概率都是1-π所以，先后摸n次，摸到x次黃球的概率為：n次摸到x次黃球的概率=Cnx

(π)x(1-π)n-x10二項(xiàng)分布的概念：若變量X在n此獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中，具有：1．每次實(shí)驗(yàn)只能產(chǎn)生相互對立的兩種結(jié)果之一。2．已知發(fā)生某一結(jié)果發(fā)生的概率為π，其對立結(jié)果發(fā)生的概率為1-π。3．各實(shí)驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，在相同條件重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)。則稱該變量X服從二項(xiàng)分布，記作：B(n,

)

換言之：一個二分類的情況、獨(dú)立重復(fù)事件n次，若每次出現(xiàn)某事物的概率為π，則n次中有x次出現(xiàn)該事物的概率服從二項(xiàng)分布。11P(x)=Cnx

(π)x(1-π)n-xCnx=

x！(n-x)!(n)!其中：該公式稱為二項(xiàng)分布的概率函數(shù)。一般地，若隨機(jī)變量取值x的概率為：（x取值0、1、2、…、n）二項(xiàng)分布的概率函數(shù)P(X）可用下公式計(jì)算：12舉例：

臨床上用針炙治療某型頭痛，有效的概率為60%；現(xiàn)以該法治療患者3例，其中0例、1例、2例、3例有效的概率各是多大？解：有效人數(shù)（x）C3x

x（1-）n-x出現(xiàn)該結(jié)果概率P(x)010.600.430.064130.610.420.288230.620.410.432310.630.400.216P(x)=Cnx

(π)x(1-π)n-x

13二、二項(xiàng)分布的特征14P(x)=Cnx

(π)x(1-π)n-x

1.二項(xiàng)分布的圖形特征:獨(dú)立、重復(fù)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)某研究事件發(fā)生的概率

π

和n是二項(xiàng)分布的兩個參數(shù)，n決定x的取值范圍，n和π

決定了x的概率分布。15π=0.5時，不同n值對應(yīng)的二項(xiàng)分布16π=0.3時，不同n值對應(yīng)的二項(xiàng)分布17當(dāng)π=0.5，圖形是對稱的；當(dāng)π≠0.5，圖形不對稱；π離0.5愈遠(yuǎn)，對稱性愈差，但隨著n的增大，分布趨向于對稱。當(dāng)n→∞時，只要π不太靠近0或1（特別是nπ

和n(1-π)

都大于5時），二項(xiàng)分布接近于對稱分布。二項(xiàng)分布圖的形態(tài)取決于π和n，高峰在μ=πn處二項(xiàng)分布的特征:18

臨床上用針炙治療某型頭痛，有效的概率為60%；求該資料的均值和標(biāo)準(zhǔn)差？解：有效人數(shù)（x）C3x

x（1-）n-x出現(xiàn)該結(jié)果概率P(x)010.600.430.064130.610.420.288230.620.410.432310.630.400.216即：該資料的均值為0.72；標(biāo)準(zhǔn)差為0.72。19對于二分類情況，進(jìn)行n次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)出現(xiàn)陽性結(jié)果的概率均為π，出現(xiàn)陽性結(jié)果的次數(shù)為x，則X的總體均數(shù)μ

、方差σ2及標(biāo)準(zhǔn)差σ分別為：總體方差：σ2=nπ（1-π

）2.二項(xiàng)分布的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差：總體均數(shù)：μ=nπ總體標(biāo)準(zhǔn)差：σ

=nπ（1-π

）20對于二分類情況，進(jìn)行n次隨機(jī)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)出現(xiàn)陽性結(jié)果的概率為π，則出現(xiàn)陽性結(jié)果x的概率P

、概率P的均數(shù)μP，概率P的方差σP2及概率P的標(biāo)準(zhǔn)差σP為：若概率P=，則：xn概率P的均數(shù)：μP

=π概率P的方差：σP2=π（1-π

）n概率P的標(biāo)準(zhǔn)差：σp

=π（1-π

）n21三、二項(xiàng)分布的應(yīng)用22二項(xiàng)分布的應(yīng)用：㈠概率估計(jì)：舉例：如果某地鉤蟲感染率是13%，隨機(jī)觀察當(dāng)?shù)?50人，其中10人感染鉤蟲的概率有多大？解析：二分類（感染、不感染）

