【解析】安徽省合肥市蜀山區(qū)琥珀中學(xué)2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷

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安徽省合肥市蜀山區(qū)琥珀中學(xué)2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷

一、單選題

1．（2023八下·蜀山期中）下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A．B．C．D．

2．（2023八下·蜀山期中）如圖，小紅家的木門左下角有一點(diǎn)受潮，她想檢測門是否變形，準(zhǔn)備采用如下方法：先測量門的邊和的長，再測量點(diǎn)A和點(diǎn)C間的距離，由此可推斷是否為直角，這樣做的依據(jù)是（）

A．勾股定理B．勾股定理的逆定理

C．三角形內(nèi)角和定理D．直角三角形的兩銳角互余

3．（2023八下·蜀山期中）下列運(yùn)算正確的是（）

A．B．C．D．

4．（2023八下·蜀山期中）滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A．三內(nèi)角之比為B．三邊長之比為

C．三內(nèi)角之比為D．三邊長的平方之比為

5．（2023·濱海模擬）估計(jì)的值在（）

A．2和3之間B．3和4之間C．4和5之間D．5和6之間

6．（2023八下·蜀山期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長為1，點(diǎn)A，B，C均為格點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，長為半徑作弧，交格線于點(diǎn)D．則的長為（）

A．B．C．D．

7．（2023八下·蜀山期中）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時(shí)，愛動腦的小小同學(xué)發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中．據(jù)此規(guī)律，當(dāng)時(shí)，的值是（）

…

…

…

A．B．C．D．

8．（2023八下·蜀山期中）若一元二次方程有解，則m的取值范圍是（）

A．B．C．且D．且

9．（2023八下·蜀山期中）空地上有一段長為a米的舊墻，工人師傅欲利用舊墻和木棚欄圍成一個(gè)封閉的長方形菜園（如圖），已知木柵欄總長為40米，所圍成的長方形菜園面積為S平方米．若，，則（）

A．有一種圍法B．有兩種圍法

C．不能圍成菜園D．無法確定有幾種圍法

10．（2023八下·蜀山期中）勾股定理是我國古代的偉大數(shù)學(xué)發(fā)明之一．如圖，以的各邊向外作正方形，得到三塊正方形紙片，再把較小的兩張正方形紙片放入最大的正方形中，重疊部分的面積記作，左下不重疊部分的面積記作，若，則的值是（）

A．1B．C．2D．

二、填空題

11．（2023八下·南潯期末）若二次根式有意義，則x的取值范圍是．

12．（2023八下·蜀山期中）計(jì)算÷＝．

13．（2023八下·蜀山期中）如圖是某路口草坪的一角（），當(dāng)行走路線是A→C→B時(shí)，有人為了抄近道在草坪內(nèi)走出了一條不該有的“捷徑”．某學(xué)習(xí)實(shí)踐小組通過測量得的長約為5米，的長約為12米，為了提醒居民愛護(hù)草坪，他們想在A，B處設(shè)立“踏破青白可惜，多行數(shù)步無妨”的提示牌．則提示牌上的“多行數(shù)步”是指多行米．

14．（2023八下·蜀山期中）設(shè)，是方程的兩個(gè)根，則．

15．（2023八下·蜀山期中）如圖，正方體盒子的棱長為，O為的中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻位于點(diǎn)C處，它想沿正方體的表面爬行到點(diǎn)O處獲取食物，則螞蟻需爬行的最短路程為．

16．（2023八下·蜀山期中）已知實(shí)數(shù)，且滿足，．請解決下列問題：

（1）當(dāng)時(shí)，的值為；

（2）當(dāng)時(shí)，的值為．

三、解答題

17．（2023八下·蜀山期中）計(jì)算：

（1）；

（2）．

18．（2023八下·蜀山期中）解方程：

（1）；

（2）．

19．（2023八下·蜀山期中）為了綠化環(huán)境，我市某中學(xué)有一塊四邊形的空地，如圖所示，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量，，，，．

