中考數(shù)學(xué)真題：2020年長春市初中學(xué)業(yè)水平考試

2020年長春市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)一、選擇題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)1.如圖，數(shù)軸上被墨水遮蓋的數(shù)可能為()第1題圖A.－1B.－1.5C.－3D.－4.22.為了增加青少年的校外教育活動場所，長春市將建成面積約為79000平方米的新少年宮，預(yù)計2020年12月正式投入運營使用.79000這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為()A.79×103B.7.9×104C.0.79×105D.7.9×1053.下列圖形是四棱柱的側(cè)面展開圖的是()4.不等式x＋2≥3的解集在數(shù)軸上表示正確的是()5.比薩斜塔是意大利的著名建筑，其示意圖如圖所示．設(shè)塔頂中心點為點B，塔身中心線AB與垂直中心線AC的夾角為∠A，過點B向垂直中心線AC引垂線，垂足為點D.通過測量可得AB、BD、AD的長度，利用測量所得的數(shù)據(jù)計算∠A的三角函數(shù)值，進而可求∠A的大?。铝嘘P(guān)系式正確的是()A.sinA＝eq\f(BD,AB)B.cosA＝eq\f(AB,AD)C.tanA＝eq\f(AD,BD)D.sinA＝eq\f(AD,AB)第5題圖6.如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，則∠AOC的大小為()A.40°B.140°C.160°D.170°第6題圖7.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC.按下列步驟作圖：①分別以點B和點C為圓心，大于BC一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N；②作直線MN，與邊AB相交于點D，連結(jié)CD.下列說法不一定正確的是()A.∠BDN＝∠CDNB.∠ADC＝2∠BC.∠ACD＝∠DCBD.2∠B＋∠ACD＝90°第7題圖8.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(3，2)，AB⊥x軸于點B，點C是線段OB上的一點，連結(jié)AC.點P在線段AC上，且AP＝2PC.函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x＞0)的圖象經(jīng)過點P.當點C在線段OB上運動時，k的取值范圍是()A.0＜k≤2B.eq\f(2,3)≤k≤3C.eq\f(2,3)≤k≤2D.eq\f(8,3)≤k≤4第8題圖二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)9.長春市凈月潭國家森林公園門票的價格為成人票每張30元，兒童票每張15元．若購買m張成人票和n張兒童票，則共需花費________元.10.分解因式：a2－4＝________．11.若關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的值為________．12.正五邊形的一個外角的大小為________度．13.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以點C為圓心，線段CA的長為半徑作eq\o(AD,\s\up8(︵))，交CB的延長線于點D，則陰影部分的面積為________．(結(jié)果保留π)．第13題圖14.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(0，2)，點B的坐標為(4，2)，若拋物線y＝－eq\f(3,2)(x－h(huán))2＋k(h、k為常數(shù))與線段AB交于C、D兩點，且CD＝eq\f(1,2)AB，則k的值為________．第14題圖三、解答題(本大題共10小題，共78分)15.(6分)先化簡，再求值：(a－3)2＋2(3a－1)，其中a＝eq\r(2).16.(6分)現(xiàn)有三張不透明的卡片，其中兩張卡片的正面圖案為“神州首飛”，第三張卡片的正面圖案為“保衛(wèi)和平”，卡片除正面圖案不同外，其余均相同．將這三張卡片背面向上洗勻，從中隨機抽取一張，記錄圖案后放回，重新洗勻后再從中隨機抽取一張．請用畫樹狀圖(或列表)的方法，求兩次抽出的卡片上的圖案都是“保衛(wèi)和平”的概率．