獨(dú)立（假定互不影響）

重復(fù)（n=150），每人感染鉤蟲機(jī)率均為π=0.13

故：感染鉤蟲的人數(shù)x附合二項(xiàng)分布B(150，0.13)

所以：

P(x=10)=C15010×

0.1310×0.87140=0.005523㈡單側(cè)累積概率的計(jì)算：單純計(jì)算二項(xiàng)分布x恰好取某值的概率沒有太大意義經(jīng)常需要計(jì)算的是二項(xiàng)分布的累積概率P(x≥k)=∑Cnx

(π)x(1-π)n-x

nx=kP(x≤k)=∑Cnx

(π)x(1-π)n-x

kx=0（1）出現(xiàn)陽性次數(shù)至多為k次的概率為：（2）出現(xiàn)陽性次數(shù)至少為k次的概率為：24舉例：某地鉤蟲感染率是13%，隨機(jī)觀察當(dāng)?shù)?50人。（1）其中最多有2人感染的概率有多大？解：P(x≤2)=∑C150x

0.13x(0.87)150-x2x=0=C15000.130×0.87150+C15010.131×0.87149+C15020.132×0.87148=2.31×10-7（2）其中最少有2人感染的概率有多大？P(x≥2)=∑C150x

0.13x(0.87)150-x150x=2=1-（C15000.130×0.87150+C15010.131×0.87149）≈1解：（3）其中最少有20人感染的概率有多大？150x=20P(x≥20)=∑C150x

0.13x(0.87)150-x=0.4879=1-∑C150x

0.13x(0.87)150-x190解：25練習(xí)：5人服藥，該藥腸胃反應(yīng)概率為10%；求：①k個人、②不多于2人、③有人有反應(yīng)的概率。解：26第二節(jié)

Poission分布及其應(yīng)用1.1Poission

分布的概念和函數(shù)1.2Poission

分布的特征1.3

Poission

分布的應(yīng)用27一、Poission分布的概念

和概率函數(shù)28Poission分布的概念：Poisson分布是描述單位時間、空間、面積等罕見事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。如：出生缺陷、多胞胎、染色體異常、細(xì)菌在單位面積的分布等。

Poisson分布可看作是二項(xiàng)分布的特例：獨(dú)立重復(fù)的次數(shù)很大很大每次出現(xiàn)某事件的概率π，或未出現(xiàn)某事件的概率1-π很小很小，接近于0或1（如＜0.001或＞0.999）。29對二項(xiàng)分布，當(dāng)n→∞，nπ→

時，可以證明：P(x)=Cnx

(π)x(1-π)n-x

P(x)=e-

x

X!所以，若隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為：P(x)=e-

x

X!若則稱此變量服從Poission分布，記敘X～

()

。30注意：舉若n次觀察互不獨(dú)立，或發(fā)生的概率π不等，則不能看作是Poission分布。舉例：傳染性疾病的流行模型：首例病例出現(xiàn)后，便成為傳染原，可增加后繼病例出現(xiàn)的概率。污染牛奶細(xì)胞的播布：成集落存在及繁殖。釘螺在繁殖期一窩一窩的散布這些現(xiàn)象均不能用Poission分布這個理論模型處理31二、Possion分布的圖形特征32P(x)=e-

x

x!Poission分布的概率函數(shù)：

=nπ為Poission分布的總體均數(shù)

是Poisson分布的總體參數(shù)，也是唯一的參數(shù)33舉例：某地20年間共出生肢短畸形兒10名，平均每年0.5名，估計(jì)該地每年出生此類畸形人數(shù)為0、1、2…的概率P(x