（1）求出空地的面積；

（2）若每種植1平方米草皮需要350元，問總共需投入多少元？

20．（2023八下·蜀山期中）閱讀下列例題．

在學(xué)習(xí)二次根式性質(zhì)時(shí)我們知道，

例題：求的值．

解：設(shè)，兩邊平方得：

，

即，，

，

，

，

請利用上述方法，求的值．

21．（2023八下·蜀山期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．

（1）求證：無論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求k的值．

22．（2023八下·蜀山期中）一款服裝每件進(jìn)價(jià)為80元，銷售價(jià)為120元時(shí)，每天可售出20件，為了擴(kuò)大銷售量，增加利潤，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件服裝降價(jià)1元，那么平均每天可多售出2件．

（1）設(shè)每件衣服降價(jià)x元，則每天銷售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）在讓利于顧客的情況下，每件服裝降價(jià)多少元時(shí)，商家平均每天能盈利1200元；

（3）商家能達(dá)到平均每天盈利1500元嗎？請說明你的理由．

23．（2023八下·蜀山期中）中，，是邊上一點(diǎn)，．連接，將沿翻折得，連接．

（1）請根據(jù)題意，在圖1中補(bǔ)全圖形；

（2）求證是直角三角形；

（3）若，，求的長．

答案解析部分

1．【答案】C

【知識點(diǎn)】二次根式的定義

【解析】【解答】解：由題意得為最簡二次根式，

故答案為：C

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義結(jié)合題意即可求解。

2．【答案】B

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：由題意得這樣做的依據(jù)是勾股定理的逆定理，

故答案為：B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理結(jié)合題意即可求解。

3．【答案】D

【知識點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】解：

A、，A不符合題意；

B、，B不符合題意；

C、，C不符合題意；

D、，D符合題意；

故答案為：D

【分析】根據(jù)二次公式的混合運(yùn)算逐一分析選項(xiàng)即可求解。

4．【答案】A

【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理

【解析】【解答】解：

A、∵三內(nèi)角之比為，

∴最大的內(nèi)角為，故不是直角三角形，A符合題意；

B、∵，

∴是直角三角形，B不符合題意；

C、∵三內(nèi)角之比為，

∴最大的內(nèi)角為，是直角三角形，C不符合題意；

D、∵三邊長的平方之比為，

∴是直角三角形，D不符合題意；

故答案為：A

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、勾股定理結(jié)合直角三角形的判定即可求解。

5．【答案】B

【知識點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小

【解析】【解答】解：∵16＜23＜25，

∴，

∴

故答案為：B.

【分析】由于16＜23＜25，根據(jù)算術(shù)平方根得到，即可判斷的范圍

6．【答案】C

【知識點(diǎn)】勾股定理

【解析】【解答】解：連接AD，如圖所示：

由題意得BA=DA=2，

由勾股定理，

∴CD=，

故答案為：D

【分析】連接AD，進(jìn)而根據(jù)題意運(yùn)用勾股定理即可求解。

7．【答案】B

【知識點(diǎn)】勾股數(shù)

【解析】【解答】解：由表格數(shù)據(jù)得，

∴，

解得b=1012，

故答案為：B

【分析】運(yùn)用勾股數(shù)的定義結(jié)合題意列出方程，進(jìn)而即可求出b。

8．【答案】C

【知識點(diǎn)】一元二次方程的定義及相關(guān)的量；一元二次方程根的判別式及應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵一元二次方程有解，

∴，

∴且，

故答案為：C

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義結(jié)合一元二次方程根的判別式即可求解。

9．【答案】A

【知識點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】解：如圖：

設(shè)AC=a米，則寬為（40-2a）米，

由題意得，

解得，

∵40-2a≤18，

∴x≥11，

∴，

∴只存在一種圍法，

故答案為：A

【分析】設(shè)AC=a米，則寬為（40-2a）米，進(jìn)而根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合題意求出a的取值范圍即可求解。

10．【答案】B

【知識點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；勾股定理

【解析】【解答】解：設(shè)AC=a，CB=b，AB=c，則面積為的矩形的長和寬分別為c-a，c-b，面積為的正方形邊長為a+b-c，

∴，，，

∴，

故答案為：B

【分析】設(shè)AC=a，CB=b，AB=c，根據(jù)勾股定理結(jié)合整式的乘法即可得到，，，進(jìn)而即可求解。

11．【答案】

【知識點(diǎn)】二次根式有意義的條件

【解析】【解答】解：由題意得：x-3≥0，

解得：.