(圖案為“神州首飛”的兩張卡片分別記為A1、A2，圖案為“保衛(wèi)和平”的卡片記為B)．第16題圖17.(6分)圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的端點均在格點上，只用無刻度的直尺．在給定的網(wǎng)格中，按下列要求以AB為邊畫△ABC.要求：(1)在圖①中畫一個鈍角三角形，在圖②中畫一個直角三角形，在圖③中畫一個銳角三角形；(2)三個圖中所畫的三角形的面積均不相等；(3)點C在格點．第17題圖18.(7分)在國家精準扶貧的政策下，某村企生產(chǎn)的黑木耳獲得了國家綠色食品標準認證．綠標的認證，使該村企的黑木耳在市場上更有競爭力．今年每斤黑木耳的售價比去年增加了20元．預(yù)計今年的銷量是去年的3倍，年銷售額為360萬元．已知去年的年銷售額為80萬元，問該村企去年黑木耳的年銷量為多少萬斤？19.(7分)如圖，在?ABCD中，O是對角線AC、BD的交點，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點E、F.(1)求證：OE＝OF;(2)若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．第19題圖20.(7分)空氣質(zhì)量按照空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為六個級別，分別為：一級優(yōu)、二級良、三級輕度污染、四級中度污染、五級重度污染、六級嚴重污染．級別越高，說明污染的情況越嚴重，對人體的健康危害也就越大．空氣質(zhì)量達到一級優(yōu)或二級良的天氣為達標天氣．下圖是長春市從2014年到2019年的空氣質(zhì)量級別天數(shù)的統(tǒng)計圖表．2014－2019年長春市空氣質(zhì)量級別天數(shù)統(tǒng)計表空氣質(zhì)量級別天數(shù)(天)年份優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染2014302157328136201543193871915820165123758155020176521162169220181232023901020191261803816502014－2019年長春市空氣質(zhì)量為“達標”和“優(yōu)”的天數(shù)折線統(tǒng)計圖第20題圖根據(jù)上面的統(tǒng)計圖表回答下列問題：(1)長春市從2014年到2019年空氣質(zhì)量為“達標”的天數(shù)最多的是________年．(2)長春市從2014年到2019年空氣質(zhì)量為“重度污染”的天數(shù)的中位數(shù)為________天．平均數(shù)為________天．(3)長春市從2015年到2019年，和前一年相比，空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)增加最多的是________年，這一年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)的年增長率約為________．(精確到1%)(空氣的質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)的年增長率＝eq\f(今年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)－去年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù),去年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù))×100%)(4)你認為長春市從2014年到2019年哪一年的空氣質(zhì)量好？請說明理由．21.(8分)已知A、B兩地之間有一條長240千米的公路．甲車從A地出發(fā)勻速開往B地，甲車出發(fā)兩小時后，乙車從B地出發(fā)勻速開往A地，兩車同時到達各自的目的地．兩車行駛的路程之和y(千米)與甲車行駛的時間x(時)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)甲車的速度為______千米/時，a的值為______；(2)求乙車出發(fā)后，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當甲、乙兩車相距100千米時，求甲車行駛的時間．第21題圖22.(9分)【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第121頁的部分內(nèi)容．