2020年全國II卷理科數(shù)學(xué)高考真題

2020年全國II卷理科數(shù)學(xué)高考真題2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合$\left(-2,3\right]$，$A=\left\{-1,0,1\right\}$，$B=\left\{1,2\right\}$，則$U=\left\{-2,-1,0,1,2,3\right\}$，$A\capB$是$\left\{1\right\}$，故選$\textbf{(C)}$。2.若$\alpha$為第四象限角，則$\cos2\alpha>0$，故選$\textbf{(A)}$。3.在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓，為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作。已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05。志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者$\textbf{(C)}$。4.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊。下一層的第一環(huán)比上一層最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次增加9塊。已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）$\textbf{(D)}$。5.若過點(diǎn)$(2,1)$的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線$2x-y-3=0$的距離為$\textbf{(B)}$。6.數(shù)列$\left(a_n\right)$中，$a_1=2$，$a_{m+n}=a_ma_n$，若$a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{k+10}=215-25$，則$k=\textbf{(D)}$。7.右圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為M，在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為N，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)點(diǎn)為$\textbf{(C)}$。8.設(shè)$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線$x=a$與雙曲線$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的兩條漸近線交于$A$，過點(diǎn)$A$的直線交$x$軸于$P$，$Q$為$C$上離點(diǎn)$P$最近的點(diǎn)，則$AQ=\sqrt{2}a$，故選$\textbf{(A)}$。中心連線的斜率。解析：17.（12分）（1）由正弦定理可得sinA/sinB=BC/ACsinA/sinC=AB/ACsin2A=2sinAcosA=2sinBsinC代入得cosA=(sinB+sinC)/2sinBsinC再由余弦定理得cosB=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2AC*BC)=(sin^2C-sin^2B)/2sinBsinCcosC=(sin^2B-sin^2C)/2sinBsinC將cosB和cosC代入cosA的式子中，整理得sinA=2sinBsinC/(sinB+sinC)將sinA代入sin2A的式子中，得2sinBsinC(1-(sinB+sinC)/(sinB+sinC)^2-sin^2B-sin^2C)=sinBsinC化簡得sin^2B+sin^2C+sinBsinC=2sinBsinC即sin^2B+sin^2C=sinBsinC由于B和C都是銳角，所以sinB和sinC都是正數(shù)，所以可以除以sinBsinC得到sinB/sinC+sinC/sinB=1設(shè)sinB/sinC=t，則t+1/t=1，解得t=-1或t=1/2因?yàn)锽和C都是銳角，所以sinB和sinC都是正數(shù)，所以t=1/2所以sinB/sinC=1/2，代入sinA/sinB=BC/AC得到sinA/sinB=1/3由于A是銳角，所以sinA和sinB都是正數(shù)，所以可以除以sinB得到sinA/sinB=1/3，即sinA=sinB/3由于A是銳角，所以cosA>0，所以可以用余弦定理求出cosA，再用cosA和sinA的關(guān)系求出sinA的值cosA=(BC^2+AC^2-AB^2)/(2BC*AC)=(9-4cos^2B)/(6cosB)cos^2B=(1-sin^2B)=3/4cosB=sqrt(3)/2，代入cosA的式子中得cosA=1/2，代入sin^2A+cos^2A=1得到sinA=sqrt(3)/6（2）由余弦定理得AB=sqrt(BC^2+AC^2-2BCACcosA)=sqrt(9-12sqrt(3)/9)=sqrt(3)由正弦定理得AC/sinA=BC/sinB，即AC/3sqrt(3)=BC/sinB代入cosB的式子得cosB=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2AC*BC)=(3-4cos^2B)/(2sqrt(3))代入cos^2B=3/4得cosB=-1/2由于B是銳角，所以sinB>0，所以可以用sin^2B+cos^2B=1得到sinB=sqrt(3)/2所以BC=2sqrt(3)所以三角形ABC的周長為AC+BC+AB=3sqrt(3)+sqrt(3)+sqrt(3)=5sqrt(3)18.（12分）（1）樣本平均數(shù)為y?=1200/20=60，所以該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為200*60=12000.（2）樣本的協(xié)方差為Sxy=(1/20)*[800-1/20*(60*1200)]=-180樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為Sx=sqrt((1/20)*[∑(xi-x?)^2])=sqrt(4)=2Sy=sqrt((1/20)*[∑(yi-y?)^2])=sqrt(450)≈21.21所以樣本的相關(guān)系數(shù)為r=Sxy/(SxSy)≈-0.63（3）更合理的抽樣方法是分層抽樣。根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，將各地塊按照植物覆蓋面積分成若干層，每層內(nèi)隨機(jī)抽取若干個(gè)地塊作為樣本，樣本數(shù)與每層的地塊數(shù)成比例。這樣可以保證樣本的代表性，因?yàn)槊繉觾?nèi)的地塊植物覆蓋面積相似，所以樣本的植物覆蓋面積也相似，能更好地反映整個(gè)地區(qū)的情況。19.（12分）（1）由于F是C1的右焦點(diǎn)，所以F的橫坐標(biāo)為a，由于C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合，所以C1的中心也在直線y=0上，設(shè)C1的中心為O，則O的橫坐標(biāo)為0，所以O(shè)F的長度為a，所以C1的離心率為e=OF/a=1.（2）設(shè)C1的中心為O，C2的頂點(diǎn)為V，則OV的斜率為0，所以C1與C2中心連線的斜率為OV與OA的斜率之和的相反數(shù)，即-k，其中k是OA的斜率，所以只需要求出OA的斜率即可。設(shè)C1的方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1，C2的方程為y^2=2px，則F的坐標(biāo)為(a,0)，C1的中心O的坐標(biāo)為(0,0)，C2的焦點(diǎn)為(0,p)，C2的頂點(diǎn)為(0,2p)，設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y)，則有(1)OM^2=x^2+y^2=a^2(2)MF^2=(x-a)^2+y^2=25將(1)代入(2)得(x-a)^2=25-y^2將C2的方程代入得y^2=2px代入上式得(x-a)^2=25-2px所以x=a±sqrt(25-2py^2)代入C1的方程得(a±sqrt(25-2py^2))^2/a^2+y^2/b^2=1化簡得y^2=(b^2/a^2)*(a^2-p±sqrt(p^2-a^2b^2))因?yàn)镃1和C2有公共點(diǎn)M，所以上式中的y^2必須滿足y^2=2px，所以有2px=(b^2/a^2)*(a^2-p±sqrt(p^2-a^2b^2))代入p=2a得x=b^2/(4a)所以C1與C2中心連線的斜率為k=(b^2/(4a)-0)/(0-a)=-b^2/(4a^2)代入a=2,b=1得到k=-1/8.20.已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M、N分別為BC、B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F。（1）證明：AA1MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）設(shè)O為A1B1C1的中心，若AO⊥平面EB1C1F，且AO=AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值。21.已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x（1）討論f(x)在區(qū)間(0,π)的單調(diào)性；（2）證明：f(x)≤33/8；（3）設(shè)n∈N，證明sinxsin2xsin4x…sin2x≤(2n/3n)^(1/4)。22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知曲線C1，C2的參數(shù)方程分別為C1：x=t+2，y=t-1（t為參數(shù)）C2：x=4cosθ，y=4sin