)。解析：e=2.71828，=0.5x012345P(x)0.6070.3030.0760.0130.0020.000=2.71828-0.50.50!0x=0時，P(0)=e-

x

X!=0.607故：所以不同x取值時，概率值如下表示：34Poission的概率分布示意圖：

35總體均數(shù)=總體方差=

；

當(dāng)觀察結(jié)果具有可加性，即：Poission分布的兩個重要特征：若：X1服從總體均數(shù)為

1的Poission分布，

X2服從總體均數(shù)為

2的Poission分布，

則：T=X1+X2服從總體均數(shù)為

1+

2的Poission分布。Poission分布的特征：

Poissoin分布的圖形是非對稱的，其形態(tài)取決于

：總體參數(shù)

值愈小，分布愈偏;隨著

的增大，分布趨向于對稱。36舉例：1毫升水樣品中大腸桿菌數(shù)目X的分布：將1毫升水等分為n個微小體積，這里n很大很大；每1個微小體積中大腸桿菌是否出現(xiàn)，相互獨(dú)立；第1個微小體積中大腸桿菌出現(xiàn)的概率都是π，且很小很小想象：每毫升水中大腸桿菌數(shù)目X服從Poission分布37從同一水源獨(dú)立取水樣5次，進(jìn)行細(xì)胞培養(yǎng)把5份水樣混合，則合計(jì)菌落數(shù)也符合Poission分布，

則：X1+X2+X3+X4+X5～

(1+2+3+4+5)…第1樣水樣的菌落數(shù)X1～

(1)第2樣水樣的菌落數(shù)X2～

(2)第5樣水樣的菌落數(shù)X5～

(5)醫(yī)學(xué)研究中常利用其可加性，將小的觀察單位合并，來增大發(fā)生次數(shù)X，以便用后面講到的正態(tài)近似法作出統(tǒng)計(jì)推斷。38三、Possion分布的應(yīng)用39㈠概率估計(jì)：例1：實(shí)驗(yàn)顯示某100cm2的培養(yǎng)皿中平均菌落數(shù)為6個，試估計(jì)該培養(yǎng)皿中菌落數(shù)等于3的概率，解析：633!=2.71828-0.96P(3)=e-

x

X!=0.089故：菌落長、不長長概率很小，n很大

=nπ=6二項(xiàng)分布Poission分布40例2：若某地新生兒先生性心臟病的發(fā)病概率是8‰，那么該地120名新生兒中有4人患先天性心臟病的概率是多少？解析：發(fā)病、不發(fā)病發(fā)病概率8‰，概率很小n=120，相對較大0

=nπ=120×8‰=0.960.9644!=2.71828-0.96P(4)=e-

x

X!=0.014故：二項(xiàng)分布Poission分布41㈡單側(cè)累積概率的計(jì)算：（1）稀有事件發(fā)生次數(shù)至多為k次的概率為：（2）稀有事件發(fā)生次數(shù)至少為k次的概率為：P(x≤k)=∑kx=0e-

x

X!舉例1：若某地新生兒先生性心臟病的發(fā)病概率是8‰

，

那么該地120名新生兒中：

（1）至多有4人患先天性心臟病的概率是多少？

（2）至少有5人患先天性心臟病的概率是多少？P(x≥k)=∑nx=ke-

x

X!k-1=1-∑x=0e-

x

X!42例2：實(shí)驗(yàn)室顯示某100cm2的培養(yǎng)皿中平均菌落數(shù)為6個，試估計(jì)(1)該培養(yǎng)皿中菌落數(shù)小于3的概率，

(2)大于1個的概率。解析：菌落長、不長長概率很小，n很大

=nπ=6故:二項(xiàng)分布Poission分布P(x＜3)=∑2x=0e-6x6X!=++=0.062e-6060!e-661!1e-662!2(1)P(x＞1)=∑nx=2e-6x6X!