【問題解決】如圖①，已知矩形紙片ABCD(AB＞AD)，將矩形紙片沿過點D的直線折疊，使點A落在邊DC上，點A的對應(yīng)點為A′，折痕為DE，點E在AB上．求證：四邊形AEA′D是正方形．【規(guī)律探索】由【問題解決】可知，圖①中的△A′DE為等腰三角形．現(xiàn)將圖①中的點A′沿DC向右平移至點Q處(點Q在點C的左側(cè))，如圖②，折痕為PF，點F在DC上，點P在AB上，那么△PQF還是等腰三角形？請說明理由．【結(jié)論應(yīng)用】在圖②中，當QC＝QP時，將矩形紙片繼續(xù)折疊，如圖③，使點C與點P重合，折痕為QG，點G在AB上．要使四邊形PGQF為菱形，則eq\f(AD),\s\do5(AB))＝________．第22題圖23.(10分)如圖①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點P從點A出發(fā)，沿折線AB－BC以每秒5個單位長度的速度向點C運動，同時點D從點C出發(fā)，沿CA以每秒2個單位長度的速度向點A運動，點P到達點C時，點P、D同時停止運動．當點P不與點A、C重合時，作點P關(guān)于直線AC的對稱點Q，連接PQ交AC于點E，連接DP、DQ.設(shè)點P的運動時間為t秒．(1)當點P與點B重合時，求t的值．(2)用含t的代數(shù)式表示線段CE的長．(3)當△PDQ為銳角三角形時，求t的取值范圍．(4)如圖②，取PD的中點M，連接QM，當直線QM與△ABC的一條直角邊平行時，直接寫出t的值．第23題圖24.(12分)在平面直角坐標系中，函數(shù)y＝x2－2ax－1(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點A.(1)求點A的坐標．(2)當此函數(shù)圖象經(jīng)過點(1，2)時，求此函數(shù)的表達式，并寫出函數(shù)值y隨x的增大而增大時x的取值范圍．(3)當x≤0時，若函數(shù)y＝x2－2ax－1(a為常數(shù))的圖象的最低點到直線y＝2a的距離為2，求a的值．(4)設(shè)a＜0，Rt△EFG三個頂點的坐標分別為E(－1，－1)、F(－1，a－1)、G(0，a－1)．當函數(shù)y＝x2－2ax－1(a為常數(shù))的圖象與△EFG的直角邊有交點時，交點記為點P.過點P作y軸的垂線，與此函數(shù)圖象的另一交點為P′(P′與P不重合)，過點A作y軸的垂線，與此函數(shù)圖象的另一個交點為A′，若AA′＝2PP′，直接寫出a的值．第24題圖

2020長春市中考數(shù)學(xué)試題解析1.C【解析】設(shè)被葉子蓋住的點表示的數(shù)為x，則－4＜x＜－2，則表示的數(shù)可能是－3.故選C.2.B【解析】將一個大于10的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示，其形式為a×10n，其中1≤a<10，n的值為原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1，∴79000＝7.9×104.故選B.3.A【解析】四棱柱的側(cè)面展開圖是矩形．故選A.4.D【解析】解不等式得x≥1，在數(shù)軸上表示如選項D所示．5.A【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義可知：sinA＝eq\f(BD,AB).故選A.6.B【解析】∵∠BDC＝20°，∠BOC＝2∠BDC，∴∠BOC＝40°，∴∠AOC＝180°－40°＝140°.故選B.7.C【解析】由作圖步驟可知，MN垂直平分BC，∴BD＝CD，MN⊥BC，∴∠BDN＝∠CDN，故選項A正確；又∵BD＝CD，∴∠B＝∠BCD，∵∠ADC是△BCD的一個外角，∴∠ADC＝∠B＋∠BCD＝2∠B，故選項B正確；∵∠BAC＝90°，∴∠ADC＋∠ACD＝90°，∴2∠B＋∠ACD＝90°，故選D正確；∵CD不一定平分∠ACB，∴∠ACD不一定等于∠DCB，故選項C錯誤．故選C.8.C【解析】如解圖，過點P，作PD⊥x軸于點D，∵AB⊥x軸，∴PD∥AB，∴eq\f(PD,AB)＝eq\f(CD,BC)＝eq\f(PC,AC)，∵AP＝2PC，∴AC＝3PC，即eq\f(PC,AC)＝eq\f(1,3)，∵點A(3，2)，∴AB＝2，∴eq\f(PD,2)＝eq\f(1,3)，∴PD＝eq\f(2,3)；當點C與點O重合時，則BC＝3，∴CD＝1，此時點P的坐標為(1，eq\f(2,3))，∴k＝1×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)；當點C與點B重合時，點P的坐標為(3，eq\f(2,3))，∴k＝3×eq\f(2,3)＝2；∴k的取值范圍是eq\f(2,3)≤k≤2.