2021年高考理數(shù)：概率

精品精品Word可修改歡迎下載核心考點(diǎn)解讀一一概率考綱解讀里的I,II的含義如下：I:對所列知識要知道其內(nèi)容及含義，并能在有關(guān)問題中識別和直接使用，即了解和認(rèn)識.II:對所列知識要理解其確切含義及與其他知識的聯(lián)系,能夠進(jìn)行敘述和解釋，并能在實(shí)際問題的分析、綜合、推理和判斷等過程中運(yùn)用，即理解和應(yīng)用?（以下同）隨機(jī)事件的概率（I）古典概型（II）幾何概型（I）離散型隨機(jī)變量及其分布（II）離散型隨機(jī)變量的均值與方差（II）條件概率及兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念（I）n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布（II）正態(tài)分布（I）1.從考查題型來看，涉及本知識點(diǎn)的題目若在選擇題、填空題中出現(xiàn)，則主要考查古典概型、幾何概型、條件概率的計(jì)算；若在解答題中出現(xiàn)，則主要考查離散型隨機(jī)變量及其分布、期望與方差.2?從考查內(nèi)容來看，主要考查在古典概型或幾何概型下求隨機(jī)事件的概率，求條件概率，通過互斥事件、對立事件考查等可能性事件的概率取值問題，利用正態(tài)曲線的對稱性求概率，確定離散型隨機(jī)變量的分布狀況，并利用其分布列求該隨機(jī)變量的期望與方差，體現(xiàn)了概率問題的實(shí)際應(yīng)用狀況.從考查熱點(diǎn)來看，概率求值是高考命題的熱點(diǎn)，以古典概型或幾何概型為主線，考查隨機(jī)事件的概率?解答題中常與統(tǒng)計(jì)知識相結(jié)合考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，需注意知識的靈活運(yùn)用.1.隨機(jī)事件的概率（1）概率與頻率：理解概率與頻率的關(guān)系.知道頻率是指在n次重復(fù)試驗(yàn)下，某事件A出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)的比值，其隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變?概率是指對于給定的隨機(jī)事件，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某一個(gè)常數(shù)附近,這個(gè)常數(shù)稱為事件A發(fā)生的概率?頻率值隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，概率值則是一個(gè)常數(shù)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越多時(shí)，頻率值越接近于概率值，此時(shí)可以把頻率近似地看做概率.

互斥事件與對立事件：由對立事件的定義可知，對立事件首先是互斥事件，即兩個(gè)事件是對立事件，則它們肯定是互斥事件，反過來，當(dāng)兩個(gè)事件是互斥事件時(shí),這兩個(gè)事件不一定是對立事件.隨機(jī)事件的概率的性質(zhì)及其求解方法性質(zhì)：0<p<1.若事件的概率為1,則該事件是必然事件；若事件的概率為0，則該事件是不可能事件；若事件的概率為0<p<1，則該事件是隨機(jī)事件.隨機(jī)事件概率的求法：⑴將所求事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件，利用概率的加法公式求解概率；(ii)若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和事件時(shí)，需要分類太多，而其對立面的分類較少，則可考慮利用對立事件的概率公式，即利用“正難則反”的思想.2?古典概型與幾何概型古典概型：⑴試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；(ii)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.古典概型的概率計(jì)算公式：P古典概型的概率計(jì)算公式：P(A)=A包含的基本事件的個(gè)數(shù)

基本事件的總數(shù)幾何概型：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例.特點(diǎn)：⑴一次實(shí)驗(yàn)的基本事件數(shù)是無限的；(ii)幾何概型：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例.特點(diǎn)：⑴一次實(shí)驗(yàn)的基本事件數(shù)是無限的；(ii)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相等的.幾何概型的概率計(jì)算公式：P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)