故答案為：

【分析】二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0，據(jù)此列不等式，解不等式即可得出結(jié)果。

12．【答案】

【知識點(diǎn)】二次根式的乘除法

【解析】【解答】解：由題意得÷＝，

故答案為：

【分析】根據(jù)二次根式的除法進(jìn)行運(yùn)算即可求解。

13．【答案】4

【知識點(diǎn)】勾股定理

【解析】【解答】解：由勾股定理得，

∴多行12+5-13=4米，

故答案為：4

【分析】先根據(jù)勾股定理即可求出AB，進(jìn)而即可求解。

14．【答案】

【知識點(diǎn)】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵，是方程的兩個(gè)根，

∴，，

∴，

故答案為：10

【分析】根據(jù)一元二次方程的解結(jié)合題意即可得到，，進(jìn)而代入求值即可求解。

15．【答案】

【知識點(diǎn)】勾股定理；正方形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：根據(jù)題意展開正方形，連接CO，如圖所示：

則CO的長為螞蟻需爬行的最短路程，

∵正方體盒子的棱長為，O為的中點(diǎn)，

∴∠Q=90°，，，

由勾股定理得，

∴螞蟻需爬行的最短路程為，

故答案為：

【分析】根據(jù)題意展開正方形，連接CO，則CO的長為螞蟻需爬行的最短路程，進(jìn)而根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得到∠Q=90°，，，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出OC即可求解。

16．【答案】（1）

（2）2

【知識點(diǎn)】一元二次方程的根；一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：（1）∵，，

∴，

∵，

∴a和b為方程的兩個(gè)根，

∴a+b=-3，

故答案為：-3；

（2）∵，，

∴，

∴，

∴a和b為方程的兩個(gè)根，

∴a+b=-3，ab=-c，

∴，

∴，

故答案為：2

【分析】（1）先根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到a和b為方程的兩個(gè)根，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解；

（2）先根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到，從而得到a和b為方程的兩個(gè)根，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得到a+b=-3，ab=-c，進(jìn)而得到，然后結(jié)合題意代入即可求解。

17．【答案】（1）解：

（2）解：

【知識點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；二次根式的混合運(yùn)算

【解析】【分析】（1）運(yùn)用二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算即可求解；

（2）運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行運(yùn)算即可求解。

18．【答案】（1）解：，

∴或，

∴，

（2）解：

，即

∴

∴，

【知識點(diǎn)】配方法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法

【解析】【分析】（1）運(yùn)用十字相乘法進(jìn)行因式分解，進(jìn)而即可求解；

（2）運(yùn)用配方法得到，進(jìn)而運(yùn)用直接開平方法解方程即可。

19．【答案】（1）解：連接，

∵，，，，，

∴在中，

在中，而，

∴，

∴，

則

；

答：空地的面積為．

（2）解：需費(fèi)用（元），

答：總共需投入39900元．

【知識點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）連接，先根據(jù)勾股定理結(jié)合題意即可得到，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到，再運(yùn)用即可求解；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果結(jié)合題意即可求解。

20．【答案】解：設(shè)，

則，

，

，

．

【知識點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡

【解析】【分析】設(shè)，進(jìn)而得到，再根據(jù)題意得到x＜0即可求解。

21．【答案】（1）證明：∵

∴無論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出：，

由得：

解得：．

【知識點(diǎn)】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式結(jié)合題意即可求解；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題意代入即可求解。

22．【答案】（1）；

（2）解：設(shè)每件服裝降價(jià)x元，則每件的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為件，