第8題解圖9.30m＋15n【解析】根據(jù)題意得，購買m張成人票需花費30m元，購買n張兒童票需花費15n，∴共需花費(30m＋15n)元．10.(a＋2)(a－2)【解析】原式＝a2－22＝(a＋2)(a－2)．11.1【解析】根據(jù)題意得b2－4ac＝(－2)2－4×1×m＝4－4m＝0，解得m＝1.12.72【解析】正五邊形的一個外角的度數(shù)＝eq\f(360°,5)＝72°.13.π－2【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴∠C＝45°，AC＝2eq\r(2)，∴陰影部分的面積＝eq\f(45×π×（2\r(2)）2,360)－eq\f(1,2)×2×2＝π－2.14.eq\f(7,2)【解析】∵點A的坐標(0，2)，點B的坐標(4，2)，∴AB＝4，∵CD＝eq\f(1,2)AB，∴CD＝2，設(shè)點C的坐標為(a，2)，則點D的坐標為(a＋2，2)，∴拋物線y＝－eq\f(3,2)(x－h(huán))2＋k的對稱軸為x＝a＋1，∴h＝a＋1，把點C(a，2)代入得2＝－eq\f(3,2)(a－a－1)2＋k，解得k＝eq\f(7,2).15.解：原式＝a2－6a＋9＋6a－2，＝a2＋7，當a＝eq\r(2)時，原式＝(eq\r(2))2＋7＝2＋7＝9.16.解：畫樹狀圖為：由樹狀圖可知，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9種，其中兩次抽取的卡片上都是“保衛(wèi)和平”的結(jié)果有1種，∴P(兩張都是“保衛(wèi)和平”)＝eq\f(1,9)，答：兩次抽出的卡片上的圖案都是“保衛(wèi)和平”的概率是eq\f(1,9).17.解：如解圖所示，即為所求△ABC.(答案不唯一)第17題解圖圖①中△ABC是鈍角三角形，面積為eq\f(1,2)，圖②中△ABC是直角三角形，面積為1，圖③中△ABC是銳角三角形，面積為eq\f(3,2).18.解：設(shè)該村企去年黑木耳的年銷量為x萬斤，根據(jù)題意得eq\f(360,3x)－eq\f(80,x)＝20，解得x＝2，經(jīng)檢驗：x＝2是原方程的解，且符合題意．答：該村企去年黑木耳的年銷量為2萬斤．19.解：(1)證明：∵?ABCD的對角線AC、BD的交點為O，∴OB＝OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC,∴∠BEO＝∠DFO＝90°，∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF，∴OE＝OF.(2)由(1)知OE＝OF，∵OF＝2，∴OE＝2，∵∠BEO＝90°，BE＝5，∴tan∠OBE＝eq\f(OE,BE)＝eq\f(2,5).20.解：(1)2018；【解法提示】由折線統(tǒng)計圖，可以看出2018年的達標天數(shù)最多；(2)7，8；【解法提示】將2014年—2019年重度污染的天數(shù)按照從小到大的順序排列為：1，5，5，9，13，15，第3和第4個數(shù)據(jù)分別是5和9，∴中位數(shù)為7；x＝eq\f(1,6)×(1＋5＋5＋9＋13＋15)＝8.(3)2018，89%；【解法提示】從折線統(tǒng)計圖中，可以看到2018年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”天數(shù)增長快，比2017年空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)增加了58天；空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的天數(shù)的增長率＝eq\f(123－65,65)×100%≈89%.(4)2018年空氣質(zhì)量好．理由：2018年空氣質(zhì)量達標天數(shù)最多，嚴重污染和中度污染天數(shù)為0，重度污染天數(shù)最少．21.