廣東省汕尾市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2023-2024學(xué)年度高中一年級(jí)教學(xué)質(zhì)量測(cè)試數(shù)學(xué)本試題共4頁(yè)，考試時(shí)間120分鐘，總分150分注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處.2.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效.3.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄鈹，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題及答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.0或1 C.1或2 D.1或3【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，可得，解方程即可得出答案.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得：或，故選：B.2.已知，，，則（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】依題意設(shè)，根據(jù)向量模的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)椋试O(shè)，又，所以，解得，所以或.故選：D3.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)周期后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的最小正周期，直接根據(jù)平移規(guī)律即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，即，故向左平移個(gè)周期后所得，故選：D.4.已知直線，，和平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，，則C.若，，，，則D.若，，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線線、線面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若，，可能，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若，，，，則，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若，，，，當(dāng)時(shí)，與不一定垂直，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若，，可能，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再由二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故選：C6.在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，，則直線與直線所成角的余弦值為（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則可得為直線與直線所成角，然后在中求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則∥，，因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，，因?yàn)椤?，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，所以為直線與直線所成角，因?yàn)樵谡庵校?，所以，，在中，由余弦定理得，所以直線與直線所成角的余弦值為0，故選：A7.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理進(jìn)行角化邊，再由余弦定理可解.【詳解】根據(jù)題意，，利用正弦定理得：，再結(jié)合，可得，由余弦定理：，所以D選項(xiàng)正確.故選：D8.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，，分別是，的中點(diǎn)，將，，分別沿，，折起，使得三點(diǎn)重合于點(diǎn)，若三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，把三棱錐可補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)求得外接球的半徑，結(jié)合球的體積公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可得，且，所以三棱錐可補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，如圖所示，設(shè)長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，可得，所以，所以外接球的體積為.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的有（）A. B.C. D.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱【答案】AB【解析】【分析】分別應(yīng)用共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的除法法則和復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知函數(shù)，，且的最小正周期為，則下列說(shuō)法正確的有（）A.B.當(dāng)時(shí)，的最小值為1C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.若為偶函數(shù)，則正實(shí)數(shù)的最小值為【答案】AD【解析】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)為，可判定A正確，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，可判定B、C錯(cuò)誤，D正確.【詳解】由，因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，所以，所以A正確；當(dāng)，可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以B不正確；當(dāng)，可得，所以函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以C不正確；由，若函數(shù)為偶函數(shù)，可得，即，解得，解得，當(dāng)時(shí)，，所以正實(shí)數(shù)的最小值為，所以D正確.故選：AD.11.下列說(shuō)法正確的有（）A.若，滿足，，則的最大值為3B.向量在向量上的投影向量為C.若，，且，則D.若圓中，弦長(zhǎng)為4，則【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，由結(jié)合已知可求出其最大值，對(duì)于B，由投影向量的定義判斷，對(duì)于C，根據(jù)已知條件直接求解即可，對(duì)于D，由數(shù)量積的定義結(jié)合圓的性質(zhì)求解.【詳解】對(duì)于A，因，，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值5，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，向量在向量上的投影向量為，所以B正確，對(duì)于C，由，，得，因?yàn)?，所以或，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)樵趫A中，弦的長(zhǎng)為4，所以，所以D正確，故選：BD12.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則（）A.直線與直線是異面直線B.直線與直線共面C.直線與平面所成角的正弦值為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABD【解析】【分析】由異面直線的定義判斷A；連接，由題意可得，所以四點(diǎn)共面，可判斷B；由線面角的定義可判斷C；由等體積法可判斷D．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫?，平面，平面，由異面直線的定義可得，直線與是異面直線，故A正確；對(duì)于B，連接，由正方體的性質(zhì)知，因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面，所以直線與直線共面，故B正確；對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)知：平面，所以是直線與平面所成角，所以，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，因?yàn)?，，取的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)知：平面，連接，所以，，，所以，所以，，所以由可得：，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.化簡(jiǎn)______.【答案】##【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求解即可【詳解】，故答案為：14.已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面半徑是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)出圓錐的底面半徑，由它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，分析出母線與半徑的關(guān)系，結(jié)合圓錐的表面積為，構(gòu)造方程，可求出半徑.【詳解】設(shè)圓錐的底面的半徑為，圓錐的母線為，則由得，而故，解得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．解題思路：解決此類問(wèn)題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：圓錐的母線長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形半徑；圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)．正確理解這兩個(gè)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15.在平行四邊形中，，，，則______.【答案】24【解析】【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算，以及向量的模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】由于,所以，故，故答案為：16.如圖是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，直徑分別是直角三角形的斜邊，直角邊，，點(diǎn)在以為直徑的半圓上，延長(zhǎng)，交于點(diǎn).若，，，則的面積是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再用正弦的和角公式求解，再求出，由三角形的面積公式即可得出答案.【詳解】由題意得：，所以，故，所以，因?yàn)?，所以故，因?yàn)?，，，所以，又因?yàn)?，，所以，所以的面積是.故選：A.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知點(diǎn)，，.（1）若，是實(shí)數(shù)，且，求的值；（2）求與的夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出的坐標(biāo)，利用數(shù)量積為0，列出關(guān)于的方程，解出即可得結(jié)果；（2）直接根據(jù)向量夾角公式即可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】∵，，，∴，，，故∵∴解得【小問(wèn)2詳解】∵，，，∴，故與的夾角的余弦值為.18.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）在中，若，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)誘導(dǎo)公式以及輔助角公式將化成三角函數(shù)的一般形式，進(jìn)而可得周期；（2）代入（1）式可得的值，將表示成關(guān)于的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】∴的最小正周期為.【小問(wèn)2詳解】由，即，，得，即，∴∵，∴∴當(dāng)，即時(shí)，取得最大值19.如圖，在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn).證明：（1）平面；（2）平面.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理可得，進(jìn)而可得線面平行；（2）連接，，連接交于點(diǎn)，連接，通過(guò)線面平行得出平面平面，進(jìn)而得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接.∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴.又∵平面，平面，∴平面【小問(wèn)2詳解】連接，，連接交于點(diǎn)，連接，如圖.在正方體中，，∵平面，平面，∴平面.又為的中位線，∴∵平面，平面，∴平面.又∵平面，平面，，∴平面平面.∵平面，∴平面.20.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，已知.（1）求；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，即可求出，從而得解；（2）利用余弦定理求出，再由面積公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】在中，由正弦定理及，得，又在中，，∴，∴，∵，∴【小問(wèn)2詳解】在中，由余弦定理可知，又∵，∴，解得或（舍去），故的面積為.21.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，為棱的中點(diǎn).證明：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依題意可得，再由線面垂直得到，即可得到平面，從而得到，即可得證；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，再證明平面，即可得到，從而得到平面，即可得證.【小問(wèn)1詳解】∵，且為的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴，∵在正方形中，，又∵，平面，，∴平面，又∵平面，∴，∵，平面，，∴平面.【小問(wèn)2詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，如圖.∵，∴，又∵，，，平面，，∴平面，∵平面，∴，又∵，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面.22.如圖，已知直線，是，之間的一個(gè)定點(diǎn)，且點(diǎn)到，的距離分別為1，2，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作，且使與直線交于點(diǎn).設(shè)，的面積為.（1）求的最小值；（2）已知，，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）2（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）解和分別可得，，則的面積，根據(jù)的范圍即可求的最小值；（2）原不等式恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，令，可得，再令，根據(jù)的范