依題意得：，

整理得：，

解得：．

又∵需要讓利于顧客，

∴．

答：每件服裝降價(jià)20元時(shí)，能讓利于顧客并且商家平均每天能贏利1200元；

（3）解：商家不能達(dá)到平均每天盈利1500元，理由如下：

設(shè)每件服裝降價(jià)y元，則每件的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為件，

依題意得：，

整理得：．

∵，

∴此方程無解，

即不可能每天盈利1500元．

【知識點(diǎn)】一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-銷售問題

【解析】【解答】解：（1）由題意得設(shè)每件衣服降價(jià)x元，則每天銷售量增加2x件，每件商品盈利元，

故答案為：2x；；

【分析】（1）根據(jù)題意直接列出代數(shù)式即可求解；

（2）設(shè)每件服裝降價(jià)x元，則每件的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為件，根據(jù)題意即可列出一元二次方程，進(jìn)而即可求解；

（3）商家不能達(dá)到平均每天盈利1500元，理由如下：設(shè)每件服裝降價(jià)y元，則每件的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為件，根據(jù)題意即可列出方程，進(jìn)而根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求解。

23．【答案】（1）解：補(bǔ)全圖形如下：

（2）證明：，

，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，

，

是直角三角形；

（3）解：設(shè)，

，，

，

在中，根據(jù)勾股定理，得，

解得，

，，

，，

，

，

，

根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，

在中，根據(jù)勾股定理，得．

【知識點(diǎn)】勾股定理；翻折變換（折疊問題）；等腰直角三角形

【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合題意補(bǔ)全圖形即可求解；

（2）先根據(jù)題意得到∠BDA的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，從而根據(jù)即可求解。

（3），進(jìn)而即可得到，再根據(jù)勾股定理即可求出x，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到DC的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到，然后根據(jù)勾股定理即可求解。

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安徽省合肥市蜀山區(qū)琥珀中學(xué)2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷

一、單選題

1．（2023八下·蜀山期中）下列二次根式是最簡二次根式的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點(diǎn)】二次根式的定義

【解析】【解答】解：由題意得為最簡二次根式，

故答案為：C

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義結(jié)合題意即可求解。

2．（2023八下·蜀山期中）如圖，小紅家的木門左下角有一點(diǎn)受潮，她想檢測門是否變形，準(zhǔn)備采用如下方法：先測量門的邊和的長，再測量點(diǎn)A和點(diǎn)C間的距離，由此可推斷是否為直角，這樣做的依據(jù)是（）

A．勾股定理B．勾股定理的逆定理

C．三角形內(nèi)角和定理D．直角三角形的兩銳角互余

【答案】B

【知識點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：由題意得這樣做的依據(jù)是勾股定理的逆定理，

故答案為：B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理結(jié)合題意即可求解。

3．（2023八下·蜀山期中）下列運(yùn)算正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】解：

A、，A不符合題意；

B、，B不符合題意；

C、，C不符合題意；

D、，D符合題意；

故答案為：D

【分析】根據(jù)二次公式的混合運(yùn)算逐一分析選項(xiàng)即可求解。

4．（2023八下·蜀山期中）滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A．三內(nèi)角之比為B．三邊長之比為

C．三內(nèi)角之比為D．三邊長的平方之比為

【答案】A

【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理

【解析】【解答】解：

A、∵三內(nèi)角之比為，

∴最大的內(nèi)角為，故不是直角三角形，A符合題意；

B、∵，

∴是直角三角形，B不符合題意；

C、∵三內(nèi)角之比為，

∴最大的內(nèi)角為，是直角三角形，C不符合題意；

D、∵三邊長的平方之比為，

∴是直角三角形，D不符合題意；

故答案為：A

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、勾股定理結(jié)合直角三角形的判定即可求解。

5．（2023·濱海模擬）估計(jì)的值在（）

A．2和3之間B．3和4之間C．4和5之間D．5和6之間

【答案】B

【知識點(diǎn)】估算無理數(shù)的大小

【解析】【解答】解：∵16＜23＜25，

∴，

∴

故答案為：B.