解：(1)40，480【解法提示】甲車的速度為80÷2＝40千米/時；a＝240×2＝480；(2)根據(jù)函數(shù)圖象，可知乙車出發(fā)后，y與x是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)乙車出發(fā)后，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，把點(2，80)，(6，480)代入得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝80,6k＋b＝480))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝100,b＝－120))，∴乙車出發(fā)后，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝100x－120；(3)由題意知，乙車的速度為240÷(6－2)＝60千米/時，設(shè)甲車出發(fā)x小時后，甲、乙兩車相距100千米，根據(jù)題意得：40x＋60(x－2)＝240－100或40x＋60(x－2)＝240＋100，解得x＝eq\f(13,5)或x＝eq\f(23,5)，答：當甲、乙兩車相距100千米時，甲車行駛了eq\f(13,5)小時或eq\f(23,5)小時．22.解：【問題解決】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADA′＝90°，由折疊的性質(zhì)可得：AD＝ED，∠A＝∠DA′E＝90°，∴四邊形ADA′E是矩形，又∵AD＝ED，∴四邊形ADA′E是正方形．【規(guī)律探索】△PQF是等腰三角形．理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠QFP＝∠APF，由折疊的性質(zhì)可得：∠APF＝∠FPQ，∴∠QFP＝∠FPQ，∴PQ＝FQ，∴△PQF是等腰三角形．【結(jié)論應(yīng)用】eq\f(\r(3),5).【解法提示】∵四邊形PGQF是菱形，∴PQ＝PF，又∵PQ＝FQ，∴PQ＝FQ＝PF，∴△PQF是等邊三角形，∴∠PFQ＝60°，∴∠PFD＝120°，由折疊性質(zhì)得：∠PFD′＝∠PFD＝120°，∠A＝∠D′，AD＝D′Q，DF＝FD′，∴∠D′FQ＝∠PFD′－∠PFQ＝120°－60°＝60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，CD＝AB，∴∠D′＝90°，設(shè)FQ＝a，∴FD′＝eq\f(1,2)a，D′Q＝eq\f(\r(3),2)a，∴DF＝eq\f(1,2)a，AD＝eq\f(\r(3),2)a，∵QC＝PQ，∴QC＝FQ＝a，∴AB＝CD＝DF＋FQ＋QC＝eq\f(5,2)a，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(\f(\r(3),2)a,\f(5,2)a)＝eq\f(\r(3),5).23.(1)當點P與點B重合時，5t＝4.解得t＝eq\f(4,5).(2)在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，sinA＝eq\f(3,5)，cosA＝eq\f(4,5).如圖①，當點P在AB上時，在Rt△APE中，AE＝AP·cosA＝4t.∴CE＝AC＋AE＝5－4t.如圖②，當點P在BC上時，在Rt△PCE中，PC＝7－5t，cosC＝sinA＝eq\f(3,5).∴CE＝PC·cosC＝eq\f(3,5)(7－5t)＝eq\f(21,5)－3t.(3)先考慮臨界值等腰直角三角形PDQ，那么PE＝DE.如圖③，當點P在AB上時，在Rt△APE中，PE＝AP·sinA＝3t.而DE＝AC－AE－CD＝5－4t－2t＝5－6t，由PE＝DE，得3t＝5－6t.解得t＝eq\f(5,9).如圖④，當點P在BC上時，在Rt△PCE中，PE＝PC·sinC＝eq\f(4,5)(7－5t)＝eq\f(28,5)－4t.而DE＝CD－CE＝2t－eq\f(3,5)(7－5t)＝5t－eq\f(21,5)，由PE＝DE，得eq\f(8,5)－4t＝5t－eq\f(2,5)，解得t＝eq\f(49,45).再數(shù)形結(jié)合寫結(jié)論．當△PDQ為銳角三角形時，0<t<eq\f(5,9)，或eq\f(53,50)<t<eq\f(7,5).第23題解圖(4)t的值為eq\f(5,18)或eq\f(6,5).【解法提示】如饑解圖⑤，當點P在AB上時，延長QM交BC于點N.作QG⊥AB于G，作DH⊥BC于H.由QM∥AB，M是PD的中點，可知N是BH的中點．在Rt△PQG中，PQ＝2PE＝6t，∴QG＝eq\f(4,5)PQ＝eq\f(24,5)t.在Rt△DCH中，HC＝eq\f(3,5)DC＝eq\f(6,5)t.由BC＝BH＋HC＋HC＝eq\f(24,5)t＋eq\f(24,5)t＋eq\f(6,5)t＝3，解得t＝eq\f(5,18).如圖⑥，當點P在BC上時，作PK⊥QM于K.由Q