新編數(shù)學人教A版必修五優(yōu)化練習：第二章-2.3-第2課時-等差數(shù)列的前n項和公式的性質及應用-含解析

新編人教版精品教學資料[課時作業(yè)][A組基礎鞏固]1．(2015·高考全國Ⅱ卷)設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝()A．5 B．7C．9 D．11解析：a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝eq\f(5a1＋a5,2)＝5a3＝5.答案：A2．數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a1＝1，d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝()A．8 B．7C．6 D．5解析：∵Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，∴k答案：D3．記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝eq\f(1,2)，S4＝20，則S6＝()A．16 B．24C．36 D．48解析：設數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝eq\f(n,2)＋eq\f(nn－1,2)d，∴S4＝2＋6d＝20，∴d＝3，∴S6＝3＋15d＝48.答案：D4．設{an}是等差數(shù)列，若a2＝3，a7＝13，則數(shù)列{an}的前8項和為()A．128 B．80C．64 D．56解析：設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S8＝eq\f(8a1＋a8,2)＝eq\f(8a2＋a7,2)＝eq\f(8×3＋13,2)＝64.答案：C5．數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，則此數(shù)列的前20項和等于()A．160 B．180C．200 D．220解析：∵{an}是等差數(shù)列，∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18.又a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，∴a1＋a20＋a2＋a19＋a3＋a18＝54.∴3(a1＋a20)＝54.∴a1＋a20＝18.∴S20＝eq\f(20a1＋a20,2)＝180.答案：B6．有兩個等差數(shù)列{an}，{bn}，它們的前n項和分別為Sn和Tn.若eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n＋1,n＋2)，則eq\f(a8,b7)等于________．解析：由{an}，{bn}是等差數(shù)列，eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n＋1,n＋2)，不妨設Sn＝kn(2n＋1)，Tn＝kn(n＋2)(k≠0)，則an＝3k＋4k(n－1)＝4kn－k，bn＝3k＋2k(n－1)＝2kn＋k.所以eq\f(a8,b7)＝eq\f(32k－k,14k＋k)＝eq\f(31,15).答案：eq\f(31,15)7．已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使得Sn達到最大值的n是________．解析：由已知得3a3＝105,3a∴a3＝35，a4＝33，∴d＝－2，an＝a4＋(n－4)(－2)＝41－2n，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0,an＋1<0))，得n＝20.答案：208．已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差為________．解析：S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，∴S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.答案：39．設正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，并且對于任意n∈N*，an與1的等差中項等于eq\r(Sn)，求數(shù)列{an}的通項公式．解析：由題意知，eq\r(Sn)＝eq\f(an＋1,2)，得：Sn＝eq\f(an＋12,4)，∴a1＝S1＝1，又∵an＋1＝Sn＋1－Sn＝eq\f(1,4)[(an＋1＋1)2－(an＋1)2]，∴(an＋1－1)2－(an＋1)2＝0.即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0，∵an＞0，∴an＋1－an＝2，∴{an}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．∴an＝2n－1.10．已知等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{an}的前k項和Sk＝－35，求k的值．解析：(1)設等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.從而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝eq\f(n[1＋3－2n],2)＝2n－n2.進而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0.解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7為所求結果．[B組能力提升]1．若一個等差數(shù)列的前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)列有()A．13項 B．12項C．11項 D．10項解析：∵a1＋a2＋a3＝34，①an＋an－1＋an－2＝146，②又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，∴①＋②得3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60.③Sn＝eq\f(a1＋an·n,2)＝390.④將③代入④中得n＝13.答案：A2．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知am－1＋am＋1－aeq\o\al(2,m)＝0，S2m－1＝38，則m＝()A．38 B．20C．10 D．9解析：由等差數(shù)列的性質，得am－1＋am＋1＝2am，∴2am＝aeq\o\al(2,m).由題意得am≠0，∴am＝2.又S2m－1＝eq\f(2m－1a1＋a2m－1,2)＝eq\f(2am2m－1,2)＝2(2m∴m＝10.答案：C3．已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為An，Bn，且滿足eq\f(An,Bn)＝eq\f(2n,n＋3)，則eq\f(a1＋a2＋a12,b2＋b4＋b9)＝________.解析：eq\f(a1＋a2＋a12,b2＋b4＋b9)＝eq\f(3a1＋12d1,3b1＋12d2)＝eq\f(a5,b5)＝eq\f(\f(a1＋a9,2),\f(b1＋b9,2))＝eq\f(9×\f(a1＋a9,2),9×\f(b1＋b9,2))＝eq\f(A9,B9)＝eq\f(2×9,9＋3)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)4．數(shù)列{an}的通項公式an＝ncoseq\f(nπ,2)，其前n項和為Sn，則S2016等于________．解析：由題意知，a1＋a2＋a3＋a4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝2，…，a4k＋1＋a4k＋2＋a4k＋3＋a4k＋4＝2，k∈N，故S2016＝504×2＝1008.答案：10085．某電站沿一條公路豎立電線桿，相鄰兩根電線桿的距離都是50m，最遠一根電線桿距離電站1550m，一汽車每次從電站運出3根電線桿供應施工．若該汽車往返運輸總行程為17500m，共豎立多少根電線桿？第一根電線桿距離電站多少米？解析：由題意知汽車逐趟(由近及遠)往返運輸行程組成一個等差數(shù)列，記為{an}，則an＝1550×2＝3100，d＝50×3×2＝300，Sn＝17500.由等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋n－1×300＝3100，①,na1＋\f(nn－1,2)×300＝17500.②))由①得a1＝3400－300n.代入②得n(3400－300n)＋150n(n－1)－17500＝0，整理得3n2－65n＋350＝0，解得n＝10或n＝eq\f(35,3)(舍去)，所以a1＝3400－300×10＝400.故汽車拉了10趟，共拉電線桿3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400m，第一根電線桿距離電站eq\f(1,2)×400－100＝100(m)．所以共豎立了30根電線桿，第一根電線桿距離電站100m.6．已知數(shù)列{an}，an∈N*，Sn是其前n項和，Sn＝eq\f(1,8)(an＋2)2.(1)求證{an}是等差數(shù)列；(2)設bn＝eq\f(1,2)an－30，求數(shù)列{bn}的前n項和的最小值．解析：(1)證明：當n＝1時，a1＝S1＝eq\f(1,8)(a1＋2)2，解得a1＝2.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,8)(an＋2)2－eq\f(1,8)(an－1＋2)2，即8an＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，整理得，(an－2)2－(an－1＋2)2＝0，即(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.∵an∈N*，∴an＋an－1>0，∴an－an－1－4＝0，即an－an－1＝4(n≥2)．故{an}是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列．(2)設{bn}的前n項和為Tn，∵bn＝eq\f(1,2)an－30，且由(1