新教材人教A版數(shù)學學案第8章微專題2立體幾何中的翻折問題

微專題2立體幾何中的翻折問題高考全國卷中，立體幾何重視考查幾何元素間的位置關系、度量關系．回顧和審視全國卷歷年試題的命制，我們發(fā)現(xiàn)有一條清晰的脈絡，那就是特別重視基本平面幾何圖形性質(zhì)的空間探索，也即特別重視平面圖形翻折前后的幾何元素間的位置關系、度量關系的變與不變的考查．這樣命題有助于充分考查考生的空間想象能力，有助于從熟悉的平面圖形要素的位置關系進入到空間幾何體的幾何要素關系的把握上．類型1箏形的翻折箏形是指以一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形，與菱形定義相對應．菱形是特殊的箏形．箏形的一條對角線所在的直線垂直平分另一條對角線．在箏形從平面到空間變換的研究中，常常沿著其中一條對角線進行翻折．在翻折過程中，兩條對角線垂直關系保持不變，這就成為高考試題命制的基礎，常常利用兩個對應的等腰三角形來描述空間箏形．【例1】(2017·全國卷Ⅲ)如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．(1)證明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．[解](1)證明：如圖，取AC的中點O，連接DO，BO．因為AD＝CD，所以AC⊥DO．又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO．從而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD．(2)連接EO．由(1)及題設知∠ADC＝90°，所以DO＝AO．在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2．又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°．由題設知△AEC為直角三角形，所以EO＝eq\f(1,2)AC．又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝eq\f(1,2)BD．故E為BD的中點，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的eq\f(1,2)，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的eq\f(1,2)，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1∶1．類型2等腰梯形的翻折等腰梯形的翻折主要強調(diào)對腰的翻折，也即保持底面的矩形特征，兩腰向中間翻折，而這里面就有兩底的端點是否合攏的問題．【例2】如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF＝2FD＝2，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°．(1)證明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求該五面體的體積．[解](1)證明：因為AF⊥DF，AF⊥EF，EF∩DF＝F，所以AF⊥平面EFDC．又AF?平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面EFDC．(2)由(1)知∠DFE為二面角D-AF-E的平面角，故∠DFE＝60°．因為AB∥EF，所以AB∥平面EFDC．又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF．由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF為二面角C-BE-F的平面角，故∠CEF＝60°．如圖，連接AC，AE，作CM⊥EF于M，因為平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，CM?平面EFDC，所以CM⊥平面ABEF．因為AF＝2FD＝2，所以DF＝CE＝1，EF＝2，CM＝eq\f(\r(3),2)，CD＝1．則V四棱錐A-EFDC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(EF＋CD)×CM×AF＝eq\f(\r(3),2)，V三棱錐C-ABE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AB×BE×CM＝eq\f(\r(3),3)．所以五面體ABCDEF的體積V＝V四棱錐A-EFDC＋V三棱錐C-ABE＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(3),3)＝eq\f(5\r(3),6)．類型3直角梯形的翻折如圖所示，在直角梯形中有一類由兩個直角三角形(特別是其中一個是等腰直角三角形)拼接而成的直角梯形是翻折問題考查的熱點．這類翻折問題，一般都沿著兩個三角形的公共邊進行翻折，翻折的位置往往強調(diào)兩個面互相垂直，這樣容易考查線面垂直和面面垂直中的性質(zhì)定理與判定定理．具體操作時要注意翻折前后的點與線、線與線位置關系的變與不變，數(shù)量關系的變與不變．【例3】如圖(1)，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AB＝4，AD＝CD＝2．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖(2)所示．(1)求證：BC⊥平面ACD；(2)求幾何體D-ABC的體積．(1)(2)[解](1)在直角梯形ABCD中，因為∠ADC＝90°，AD＝CD＝2，所以∠DAC＝45°，AC＝2eq\r(2)．又AB∥CD，AB＝4，所以∠ACB＝90°，BC＝2eq\r(2)．因為平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，所以BC⊥平面ACD．(2)V三棱錐D-ABC＝V三棱錐B-ADC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×CD×BC＝eq\f(4\r(2),3)．類型4矩形(正方形)的翻折矩形是大家比較熟悉的平面圖形，對于矩形的翻折問題，常常聚焦于具有一定長寬比的矩形翻折問題．如圖所示．類比于箏形，在圖形沿著對角線BD或者CF翻折過程中，垂直關系始終保持不變，而這就是命題的落腳點．近幾年全國卷高考題也進行了正方形的翻折研究．【例4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，E為BC的中點，把△ABE和△CDE分別沿AE，DE折起，使點B與點C重合于點P．(1)求證：PE⊥平面PAD；(2)求二面角P-AD-E的大小．[解](1)證明：在矩形ABCD中，有EC⊥CD，EB⊥BA，∴由題意知：PE⊥PD，PE⊥PA，而PD∩PA＝P，∴PE⊥平面PAD．(2)過E作EF⊥AD于F，連接PF，又AD?平面PAD，由(1)知：PE⊥AD，而PE∩EF＝E，所以AD⊥平面PEF，∴∠PFE為二面角P