1=1-∑x=0e-6x6X!e-6060!e-661!1=1--=0.983(2)43練習(xí)：如生三胞胎的概率為10－4，求105次分娩中，有0，1，2次生三胞胎的概率。解：441.1正態(tài)分布的概念和函數(shù)1.2正態(tài)分布曲線的特征1.3

正態(tài)曲線的標(biāo)化1.4曲線下面積的分布規(guī)律1.5正態(tài)分布在醫(yī)學(xué)中的應(yīng)用第三節(jié)

正態(tài)分布45一、正態(tài)分布的概念46正態(tài)分布(normaldistribution)德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)概率的一個近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面。正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布(Gauss

distribution)。德莫佛高斯4710馬克的錢幣

48醫(yī)學(xué)研究中許多生理、生化指標(biāo)；測量誤差等多呈正態(tài)分布或近似正態(tài)分布。許多非正態(tài)分布資料，當(dāng)樣本含量足夠大時，也可以用正態(tài)分布作為它的極限分布形式。有時也可將非正態(tài)分布資料轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布來處理。正態(tài)分布在醫(yī)學(xué)研究中的重要作用：引子：49舉例：血清鐵測量值的頻數(shù)/頻率分布

圖2-2120例健康成年男子血清鐵含量（μmol/L

)的頻率分布圖表2-2120例健康成年男子血清鐵含量的頻率分布50頻率密度圖

:以變量值為橫坐標(biāo)，以頻率與組距的比值為縱坐標(biāo)作出的直方圖。1.由于該直方圖的縱軸表示在每個組段內(nèi)單位長度所占有的頻率，相當(dāng)于頻率密度，因此將此圖稱為頻率密度圖。

面積=頻率由于頻率總和為100%或1，故該曲線下橫軸面積為100%或1。

.7

911131517192123252729圖2-2120例健康成年男子血清鐵含量（μmol/L

)的頻率密度分布圖51若將各直條頂端的中點(diǎn)順次連接起來，得一條折線。當(dāng)樣本量n越來越大時，折線就越來越接近一條光滑的曲線。

圖5-2概率密度曲線示意圖

且對連續(xù)性隨機(jī)變量而言：變量某區(qū)間取值的概率=正態(tài)曲線該變量區(qū)間的面積52

正態(tài)曲線(normalcurve)：是一條高峰位于中央，兩側(cè)逐漸下降并完全對稱，曲線兩端永遠(yuǎn)不與橫軸相交的鐘形曲線。正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)

：正態(tài)曲線的函數(shù)表達(dá)式53

當(dāng)給定不同的

x

值后，就可以根據(jù)此方程求得相應(yīng)的縱坐標(biāo)高度（頻數(shù)），并可繪制出正態(tài)曲線的圖形，記作X~N(μ,σ2)

：54總體均數(shù)總體標(biāo)準(zhǔn)差（一）正態(tài)分布的兩個參數(shù)：

μ和σ

是正態(tài)分布的兩個參數(shù)，μ和σ決定了x的概率分布；習(xí)慣上用N(μ,σ2)表示均數(shù)為μ

，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布。55當(dāng)σ固定不變時，μ越大，曲線沿橫軸越向右移動；反之，μ越小，則曲線沿橫軸越向左移動，所以μ叫正態(tài)曲線N（μ,σ2）的位置參數(shù)。1.位置參數(shù)：μ

圖5-4正態(tài)分布位置隨參數(shù)μ變換示意圖56σ=1σ=1.5σ=22.形狀參數(shù)：σ

圖5-6正態(tài)分布形態(tài)隨參數(shù)σ變換示意圖當(dāng)μ固定不變時，σ越大，曲線越平闊；

σ越小，曲線越尖峭，σ叫正態(tài)曲線N（μ,σ2）的形狀參數(shù)。

57（二）正態(tài)分布圖形的特征：1.對稱性：關(guān)于x=μ對稱2.集中性：當(dāng)x=μ時,f(x)取最大值，即均數(shù)位于曲線的最高處；在x=μ

±σ處有拐點(diǎn)。3.橫軸上曲線下的面積為1。4.