試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積).異同點(diǎn)：共同點(diǎn)是基本事件的發(fā)生是等可能的，不同點(diǎn)是古典概型有有限個(gè)基本事件，幾何概型有無限個(gè)基本事件.3?離散型隨機(jī)變量及其分布求離散型隨機(jī)變量的分布列的一般步驟：首先明確隨機(jī)變量的所有可能取值，其次利用概率的有關(guān)知識，求出隨機(jī)變量每個(gè)取值的概率，最后按規(guī)范寫出分布列,并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證.xxxx12inPp1p2???pi???pn常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型：兩點(diǎn)分布、超幾何分布、二項(xiàng)分布離散型隨機(jī)變量的均值與方差均值(或數(shù)學(xué)期望)：反映離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.計(jì)算方法：E點(diǎn))=xp+xp++xp++xp.1122iinn性質(zhì)：E(a^+b)=aE(g)+b.??????方差：刻畫了隨機(jī)變量g與其期望E憶)的平均偏離程度.計(jì)算方法：D(g)=才(x-E(g))2-p.iii=1性質(zhì)：D(ag+b)=a2D(g)，D(g)=E(g2)一E2(g).若隨機(jī)變量g服從二項(xiàng)分布，即gB(n,p).則事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(g=k)=Ckpk(1-p)n-k，k=0,1,2,…,n.n其期望為E(g)=np；其方差為D(g)=np(1—p).若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則表示為XN(卩Q2).正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)：P(p-o<X4+0)=0.6826；P(p-2o<X<p+2o)=0.9544；P(p-3o<X<p+3o)=0.9974.條件概率與相互獨(dú)立事件的概率條件概率：設(shè)AB為兩個(gè)事件，且P(A)>0，稱P(BIA)=學(xué)等為在事件AP(A)發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率.事件的相互獨(dú)立性：設(shè)A,B為兩個(gè)事件，若P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立.若事件A與B相互獨(dú)立，則A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立.1(2021高考新課標(biāo)I,理2)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱?在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是B.AB.1c.2D-2.（2021高考新課標(biāo)I,理4）某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是2C.—D.33.（2021高考新課標(biāo)I,理4）投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試?已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為B.0.432AB.0.432C.0.36D.0.3124.（2021高考新課標(biāo)UI,理18）某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完?根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：°C）有關(guān)如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20,25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元）?當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？5.（2021高考新課標(biāo)I,理19）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N卩Q2）.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在（卩-36卩+3d）之外的零件數(shù)，求P（X>1）及X的數(shù)學(xué)期望；

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(卩-36卩+3d)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得x二蘭x二9.97,s二1藝(x—X)2二；(藝x2-16x2)u0.212，其中x為抽取的第i個(gè)16iV16iV16iii=1i=1'i=1零件的尺寸，'=1,2,…，16?用樣本平均數(shù)X作為卩的估計(jì)值K，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為d的估計(jì)值k,利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(卩-3&,a+3&)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)卩和◎(精確到0.01).附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(PQ2)，則P(a—3d<Z<a+3c)=0.9974，0.997416u0.9592，<0.008沁0.09.6.(2021高考新課標(biāo)I,理19)某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元?在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元?現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù).求X的分布列；若要求P(X?n)?0.5，確定n的最小值；以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？7.(2021高考新課標(biāo)II,理18)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234>5保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下:一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率;求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.某景區(qū)在開放時(shí)間內(nèi)，每個(gè)整點(diǎn)時(shí)會有一趟觀光車從景區(qū)入口發(fā)車，某人上午到達(dá)景區(qū)入口，準(zhǔn)備乘坐觀光車，則他等待時(shí)間不多于10分鐘的概率為A.—B.10A.—B.10C.-D.從裝有大小、材質(zhì)完全相同的?個(gè)紅球和二個(gè)黑球的不透明口袋中，隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，則兩個(gè)小球同色的概率為2￡A.B.:-2￡C.D.；△ABC中，⑺「-二,在線段&上任取一點(diǎn)「，則APAB的面積小于丨「的概率是1_￡A.B.二23C.D.；2022年平昌冬季奧運(yùn)會于2月9日?2月25日舉行，為了解奧運(yùn)會五環(huán)所占面積與單獨(dú)五個(gè)環(huán)面積和的比例P，某學(xué)生設(shè)計(jì)了如下的計(jì)算機(jī)模擬，通過計(jì)算機(jī)模擬長為8,寬為5的長方形內(nèi)隨機(jī)取了N個(gè)點(diǎn)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)落入五環(huán)及其內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)為'，圓環(huán)半徑為1,如圖，則比值「的近似值為TOC\o"1-5"\h\z32n32nA.B.5nNnN8n5nnD.-nN32N自2021年底，共享單車日漸火爆起來，逐漸融入大家的日常生活中，某市針對18歲到80歲之間的不同年齡

段的城市市民使用共享單車情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下表所示:別舉A、、舟廿1A^5SOMO24D⑷D[35,50}40100UCIr&o.sa>20拠40?00400IODQ采用分層抽樣的方式從年齡在>■■■-■■■■內(nèi)的人中抽取W人，求其中男性、女性的使用人數(shù)各為多少？在(1)中選出「人中隨機(jī)抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；用樣本估計(jì)總體，在全市18歲到80歲的市民中抽4人其中男性使用的人數(shù)記為，求的分布列.B―)在區(qū)間I-'l內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)數(shù):'，使得|■--’"的概率為3_2A.''B.；31C.D.袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2,3,4,5的五副羽毛球拍，現(xiàn)從袋中任取4支球拍，每支球拍被取出的可能性都相等.(1)求取出的4支球拍上的數(shù)字互不相同的概率;(2)用E表示取出的4支球拍上的最大數(shù)字，求隨機(jī)變量E的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.na2na2?由圖形的對稱性可aB【解析】設(shè)正方形邊長為a，則圓的半徑為-，正方形的面積為a2，圓的面積為知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半由幾何概型概率的計(jì)算公式得，此點(diǎn)取自黑色部分的1na2概率是-一—=，選B.a28秒殺解析：由題意可知，此點(diǎn)取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個(gè)面積的比例，由圖可知其概率P滿11足4<p<2，故選b.2.B3.A【解析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得，該同學(xué)通過測試的概率為C2O62x0.4+0.63=0.648,故選A.34.(1)由題意知，X所有可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知

