期望與方差的性質(zhì)

期望與方差的性質(zhì)第1頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月2

性質(zhì)

4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定相互獨(dú)立.反例XYpij-101-1010p?jpi?注第2頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月3

XY

P-101但第3頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月4

若X≥0，且EX存在，則EX≥0。推論:

若X≤Y，則EX≤EY。證明：設(shè)

X為連續(xù)型，密度函數(shù)為f(x),

則由X≥0得：所以證明：由已知Y-X≥0，則E(Y-X)≥0。而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，E(X)≤E(Y)。

第4頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月5

性質(zhì)2和3性質(zhì)4例1.設(shè)X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X與Y相互獨(dú)立，求E(3X＋2XY－Y＋5)。解：由已知，有E(X)＝10,E(Y)＝3.第5頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月6

例2.(二項(xiàng)分布

B(n,p))

設(shè)單次實(shí)驗(yàn)成功的概率是p，問n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，期望幾次成功？解:引入則X＝X1+X2+…+Xn

是n次試驗(yàn)中的成功次數(shù)。因此，這里，X～B(n,p)。第6頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月7

例3.將4個(gè)可區(qū)分的球隨機(jī)地放入4個(gè)盒子中,每盒容納的球數(shù)無限,求空著的盒子數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解一:設(shè)

X為空著的盒子數(shù),則

X的概率分布為XP0123第7頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月8

解二:

再引入Xi,i=

1,2,3,4.Xi

P10第8頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月9

例4.將n個(gè)球放入M個(gè)盒子中,設(shè)每個(gè)球落入各個(gè)盒子是等可能的,求有球的盒子數(shù)X的期望。解:引入隨機(jī)變量:則X=X1+X2+…+XM

,于是E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(XM).每個(gè)隨機(jī)變量Xi都服從兩點(diǎn)分布,i=1,2,…,M.第9頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月10

因?yàn)槊總€(gè)球落入每個(gè)盒子是等可能的均為1/M,所以，對(duì)第i個(gè)盒子,沒有一個(gè)球落入這個(gè)盒子內(nèi)的概率為(1-1/M).故，n個(gè)球都不落入這個(gè)盒子內(nèi)的概率為(1-1/M)n,即:第10頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月11

注：129頁4.27以此題為模型。第11頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月12

例5.用某臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知正品率隨著該機(jī)器所用次數(shù)的增加而指數(shù)下降，即P{第k次生產(chǎn)出的產(chǎn)品是正品}=假設(shè)每次生產(chǎn)100件產(chǎn)品，試求這臺(tái)機(jī)器前10次生產(chǎn)中平均生產(chǎn)的正品總數(shù)。解：設(shè)X是前10次生產(chǎn)的產(chǎn)品中的正品數(shù)，并設(shè)第12頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月13

例5.（續(xù)）第13頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月14

例6.

某廠家的自動(dòng)生產(chǎn)線，生產(chǎn)一件正品的概率為p(0<p<1)，生產(chǎn)一件次品的概率為q=1-p。生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為c元，正品的價(jià)格為s元，次品不能出售。這樣，廠家生產(chǎn)一件正品獲利s－c元，生產(chǎn)一件次品虧損c元（假定每個(gè)產(chǎn)品的生產(chǎn)過程是相互獨(dú)立的）。若生產(chǎn)了N件產(chǎn)品，問廠家所獲利潤的期望值是多少？第14頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月15

解：設(shè)第j個(gè)產(chǎn)品的利潤則

為N件產(chǎn)品的總利潤。Yj-cs-cPqp由已知第15頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月16

前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.

但是在一些場合，僅僅知道隨機(jī)變量取值的平均是不夠的.§4.2隨機(jī)變量的方差第16頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月17

例如,甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近，所以乙炮的射擊效果好.

中心中心第17頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月18

為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.這個(gè)數(shù)字特征就是我們下面要介紹的方差第18頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月19

設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X),若E(X-E(X))2存在,則稱它為X的方差（此時(shí)，也稱X的方差存在)，記為Var(X)或D(X),即定義稱Var(X)的算術(shù)平方根為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為

(X).A.

方差的概念Var(X)=E(X-E(X))2

第19頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月20

若X的取值比較分散，則方差較大.刻劃了隨機(jī)變量的取值相對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度。若X的取值比較集中，則方差較??；Var(X)=E[X-E(X)]2

方差第20頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月21

注意：

1)Var(X)

0，即方差是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)。2）當(dāng)X服從某分布時(shí)，我們也稱某分布的方差為Var(X)。方差是刻劃隨機(jī)變量取值的分散程度的一個(gè)特征。第21頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月22

方差的計(jì)算公式(1)若

X為離散型，概率分布為(2)若

X為連續(xù)型，概率密度為f(x),則則第22頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月23

方差的計(jì)算公式常用的公式：證明:第23頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月24

常見隨機(jī)變量的方差

(1)

參數(shù)為p

的0－1分布

概率分布為：前面已經(jīng)計(jì)算過：E(X)=p，又所以第24頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月25

概率分布為：

已計(jì)算過：E(X)=np，又

所以

(2)二項(xiàng)分布B(n,p)第25頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月26

概率分布為：

已計(jì)算過：E(X)=λ，又

所以

(3)泊松分布P(λ)第26頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月27

概率密度為：

已計(jì)算過：E(X)=(a+b)/2，又

所以

(4)區(qū)間[a,b]上的均勻分布U[a,b]第27頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月28

概率密度為：

已計(jì)算過：E(X)=1/λ，又

所以

(5)指數(shù)分布E(λ)第28頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月29

概率密度為：

已計(jì)算過：E(X)=

，所以

(6)正態(tài)分布N(,2)第29頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月30

例7.設(shè)求

E(Y),D(Y).解:第30頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月31

第31頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月32

例8.

已知X的密度函數(shù)為其中A，B