μ是曲線的位置參數(shù)，決定曲線在橫軸上的位置：μ增大曲線沿橫軸向右移,μ減小曲線沿橫軸向左移。5.σ是曲線的形狀參數(shù)：當(dāng)μ恒定時，

σ越大，數(shù)據(jù)越分散，曲線越“矮胖”；σ越小，數(shù)據(jù)越集中，曲線越“瘦高”。58二、正態(tài)概率密度曲線下的面積591.正態(tài)曲線下的面積分布有一定的規(guī)律性：

因正態(tài)曲線下累計(jì)頻數(shù)的總和等于100%或1，則：橫軸上曲線下的面積（概率）就等于100%或1；均數(shù)兩側(cè)的面積（概率）各占50%。60

實(shí)際工作中常需了解橫軸上某一區(qū)間曲線下面積占總面積的百分比，以便估計(jì)該區(qū)間的頻數(shù)占總頻數(shù)的百分比（即頻數(shù)分布情況）。這就需要采用定積分的辦法，算得從-∞到x，或從-∞到Z

的累計(jì)面積：

.圖6正態(tài)分布的累計(jì)面積定積分公式：61正態(tài)曲線下的面積分布規(guī)律性：

以均數(shù)(μ)為中心，以標(biāo)準(zhǔn)差(σ)作度量單位：正負(fù)一個標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)(μ

±σ

)，占總面積的68.27%；正負(fù)兩個標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)(μ±2σ)，占總面積的95.44%；正負(fù)三個標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)(μ±3σ)，占總面積的99.74%。62任意正態(tài)分布曲線

X~N(μ,σ2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線X~N(0,1)將一般正態(tài)分布曲線的

μ的位置平移到原點(diǎn)，再以標(biāo)準(zhǔn)差σ為橫軸單位，這樣就把原來個別的正態(tài)分布N（μ，σ2

），轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

N（0，1），稱為Z分布（或ｕ分布）；這種變換稱標(biāo)準(zhǔn)化變換或Z變換。2.Z變換與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：

63為了應(yīng)用方便，常將正態(tài)概率函數(shù)中的x

作如下變量代換，令：

Z稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。把u代入概率密度函數(shù)，得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)：

相對于正態(tài)變量

x，Z

沒有度量單位。根據(jù)Z

的不同取值，可繪出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形。sm-=xZ64由于引入了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Z

值，只需對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)公式求定積分，求其曲線下從-∞到任意Z值的累計(jì)面積，并制成專用的

Z

值表（見附表）；這樣對于其它任意的正態(tài)分布N(μ,σ2)，都可以通過變量代換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，通過查表就完成其概率計(jì)算問題。dZZò￥-=2221)(pjeZZ-/定積分公式：651.左半側(cè)Z

值對應(yīng)面積的查法：66舉例：當(dāng)

Z=

-1.96時，左側(cè)的累計(jì)面積=

0.025（該區(qū)間累計(jì)頻數(shù)占總例數(shù)的2.5%），記作P(Z≤－1.96)=0.025。當(dāng)Z=

1.96時，左側(cè)累計(jì)面積為0.975，可記作P(Z≤1.96)=0.975，此時P(Z≥1.96)=0.025。2.左半側(cè)Z

值對應(yīng)面積的查法：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是以0為中心左右對稱，所以該表只計(jì)算曲線下一半的面積即可。67舉例：求Z=-0.5～-1.5之間的面積。查表找出Z=-0.5時的對應(yīng)面積為0.3085，再查出Z=-1.5時的對應(yīng)面積0.0668，相減即可。即：P(Z=-0.5～-1.5)=P(Z=-0.5)-P(Z=-1.5)=

0.3085-0.0668=0.24173.查任意兩個Z

值間的面積：68（1）曲線下橫軸上的總面積為100%（2）表中曲線下面積為(-￥，Z)（3）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積以0為對稱，即如區(qū)間(-￥，-1.96)與區(qū)間(1.96，+￥)的面積相等。小結(jié):F(Z)=1-F(-Z)對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線694.求一般正態(tài)分布N(μ,σ2)曲線下的面積：例5-11已知X服從均數(shù)為u值,標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布，試估計(jì)：⑴

X取值在u±1.96σ內(nèi)的概率；

⑵

X取值在u±2.58σ內(nèi)的概率。解：⑴先求兩端點(diǎn)對應(yīng)的Z值：故N(μ,σ2)的u±1.96σ對應(yīng)于N(0,1)的0±1.96根據(jù)Z值查表出相應(yīng)的面積值，得區(qū)間概率95%。⑵