【分析】由于16＜23＜25，根據(jù)算術(shù)平方根得到，即可判斷的范圍

6．（2023八下·蜀山期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長為1，點(diǎn)A，B，C均為格點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，長為半徑作弧，交格線于點(diǎn)D．則的長為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點(diǎn)】勾股定理

【解析】【解答】解：連接AD，如圖所示：

由題意得BA=DA=2，

由勾股定理，

∴CD=，

故答案為：D

【分析】連接AD，進(jìn)而根據(jù)題意運(yùn)用勾股定理即可求解。

7．（2023八下·蜀山期中）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時(shí)，愛動腦的小小同學(xué)發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中．據(jù)此規(guī)律，當(dāng)時(shí)，的值是（）

…

…

…

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點(diǎn)】勾股數(shù)

【解析】【解答】解：由表格數(shù)據(jù)得，

∴，

解得b=1012，

故答案為：B

【分析】運(yùn)用勾股數(shù)的定義結(jié)合題意列出方程，進(jìn)而即可求出b。

8．（2023八下·蜀山期中）若一元二次方程有解，則m的取值范圍是（）

A．B．C．且D．且

【答案】C

【知識點(diǎn)】一元二次方程的定義及相關(guān)的量；一元二次方程根的判別式及應(yīng)用

【解析】【解答】解：∵一元二次方程有解，

∴，

∴且，

故答案為：C

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義結(jié)合一元二次方程根的判別式即可求解。

9．（2023八下·蜀山期中）空地上有一段長為a米的舊墻，工人師傅欲利用舊墻和木棚欄圍成一個(gè)封閉的長方形菜園（如圖），已知木柵欄總長為40米，所圍成的長方形菜園面積為S平方米．若，，則（）

A．有一種圍法B．有兩種圍法

C．不能圍成菜園D．無法確定有幾種圍法

【答案】A

【知識點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】解：如圖：

設(shè)AC=a米，則寬為（40-2a）米，

由題意得，

解得，

∵40-2a≤18，

∴x≥11，

∴，

∴只存在一種圍法，

故答案為：A

【分析】設(shè)AC=a米，則寬為（40-2a）米，進(jìn)而根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合題意求出a的取值范圍即可求解。

10．（2023八下·蜀山期中）勾股定理是我國古代的偉大數(shù)學(xué)發(fā)明之一．如圖，以的各邊向外作正方形，得到三塊正方形紙片，再把較小的兩張正方形紙片放入最大的正方形中，重疊部分的面積記作，左下不重疊部分的面積記作，若，則的值是（）

A．1B．C．2D．

【答案】B

【知識點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；勾股定理

【解析】【解答】解：設(shè)AC=a，CB=b，AB=c，則面積為的矩形的長和寬分別為c-a，c-b，面積為的正方形邊長為a+b-c，

∴，，，

∴，

故答案為：B

【分析】設(shè)AC=a，CB=b，AB=c，根據(jù)勾股定理結(jié)合整式的乘法即可得到，，，進(jìn)而即可求解。

二、填空題

11．（2023八下·南潯期末）若二次根式有意義，則x的取值范圍是．

【答案】

【知識點(diǎn)】二次根式有意義的條件

【解析】【解答】解：由題意得：x-3≥0，

解得：.

故答案為：

【分析】二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0，據(jù)此列不等式，解不等式即可得出結(jié)果。

12．（2023八下·蜀山期中）計(jì)算÷＝．

【答案】

【知識點(diǎn)】二次根式的乘除法

【解析】【解答】解：由題意得÷＝，

故答案為：

【分析】根據(jù)二次根式的除法進(jìn)行運(yùn)算即可求解。

13．（2023八下·蜀山期中）如圖是某路口草坪的一角（），當(dāng)行走路線是A→C→B時(shí)，有人為了抄近道在草坪內(nèi)走出了一條不該有的“捷徑”．某學(xué)習(xí)實(shí)踐小組通過測量得的長約為5米，的長約為12米，為了提醒居民愛護(hù)草坪，他們想在A，B處設(shè)立“踏破青白可惜，多行數(shù)步無妨”的提示牌．則提示牌上的“多行數(shù)步”是指多行米．

