2022-2023學(xué)年湖南省郴州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年湖南省郴州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1?i)=3+i(A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.某校為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用分層抽樣的方法從高一780人、高二600人、高三n人中，抽取35人進(jìn)行問卷調(diào)查，已知高一被抽取的人數(shù)為13人，則n等于(

)A.660 B.720 C.780 D.8003.若一個圓錐的軸截面是一個底邊長是2，腰長為π的等腰三角形，則它的側(cè)面展開圖的圓心角是(

)A.2π B.π2 C.2 4.已知α、β是兩個不同的平面，m、n是兩條不同的直線，則下列四個說法中正確的是(

)A.若m//n，n//α，則m//α

B.若m//n，m?α，n?β，則α5.“網(wǎng)紅”打卡地高椅嶺，位于郴州蘇仙區(qū)飛天山高椅嶺村，丹霞奇景集聚凸顯，被稱之為“被上帝遺忘的地方”.如圖是高椅嶺最高峰美麗坦，下面是登云天梯.現(xiàn)測量美麗坦的高度時，選取了與美麗坦底部B在同一平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，測得∠BCD=60°，∠CDB=80°，CDA.72m B.75m C.90m6.已知|a|=3，b=(1,1)，且aA.23a B.13b C.7.數(shù)學(xué)來源于生活，約3000年以前，我國人民就創(chuàng)造出了屬于自己的計數(shù)方法.十進(jìn)制的算籌計數(shù)法就是中國數(shù)學(xué)史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍.下圖是利用算籌表示數(shù)1～9的一種方法.例如：3可表示為“≡”，26可表示為“=⊥”，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則用1～9這9個數(shù)字表示的所有兩位數(shù)中，個位數(shù)與十位數(shù)之和為A.13 B.512 C.128.如圖，在△ABC中，CM=2MB，過點M的直線交射線AB于點P，交AC于點

A.3 B.83 C.1+2二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.已知復(fù)數(shù)z滿足iz+2+A.z的虛部是2i B.z2=5?12i

10.下列說法正確的是(

)A.從容量為N的總體中抽取一個容量為n的樣本，當(dāng)選取抽簽法抽樣、隨機(jī)數(shù)法抽樣和分層隨機(jī)抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則p1=p2=p3

B.若P(AB)=19,P(A?11.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則A.若|AB+AC|=|AB?AC|，則△ABC為直角三角形

B.若a12.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點A.在平面AA1B1B內(nèi)存在直線與平面AMN平行

B.在BC1上存在點Q，使得A1Q與平面BB1C1C所成的角為60°

C.若點E是D

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.數(shù)據(jù)24，11，12，13，15，14，17，18，20，10的第60百分位數(shù)是______．14.在平行四邊形ABCD中，E為BC的靠近B的三等分點，若AB=2，AD=15.某校有高一學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，為了獲取學(xué)生身高信息，采用男、女按比例分配分層抽樣的方法抽取樣本50人，并觀測樣本的指標(biāo)值(單位：cm)，計算得男生樣本的均值為170，方差為20，女生樣本的均值為160，方差為30，據(jù)此估計該校高一年級學(xué)生身高的總體方差為______．16.已知四棱錐P?ABCD的各個頂點都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD//BC，AB=AD=CD=4四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知向量a=(1,0),b=(m,1)，且|a?2b|=2．

(Ⅰ18.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，E為PB的中點，F(xiàn)為PD的中點．

(1)19.(本小題12.0分)

在銳角△ABC中，內(nèi)角所A，B，C對的邊分別為a，b，c，若滿足cosC=2a?c2b．

20.(本小題12.0分)

為迎接第二屆湖南旅發(fā)大會，郴州某校舉辦“走遍五大洲，最美有郴州”知識能力測評，共有1000名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)直方圖，估計這次知識能力測評的平均數(shù)；

(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從[60,70)，[90,100]21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=a?b?32,a=(sinx,cosx),b=(3sinx,sinx),x∈R．

(122.(本小題12.0分)

如圖，正方形ABCD中，邊長為4，E為AB中點，F(xiàn)是邊BC上的動點.將△ADE沿DE翻折到△SDE，△BEF沿EF翻折到△SEF．

(1)求證：平面

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：復(fù)數(shù)z滿足z(1?i)=3+i(其中i為虛數(shù)單位)，

由條件得z=3+i1?i=(32.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意可得：13780=35780+600+n，解得n=7203.【答案】C

