2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第十二章概率第三講離散型隨機(jī)變量及其分布列均值與方差課件理

第十二章

概率第三講離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差要點(diǎn)提煉

離散型隨機(jī)變量的分布列考點(diǎn)11.離散型隨機(jī)變量的分布列(1)隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的

叫作隨機(jī)變量.所有取值可以

的隨機(jī)變量叫作離散型隨機(jī)變量.(2)一般地,若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一個(gè)值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格形式表示如下,則上表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列,簡(jiǎn)稱為X的分布列.為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),也可以用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.變量一一列出Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn

離散型隨機(jī)變量的分布列考點(diǎn)12.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pi+…+pn=

;(3)P(xi≤X≤xj)=pi+pi+1+…+pj(i<j且i,j∈N*).說(shuō)明

(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值或取值范圍;(2)利用分布列中各事件的概率和為1來(lái)檢查所寫出的分布列是否有誤.1

常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型考點(diǎn)21.兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量X的分布列為

,其中0<p<1,則稱X服從兩點(diǎn)分布.說(shuō)明

(1)兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩種可能,且其概率之和為1;(2)兩點(diǎn)分布又稱0-1分布,其應(yīng)用十分廣泛.X01P1-pp

常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型考點(diǎn)22.超幾何分布一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品,則P(X=k)=

,k=0,1,2,…,m,即其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上表的形式,則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布,記作X~H(N,M,n).

離散型隨機(jī)變量的均值與方差考點(diǎn)3

Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn

離散型隨機(jī)變量的均值與方差考點(diǎn)3注意(1)期望是算術(shù)平均值概念的推廣,是概率意義下的平均;(2)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),由X的分布列唯一確定,即作為隨機(jī)變量,X是可變的,可取不同值,而E(X)是不變的,它描述X取值的平均狀態(tài);(3)隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.D(X)越大,表明平均偏離程度越大,X的取值越分散.反之,D(X)越小,X的取值越集中在E(X)附近.

離散型隨機(jī)變量的均值與方差考點(diǎn)3

aE(X)+ba2D(X)E(X1)+E(X2)pp(1-p)理解自測(cè)1.判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”).(1)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的. (

)(2)期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣,與概率無(wú)關(guān). (

)(3)均值與方差都是從整體上刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量的情況,因此它們是一回事. (

)(4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離均值的平均程度越小. (

)(5)離散型隨機(jī)變量的分布列中,隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1. (

)×××√√(6)從4名男演員和3名女演員中選出4名,其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布. (

)(7)由下表給出的隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布. (

)2.[2020浙江高考]盒中有4個(gè)球,其中1個(gè)紅球,1個(gè)綠球,2個(gè)黃球.從盒中隨機(jī)取球,每次取1個(gè),不放回,直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為ξ,則P(ξ=0)=

,E(ξ)=

.×√X25P0.30.7

1考向掃描

求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差考向11.典例

[2021北京高考]為加快新冠病毒檢測(cè)效率,某檢測(cè)機(jī)構(gòu)采取“k合1檢測(cè)法”,即將k個(gè)人的拭子樣本合并檢測(cè),若為陰性,則可以確定所有樣本都是陰性的,若為陽(yáng)性,則還需要對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測(cè).現(xiàn)有100人,已知其中兩人感染病毒.(Ⅰ)①若采用“10合1檢測(cè)法”,且兩名感染患者在同一組,求總檢測(cè)次數(shù);②已知10人分成一組,兩名感染患者在同一組的概率為1/11,求檢測(cè)次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).(Ⅱ)若采用“5合1檢測(cè)法”,檢測(cè)次數(shù)Y的期望為E(Y),試比較E(X)和E(Y)的大小(直接寫出結(jié)果).

求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差考向1

求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差考向1

X2030P

求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差考向1

Y2530P

求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差考向1方法技巧1.求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟(1)理解X的意義,寫出X的所有可能取值;(2)求X取各個(gè)值的概率;(3)寫出分布列.注意①求離散型隨機(jī)變量的分布列時(shí),注意計(jì)數(shù)原理、排列組合等知識(shí)的應(yīng)用或利用概率和為1從反面入手.②對(duì)于抽樣問(wèn)題,要特別注意是放回還是不放回.

求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差考向12.有關(guān)離散型隨機(jī)變量的均值與方差問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差.可由題中條件求出離散型隨機(jī)變量的分布列,然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求參數(shù)值.可由題中條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組),解方程(組)即可求出參數(shù).

求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差考向12.變式[2022南昌市模擬]甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加一次節(jié)日活動(dòng),他們都有機(jī)會(huì)抽取獎(jiǎng)券.墻上掛著兩串獎(jiǎng)券袋(如圖),A,B,C,D,E五個(gè)袋子分別裝有價(jià)值100,80,120,200,90(單位:元)的獎(jiǎng)券,抽取方法是這樣的:每位同學(xué)只能從其中一串的最下端取一個(gè)袋子,得到其中獎(jiǎng)券,直到獎(jiǎng)券袋取完為止.甲先取,然后乙、丙、丁、戊依次取,每個(gè)人等可能選擇一串取.(1)求丙取得的獎(jiǎng)券袋中的獎(jiǎng)券為80元的概率;(2)記丁取得的獎(jiǎng)券袋中的獎(jiǎng)券為X元,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差考向1

求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差考向1

求離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差考向1

X8090100200P

超幾何分布的求解考向23.典例[2018天津高考][理]已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(ii)設(shè)A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率.

超幾何分布的求解考向2

超幾何分布的求解考向2

超幾何分布的求解考向2方法技巧

1.隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的判斷判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的關(guān)鍵是要看隨機(jī)變量是否滿足超幾何分布的特征:①不放回抽樣;②一個(gè)總體(共有N個(gè))內(nèi)含有兩種不同的事物A(有M個(gè)),B(有(N-M)個(gè)),任取n個(gè),其中恰有X個(gè)A.符合以上特征,即可判斷隨機(jī)變量服從超幾何分布.超幾何分布實(shí)質(zhì)是古典概型.2.求超幾何分布的分布列的步驟第一步,驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布,即X~H(N,M,n),并確定參數(shù)N,M,n的值;

超幾何分布的求解考向2

超幾何分布的求解考向2

1

利用期望與方差進(jìn)行決策考向35.典例[2016全國(guó)卷Ⅰ][理]某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得如圖所示的柱狀圖:

利用期望與方差進(jìn)行決策考向3以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,確定n的最小值;(3)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?

利用期望與方差進(jìn)行決策考向3解析(1)由題中柱狀圖并以頻率代替概率可得,1臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,從而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.

利用期望與方差進(jìn)行決策考向3所以X的分布列為(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元).當(dāng)n=19時(shí),E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040.當(dāng)n=20時(shí),E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.可知當(dāng)n=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于當(dāng)n=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值,故應(yīng)選n=19.X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04

利用期望與方差進(jìn)行決策考向36.變式[2022安徽示范高中名校聯(lián)考]某單位有員工50000人,一保險(xiǎn)公司針對(duì)該單位推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品,每年每位職工只需要交少量保費(fèi),發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把該單位的所有崗位分為A,B,C三類工種,從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖所示的餅圖,且這三類工種每年的賠付概率如下表所示:

職工工種類別分布餅圖工種類別ABC賠付概率

利用期望與方差進(jìn)行決策