【答案】4

【知識點(diǎn)】勾股定理

【解析】【解答】解：由勾股定理得，

∴多行12+5-13=4米，

故答案為：4

【分析】先根據(jù)勾股定理即可求出AB，進(jìn)而即可求解。

14．（2023八下·蜀山期中）設(shè)，是方程的兩個(gè)根，則．

【答案】

【知識點(diǎn)】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵，是方程的兩個(gè)根，

∴，，

∴，

故答案為：10

【分析】根據(jù)一元二次方程的解結(jié)合題意即可得到，，進(jìn)而代入求值即可求解。

15．（2023八下·蜀山期中）如圖，正方體盒子的棱長為，O為的中點(diǎn)，現(xiàn)有一只螞蟻位于點(diǎn)C處，它想沿正方體的表面爬行到點(diǎn)O處獲取食物，則螞蟻需爬行的最短路程為．

【答案】

【知識點(diǎn)】勾股定理；正方形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：根據(jù)題意展開正方形，連接CO，如圖所示：

則CO的長為螞蟻需爬行的最短路程，

∵正方體盒子的棱長為，O為的中點(diǎn)，

∴∠Q=90°，，，

由勾股定理得，

∴螞蟻需爬行的最短路程為，

故答案為：

【分析】根據(jù)題意展開正方形，連接CO，則CO的長為螞蟻需爬行的最短路程，進(jìn)而根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得到∠Q=90°，，，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出OC即可求解。

16．（2023八下·蜀山期中）已知實(shí)數(shù)，且滿足，．請解決下列問題：

（1）當(dāng)時(shí)，的值為；

（2）當(dāng)時(shí)，的值為．

【答案】（1）

（2）2

【知識點(diǎn)】一元二次方程的根；一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：（1）∵，，

∴，

∵，

∴a和b為方程的兩個(gè)根，

∴a+b=-3，

故答案為：-3；

（2）∵，，

∴，

∴，

∴a和b為方程的兩個(gè)根，

∴a+b=-3，ab=-c，

∴，

∴，

故答案為：2

【分析】（1）先根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到a和b為方程的兩個(gè)根，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解；

（2）先根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到，從而得到a和b為方程的兩個(gè)根，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得到a+b=-3，ab=-c，進(jìn)而得到，然后結(jié)合題意代入即可求解。

三、解答題

17．（2023八下·蜀山期中）計(jì)算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）解：

（2）解：

【知識點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；二次根式的混合運(yùn)算

【解析】【分析】（1）運(yùn)用二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算即可求解；

（2）運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行運(yùn)算即可求解。

18．（2023八下·蜀山期中）解方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1）解：，

∴或，

∴，

（2）解：

，即

∴

∴，

【知識點(diǎn)】配方法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法

【解析】【分析】（1）運(yùn)用十字相乘法進(jìn)行因式分解，進(jìn)而即可求解；

（2）運(yùn)用配方法得到，進(jìn)而運(yùn)用直接開平方法解方程即可。

19．（2023八下·蜀山期中）為了綠化環(huán)境，我市某中學(xué)有一塊四邊形的空地，如圖所示，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量，，，，．

（1）求出空地的面積；

（2）若每種植1平方米草皮需要350元，問總共需投入多少元？

【答案】（1）解：連接，

∵，，，，，

∴在中，

在中，而，

∴，

∴，

則

；

答：空地的面積為．

（2）解：需費(fèi)用（元），

答：總共需投入39900元．

【知識點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）連接，先根據(jù)勾股定理結(jié)合題意即可得到，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到，再運(yùn)用即可求解；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果結(jié)合題意即可求解。

20．（2023八下·蜀山期中）閱讀下列例題．

在學(xué)習(xí)二次根式性質(zhì)時(shí)我們知道，

例題：求的值．

解：設(shè)，兩邊平方得：

，

即，，

，

，

，

請利用上述方法，求的值．

【答案】解：設(shè)，

則，

，

，

．

【知識點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡

【解析】【分析】設(shè)，進(jìn)而得到，再根據(jù)題意得到x＜0即可求解。

21．（2023八下·蜀山期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．

（1）求證：無論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求k的值．

【答案】（1）證明：∵

∴無論k取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出：，

由得：

解得：．

【知識點(diǎn)】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式結(jié)合題意即可求解；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題意代