【解析】解：由題意，圓錐的底面半徑為r=1，母線長為l=π，

設(shè)側(cè)面展開圖的圓心角為α，則αl=2πr，可得α=4.【答案】D

【解析】解：若m//n，n//α，有可能m?α，故A錯誤；

若m//n，m?α，n?β，有可能α，β相交，故B錯誤；

若m⊥α，α⊥5.【答案】A

【解析】解：在△BCD中，由條件∠CBD=40°，

由正弦定理：CDsin∠CBD=BCsin∠CDB，

∴BC=6.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，b=(1,1)，則|b|=2，

b在a方向上的投影向量為|b7.【答案】A

【解析】解：1根算籌只能表示1，2根算籌可表示2和6，3根算籌可表示3和7，4根算籌可表示4和8，5根算籌可表示5和9，

因此5根算籌表示的兩位數(shù)有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12個，

其中個位數(shù)與十位數(shù)之和為5的有14，41，23，32，共4個，

所以所求概率為P=412=13．

故選：A．

根據(jù)題意把58.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，CM=2MB，

z則AM?AC=2(AB?AM)，解得AM=23AB+13AC，

由題意可知，AB=1mAP,AC=1nAQ，

因此A9.【答案】BD【解析】解：由復(fù)數(shù)z滿足iz+2+3i=0，可得(iz+2+3i)?(?i)=0，所以z=?3+2i，

對于A中，復(fù)數(shù)z=?3+2i的虛部為2，所以A不正確；

對于B10.【答案】AB【解析】解：對于A，三種抽樣方法，總體中每個個體被抽中的概率均為nN，A正確；

對于B，由P(A?)=23，得P(A)=13，因此P(AB)=13×13=P(A)P(B)，事件A與事件B相互獨立，B正確；

對于C，“至多一次擊中”的事件與“兩次均未擊中”的事件可以同時發(fā)生，它們不互斥，不是對立事件，C錯誤；

對于D，11.【答案】AC【解析】解：對于A：因為|AB+AC|=|AB?AC|，即|AB+AC|2=|AB?AC|2，

則AB2+2AB?AC+2AC2=AB2?2AB?AC+2AC2，整理得AB?AC=0，

所以AB⊥AC，即△ABC為直角三角形，故A正確；

對于B：若12.【答案】AC【解析】解：對于A，取AA1的點F，連接B1F，

∵AF//B1M，AF=B1M，∴AFB1M為平行四邊形，

∵B1F//AM，B1F?平面AMN，AM?平面AMN，∴B1F//平面AMN，故A正確；

對于B，設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，點Q在BC1上，22≤B1Q≤1，

∵A1B1⊥平面BB1C1C，∠A1QB1為A1Q與平面BB1C1C所成的角，

∵tan∠A1QB1=A1B1B1Q=1B1Q，∴1≤tan∠A1QB1≤2<3，

∴45°≤∠A1QB1<60°，故B錯誤；

對于C，連接EF，

則EF//AD//B1C1，EF=AD=B1C1，

則EFB1C1為平行四邊形，C1E//B1F，又B1F//AM，

則C1E//AM，C1E?平面AM13.【答案】16

【解析】解：這10個數(shù)從小到大排列為10，11，12，13，14，15，17，18，20，24，

因為10×60%=6，

所以第60百分位數(shù)是第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)，即15+172=16．

14.【答案】?22【解析】解：建立以B為原點的平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則B(0,0),C(6,0),E(2,015.【答案】48

【解析】解：根據(jù)題意，某校有高一學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人，

可得總體的均值為x?=6001000×170+4001000×160=166，16.【答案】72π

3【解析】解：(1)在等腰梯形ABCD中，連接AC，

∵AD//BC，AB=AD=CD=4，∠ABC=π3，

則∠BAD=∠ADC=2π3，∠CAD=π6，

∴∠BAC=π2，

取BC中點O1，連接O1A，O1D，

則O1A=O1B=O1C，

所以△AO1B，△CO1D均為正三角形，

即O1A=O1B=O1C=O1D，

即O1是梯形ABCD外接圓圓心，

而O為四棱錐P?ABCD的外接球球心，

因此O1O⊥平面ABCD，

又PA⊥平面ABCD17.【答案】解：(Ⅰ)∵a=(1,0),b=(m,1)，

∴a?2b=(1,0)?(2m,2)=(1?2m【解析】(Ⅰ)由平面向量模的坐標(biāo)運(yùn)算即可求m，再由平面向量夾角的公式計算即可；

(Ⅱ)由平面向量垂直的性質(zhì)計算即可．

本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，夾角，模，數(shù)量積等知識，屬于中檔題．

18.【答案】(1)證明：連接BD，在△PBD中，E為PB的中點，F(xiàn)為PD的中點，

則EF//BD，

又BD?底面ABCD，EF?底面ABCD，

所以EF//底面ABCD；

(2)解：取AB的中點M，連接PM，

因為PA=PB=2，

所以PM⊥AB，

又平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩底面ABCD=AB，PM?平面PAB，

所以PM⊥底面ABCD【解析】(1)連接BD，可得EF//BD，利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

(2)取AB的中點M，由面面垂直的性質(zhì)可得PM⊥底面AB19.【答案】解：(1)由余弦定理得cosC=2a?c2b=a2+b2?c22ab，

整理得a2+c2?ac=b2，

又cosB=a2+c2?b22ac=12，

∵B∈(0,π)，

∴【解析】(1)利用余弦定理邊角互化，即可得出答案；

(2)利用正弦定理，將a20.【答案】(1)解：由頻率分布直方圖，根據(jù)平均數(shù)的計算公式，估計這次知識能力測評的平均數(shù)：

x?=(65×0.01+75×0.015+85×0.045+95×0.03)×10=84.5分．

(2)解：由頻率分布直方圖，可得[60,70)的頻率為0.1，[90,100]的頻率為0.3，

所以用分層隨機(jī)抽樣的方法從[60,70)，[90,100]兩個區(qū)間共抽取出4名學(xué)生，

可得從[60,70)抽取1人，即為a，從[90,100]中抽取3人，即為1，2，3，

從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，有(a,1)，(a,2)，(a,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1,【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，即可求解；

(2)根據(jù)分層抽樣的分法，得到從[60,70)抽取1人，即為a，從[90,100]中抽取3人，即為1，2，3，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)和所有事件中包含的基本事件的個數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計算公式，即可求解；

(3)21.【答案】解：(1)由題意得，f(x)=a?b?32=3sin2x+sinxcosx?32

=32(1?cos2x)+12sin2x?32=sin(2x?π3)，

當(dāng)x∈[π3,π2]時，π3≤2x?π3≤2π【解析】(1)利用三角恒等變換化簡f(x)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出b，c，進(jìn)而由f(A)=32求得A