P（X=200）=2^16=0.2,P（X=300）=36=0.4,P（X=500）=25+7+4=0.4.TOC\o"1-5"\h\z909090因此x的分布列為X200300500P0.20.40.4TOC\o"1-5"\h\z(2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200,因此只需考慮200WnW500.當(dāng)300WnW500時(shí)，若最高氣溫不低于25，則Y=6n-4n=2n；若最高氣溫位于區(qū)間〔20,25)，則=(I)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別x300+2(n一300)-4n=1200-2n(I)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別=6x200+2(n-200)-4n=800-2n；因此EY=2nx0.4+(1200-2n)x0.4+(800-2n)x0.2=640-0.4n.當(dāng)200Wn<300時(shí)，若最高氣溫不低于20，則Y=6n-4n=2n；若最高氣溫低于20,則Y=6x200+2(n-200)-4n=800-2n.因此匕EY=2nx(0.4+0.4)+(800-2n)x0.2=160+1.2n.所以n=300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元.5.(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(卩-36卩+3c)之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在(卩-36卩+3c)之外的概率為0.0026，故X~B(16,0.0026).因此P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.997416沁0.0408.x的數(shù)學(xué)期望為EX=16x0.0026=0.0416.(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(卩-3c,卩+3c)之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(卩-3c,卩+3c)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小?因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.(ii)由X=9.97,s沁0.212，得卩的估計(jì)值為=9.97，c的估計(jì)值為c=0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(□-3c,卩+3c)之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.1剔除(R-3c,口+3c)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為^(“乂9.97-9.22)=10.02，因此卩的估計(jì)值為10.02.蘭x2=16x0.2122+16x9.972沁1591.134，剔除(門-3c,p+3c)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方ii=11差為舌(1591.134-9.222-15x10.022)沁0.008，因此c的估計(jì)值為J0.008沁0.09.

為0.2,0.4,0.2,0.2,從而P(X=⑹=0.2x0.2=0.04；P(X=17)=2x0.2x0.4=0.16P(X=18)=2x0.2x0.2+0.4x0.4=0.24；P(X=19)=2x0.2x0.2+2x0.4x0.2=0.24P(X=20)=2x0.2x0.4+0.2x0.2=0.2；P(X=21)=2x0.2x0.2=0.08P(X=22)=0.2x0.2=0.04.所以X的分布列為6178910212:220.040.160.240.240.080.04由⑴知P(X<18)=0.44,P(X<19)=0.68，故n的最小值為19.記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元).當(dāng)n=19時(shí)，EY=19x200x0.68+(19x200+500)x0.2+(19x200+2x500)x0.08+(19x200+3x500)x0.04=4040.當(dāng)n=20時(shí)，EY=20x200x0.88+(20x200+500)x0.08+(20x200+2x500)x0.04=4080.可知當(dāng)n=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于n=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n=19.(I)設(shè)A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.設(shè)B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B)，故P(BIA)==015=—.P(A)P(A)0.55113因此所求概率為?11記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X，則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=0.85ax0.30+ax0.15+1.25ax0.20+1.5ax0.20+1.75ax0.10+2ax0.05=1.23a.因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23【名師點(diǎn)睛】條件概率的求法：定義法：先求P(A)和P(AB),再由P(BIA)=PA#，求出P(BIA)；基本事件法：當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時(shí)，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本

事件數(shù)n(A),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(BIA)=n(AB).n(A)求離散型隨機(jī)變量均值的步驟：(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；(2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率；(3)寫出X的分布列；(4)由均值定義求出EX.'名校預(yù)測"-丿【答案】B【解析】由題意，此人在50分到整點(diǎn)之間的10分鐘內(nèi)到達(dá)，等待時(shí)間不多于10分鐘，所以概率p二60二1?故選b.606【答案】C【解析】記'個(gè)紅球分別為「幾，’個(gè)黑球分別為帶乍，則隨機(jī)取出兩個(gè)小球共有「種可能：>i：!；■/：■：'?；■.:，其中兩個(gè)小球同色共有"種可能：」；「匕wx，根據(jù)古典概型的^2概率計(jì)算公式可得所求概率為"?，故選C.1<3…真宀…2^cosA=12,■■CO5/1—.■'■引皿二-.【答案】C【解析】由■得4"2則S=AB-ACsinA=6j3，A△PAB的面積小于工廬的概率為匕'：；故選C.△ABC2【答案】C【解析】設(shè)奧運(yùn)五環(huán)所占的面積為■，矩形的面積為■■■;!'■川，由在長方形內(nèi)隨機(jī)取了；個(gè)點(diǎn),nn40fiTOC