微積分基本公式與計(jì)算課件

二、定積分的計(jì)算一、牛頓–萊布尼茨公式微積分的基本公式第六章與定積分的計(jì)算二、定積分的計(jì)算一、牛頓–萊布尼茨公式微積分的基1一微積分的基本公式

引積分學(xué)中要解決兩個(gè)問題：第一個(gè)問題是原函數(shù)的求法問題，我們?cè)诘?章中已經(jīng)對(duì)它做了討論；第二個(gè)問題就是定積分的計(jì)算問題.如果我們要按定積分的定義來計(jì)算定積分,將會(huì)十分困難.我們知道,不定積分作為原函數(shù)的概念與定積分作為積分和的極限的概念是完全不相干的兩個(gè)概念.但是,牛頓和萊布尼茲不僅發(fā)現(xiàn)而且找到了這兩個(gè)概念之間存在著的內(nèi)在聯(lián)系,提出了“微積分學(xué)基本定理”.從而使積分學(xué)與微分學(xué)一起構(gòu)成微積分學(xué).一微積分的基本公式引積分學(xué)中要解決兩2Newton-Leibniz公式（微積分基本公式）(牛頓-萊布尼茨公式)

定理.函數(shù),則微積分基本公式表明：一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的增量。求定積分的問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題。Newton-Leibniz公式（微積分基本公式）(牛頓3例1.計(jì)算解:解原式例2.求例1.計(jì)算解:解原式例2.求4例3.設(shè),求解例4.計(jì)算正弦曲線的面積.解:例3.設(shè),求5不定積分二、定積分的計(jì)算換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法2、定積分的分部積分法1、定積分的換元法3、定積分的計(jì)算技巧不定積分二、定積分的計(jì)算換元積分法分部積分法定積分換元積分法6先來看一個(gè)例子例1換元求不定積分令則故1、定積分的換元法

先來看一個(gè)例子例1換元求不定積分令則故1、定積分的換元法7定理1.設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)在上則令則

當(dāng)x

從0連續(xù)地增加到3時(shí)，t相應(yīng)地從1連續(xù)地增加到2于是定理1.設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)在上則令則8說明:1)當(dāng)

<

,即區(qū)間換為定理1仍成立.必須注意換元必?fù)Q限。但計(jì)算定積分值時(shí)原函數(shù)中的新變量不必代回.說明:1)當(dāng)<,即區(qū)間換為定理1仍成立.9例2.計(jì)算解:令則∴原式=且例2.計(jì)算解:令則∴原式=且10例3：計(jì)算解：令例4：計(jì)算換元必?fù)Q限不換元?jiǎng)t不換限例3：計(jì)算解：令例4：計(jì)算換元必?fù)Q限11解

例5計(jì)算注：用湊微分法完成的積分，如果沒有引入新的變量，則上下限不必變動(dòng)。即配元不換限換元必?fù)Q限不換元?jiǎng)t不換限解例5計(jì)算注：用湊微分法完成的積分，如果122、定積分的分部積分法

定理2.則邊積邊代限例1求

原式

解：則2、定積分的分部積分法定理2.則邊積邊代限例1求13例2.計(jì)算解:原式=例2.計(jì)算解:原式=14例3計(jì)算解例3計(jì)算解15例4求

解令則x=t2,dx=2tdt原式=注此題同時(shí)使用了換元法和分部積分法.例4求解令則x=t2,dx=2tdt16例5.計(jì)算解:原式=例5.計(jì)算解:原式=17規(guī)律(1)若(2)若1）偶倍奇零3、定積分的計(jì)算技巧特別的，當(dāng)出現(xiàn)積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，可以先考察被積函數(shù)的奇偶性，考慮偶倍奇零規(guī)律。規(guī)律(1)若(2)若1）偶倍奇零3、定積分的計(jì)算技巧特別18例1求

解原式=奇函數(shù)例2求

解原式=奇函數(shù)例1求解原式=奇函數(shù)例2求解原式=19例8計(jì)算下列定積分

解奇函數(shù)偶函數(shù)例8計(jì)算下列定積分解奇函數(shù)偶函數(shù)20解奇函數(shù)解奇函數(shù)212）利用定積分的幾何意義——曲邊梯形面積若被積函數(shù)的圖像是規(guī)則圖形（特別是圓）時(shí)，定積分的值就可以用對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積得到。計(jì)算o解由定積分的幾何意義等于圓周的第一象限部分的面積2）利用定積分的幾何意義——曲邊梯形面積若被積函數(shù)的圖像是規(guī)22例3計(jì)算解由定積分的幾何意義該積分等于半圓面積，即o-222例3計(jì)算解由定積分的幾何意義該積分等于半圓面積，即o-223例4計(jì)算解原式偶函數(shù)奇函數(shù)四分之一單位圓的面積例4計(jì)算解原式偶函數(shù)奇函數(shù)四分之一單位圓的面積24內(nèi)容小結(jié)基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限配元不換限邊積邊代限作業(yè)P1785(1)(2)(4)(5)(6)(8)(11);P1831(1)(2)(10)(11);2(1)(2);3(1)(6)牛頓-萊布尼茨公式

積分技巧偶倍奇零利用定積分的幾何意義內(nèi)容小結(jié)基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限作業(yè)P17252）利用定積