同法可求X取值在u±2.58σ內(nèi)的概率值為99%。70故：求一般正態(tài)分布N(μ,σ2)曲線下的面積：⑴

先求u值：⑵

根據(jù)Z值在表中查出相應(yīng)的面積值

當(dāng)總體均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時，就用樣本均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來代替計(jì)算。

所以對正態(tài)分布或近似正態(tài)分布資料，只要求出均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，便可就其頻數(shù)分布作出概略估計(jì)了。,sxxZxZ-=-=未知：已知：smsmsm,71常用的正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積規(guī)律正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布面積規(guī)律μ±1.64σ0±1.6490.00%μ±1.96σ0±1.9695.00%μ±2.58σ0±2.5899.00%72舉例：已知120名8歲男孩身高均數(shù)為123.02cm，標(biāo)準(zhǔn)差為4.79cm，試估計(jì)：（1）身高在130以上者占該地8歲男孩總數(shù)的百分比；（2）身高在120~128者占該地8歲男孩總數(shù)的百分比；（3）該地80%男孩的身高集中在哪個范圍？解析：N(123.02，4.792)N(0，1)130cm1.467.21%7.21%73（2）身高在120~128者占該地8歲男孩總數(shù)的百分比；（3）該地80%男孩的身高集中在哪個范圍？解析：N(123.02，4.792)N(0，1)解析：120cm128cm-0.631.4658.65%58.65%N(0，1)10%10%80%Z1Z210%10%80%X2X1N(123.02，4.792)74三、正態(tài)分布的應(yīng)用75（一）確定醫(yī)學(xué)參考值范圍

參考值范圍（referencerange)：指特定“正常”人群的解剖、生理、生化指標(biāo)及組織代謝含量等數(shù)據(jù)中大多數(shù)個體取值所在的范圍。習(xí)慣上用該人群95%的個體某項(xiàng)指標(biāo)的取值范圍作其醫(yī)學(xué)參考值范圍。意義：用于劃界、分類：例如醫(yī)生判斷正常與否的依據(jù)。動態(tài)分析：如某個地區(qū)不同時期某些重金屬元素的正常值可反映環(huán)境污染動態(tài)變化或環(huán)保效果。.76制定方法：制定參考值范圍時，首先要確定一批樣本含量足夠大的“正常人”。所謂“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影響所研究指標(biāo)的疾病和有關(guān)因素的同質(zhì)人群，必須是隨機(jī)選擇的大樣本。而后根據(jù)指標(biāo)的實(shí)際用途確定單側(cè)或雙側(cè)界值，根據(jù)研究目的和使用要求選定適當(dāng)?shù)陌俜纸缰?，常?5%。用百分位數(shù)法或正態(tài)分布法制定參考值范圍。77單側(cè)臨界值：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布單側(cè)尾部面積等于α?xí)r所對應(yīng)的正側(cè)變量值，記作Zα。雙側(cè)臨界值：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)尾部面積之和等于α?xí)r所對應(yīng)的正側(cè)變量值，記作Zα/2。78（1）百分位法：適合于任何分布類型的資料，特別適用于偏態(tài)分布資料以及資料中一端或兩端無確切數(shù)值的資料。如95%參考值范圍：

雙側(cè)界值單側(cè)下限單側(cè)上限P2.5和P

97.5P

5P

95計(jì)算公式：以不同的方法計(jì)算參考值范圍：79（2）正態(tài)分布法：適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布資料表5-2常用參考值范圍的制定

雙側(cè)界值單側(cè)下限單側(cè)上限80

舉例1：調(diào)查某地120名健康女性血紅蛋白，直方圖顯示其分布近似正態(tài)，已知試估計(jì)該地健康女性血紅蛋白的95%參考值范圍。

解析：1.分布近似正態(tài)2.過高過低均為異常3.求上、下界值正態(tài)分布法求參考值范圍設(shè)定雙側(cè)界值上界：下界：所以，該地健康女性血紅蛋白的95%參考值范圍是（97.41,137.39）g/l。81舉例2：某地調(diào)查120名健康成年男性的第一秒肺通氣量得均數(shù)X=4.2(L),標(biāo)準(zhǔn)差S=0.7(L)，試據(jù)此估計(jì)其第一秒肺通氣量的95%參考值范圍。

解析：1.分布近似正態(tài)2.僅過低為異常3.求下界值正態(tài)分布法求參考值范圍單側(cè)下限下界：所以，該地健康成年男子第一秒肺通氣量的95%參考值范圍為不低于3.05（L）。

82（二）進(jìn)行質(zhì)量控制基本原理：許多臨床檢驗(yàn)指標(biāo)，當(dāng)影響某一指標(biāo)的隨機(jī)因素很多，而每個因素所起的作用均不太大時，這個指標(biāo)的隨機(jī)波動屬于隨機(jī)誤差，則往往服從正態(tài)分布。如果某一差異僅是由個體差異和隨機(jī)誤差導(dǎo)致的，那么觀察結(jié)果服從正態(tài)分布。83

作為質(zhì)量控制的上下警戒值：中心線警戒線警戒線控制線控制線84二項(xiàng)分布為離散型變量分布，變量只能在正整數(shù)處取值。為借用連續(xù)型變量的分布函數(shù)計(jì)算概率，首先要把概率函數(shù)連續(xù)化。對任何一個“直條”的X=k，為中心各左右擴(kuò)展0.5，變成連續(xù)的直方。經(jīng)這一校正P（X≤k）、P（X≥k）和P（k1≤X≤k2

）就可用近似正態(tài)法計(jì)算了。（三）二項(xiàng)分布、泊松分布的正態(tài)分布近似85二項(xiàng)分布累積概率的正態(tài)近似的計(jì)算公式：86Poission分布累積概率的正態(tài)近似的計(jì)算公式：87t分布、F分布、分布都是在正態(tài)分布的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的，u檢驗(yàn)也是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。二項(xiàng)分布、Poisson分布的極限為正態(tài)分布，在一定條件下，可以按正態(tài)分布原理來處理。（四）正態(tài)分布是許多統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)88小結(jié)⒈二項(xiàng)分布的三條件：①每一次實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有陽性、陰性兩種可能的情況。②每次陽性結(jié)果發(fā)生的概率均為π,③每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果都是相互獨(dú)立的，那么重復(fù)n次實(shí)驗(yàn)，出現(xiàn)X次陽性結(jié)果的概率分布為二項(xiàng)分布。⒉泊松分布是二項(xiàng)分布的一種特殊形式，在二項(xiàng)分布三條件的基礎(chǔ)上，若陽性結(jié)果發(fā)生的概率π或（1-π）很小很小，而觀察例數(shù)很大很大，則二項(xiàng)分布近似于泊松分布。P(x)=Cnx

(π)x(1-π)n-x（x取值0、1、2、…、n）P(x)=e-

x

X!89正態(tài)分布圖形有其明確的特征，是一典型的鐘形曲線。正態(tài)分布的兩個參數(shù)是均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ，為了應(yīng)用方便，常對任意一個正態(tài)分布的隨機(jī)變量X作Z變換，將其轉(zhuǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。應(yīng)用正態(tài)分布曲線下的面積分布規(guī)律，可以估計(jì)醫(yī)學(xué)參考值范圍，概率及進(jìn)行質(zhì)控等3.正態(tài)分布是一種重要的連續(xù)型變量分布形式。90【學(xué)習(xí)要求】掌握二項(xiàng)分布、Poission分布的概念；主要分布特征，及累計(jì)頻率的計(jì)算方法。掌握正態(tài)分布的概念、圖形特征、Z轉(zhuǎn)換的思想及方法，其圖形的面積規(guī)律及求法。了解質(zhì)量控制的意義、原理、方法。掌握醫(yī)學(xué)參考值范圍的求法。91案例討論2000年某地艾滋病病毒的感染率為7/100,000。該地10萬人口，2001年感染艾滋病病毒的人數(shù)是17人，有人說2001年總體上艾滋病病毒感染率與2000年持平。若這樣的話，該地2001年感染艾滋病病毒的人數(shù)為17人這種情況發(fā)生的概率為:因?yàn)榘l(fā)生的概率太小了，所以說