浙江省溫州市2023屆高三2月高考適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題(解析版)

PAGE1溫州市2023屆高三2月高考適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的．1.i是虛數(shù)單位，那么等于〔〕A.1i B.1i C.1i D.1＋i【答案】B【解析】【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡得答案．【詳解】，應(yīng)選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是根底題．2.集合A＝{1，2，－1}，集合B＝{y|y＝x2，x∈A}，那么A∪B＝〔〕A.1 B.1，2，4 C.1，1，2，4 D.1，4【答案】C【解析】【分析】將A中的元素代入集合B中的等式中求出y的值，確定出B，求出A與B的并集即可．【詳解】當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4；當(dāng)x時(shí)，y，∴B＝{1，4}，∴A∪B＝1，1，2，4．應(yīng)選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了并集的定義及其運(yùn)算，用列舉法表示集合時(shí)，注意集合中元素的互異性．3.a，b都是實(shí)數(shù)，那么“〞是“〞的〔〕A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意構(gòu)造指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】對(duì)于“〞，考查函數(shù)y=在R上單調(diào)遞增，所以“〞與“a>b〞等價(jià)；同樣對(duì)于“〞，考查函數(shù)y=在R上單調(diào)遞增，所以“〞與“a>b〞也等價(jià)；所以“〞是“〞的充要條件，應(yīng)選C.【點(diǎn)睛】此題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性是解決此題的關(guān)鍵．4.雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔〕A.(2，0) B.(－，0) C.(0，) D.(0，)【答案】D【解析】【分析】先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，∴=，且實(shí)軸在y軸上，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔〕，應(yīng)選D.【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，比擬根底．5.以下不等式組表示的平面區(qū)域是三角形的是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由選項(xiàng)依次作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，即可得結(jié)論.【詳解】A選項(xiàng)：表示的區(qū)域如圖：不滿足題意；B選項(xiàng)：表示的區(qū)域如圖：不滿足題意；C選項(xiàng)：表示的區(qū)域如圖：不滿足題意；D選項(xiàng)：表示的區(qū)域如圖：滿足題意；應(yīng)選D.【點(diǎn)睛】此題主要考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域的知識(shí)，屬于根底題.6.隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，X024Pa那么DX()＝〔〕A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由分布列的性質(zhì)解出a，再利用方差公式求方差即可．【詳解】由題意，，∴a＝，∴E(x)=0×+2×+4×=2,∴D(X)＝〔0﹣2〕2×+〔2﹣2〕2×+〔4﹣2〕2×＝2,應(yīng)選B.【點(diǎn)睛】此題考查分布列的性質(zhì)、期望和方差的計(jì)算，考查根底知識(shí)和根本運(yùn)算，屬于根底題．7.在平面上，，是方向相反的單位向量，||＝2，()?()＝0，那么||的最大值為〔〕A.1 B.2 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】將數(shù)量積運(yùn)算得到||，由向量模的幾何意義結(jié)合圖形可求得||的最大值.【詳解】由題意()?()＝0，即-〔=0，又，是方向相反的單位向量，所以有，即||＝1，記,那么A,B兩點(diǎn)的軌跡分別是以原點(diǎn)為圓心，以2和1為半徑的圓上，當(dāng)反向共線時(shí)，如圖：||的最大值為1+2=3，應(yīng)選D.【點(diǎn)睛】此題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了向量模的幾何意義的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.8.實(shí)數(shù)a0，b0，a1，且滿足lnb＝，那么以下判斷正確的選項(xiàng)是〔〕A.ab B.ab C.b1 D.b1【答案】C【解析】【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性及值域?qū),B選項(xiàng)取對(duì)數(shù)進(jìn)行作差比擬，而對(duì)C，D用換底公式變形后進(jìn)行判斷.【詳解】令函數(shù)f(x)=-2lnx，那么，所以f(x)單調(diào)遞增，又f(1)=0，可得f(x)<0在〔0，1〕恒成立，f(x)>0在〔1，〕恒成立，取，那么f()==lnb，當(dāng)時(shí)，f()<0，即lnb<0,b<a；當(dāng)時(shí)，f()>0，即lnb>0,b>a；故A，B不一定成立；又當(dāng)時(shí)，lnb<0，所以，由換底公式得到b1；當(dāng)時(shí)，lnb>0,所以,得到b1.應(yīng)選C.【點(diǎn)睛】此題考查了構(gòu)造函數(shù)法，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、值域問題，涉及到對(duì)數(shù)中的換底公式運(yùn)算，屬于有難度的題型.9.在正四面體ABCD中，P，Q分別是棱AB，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是直線AB，CD上的動(dòng)點(diǎn)，M是EF的中點(diǎn)，那么能使點(diǎn)M的軌跡是圓的條件是〔〕A.PE＋QF＝2 B.PE?QF＝2C.PE＝2QF D.PE2＋QF2＝2【答案】D【解析】【分析】先由對(duì)稱性找到PQ、EF的中點(diǎn)在中截面GHLK上運(yùn)動(dòng)，利用向量的加減運(yùn)算，得到，結(jié)合正四面體的特征將等式平方得到4，由圓的定義得到結(jié)論.【詳解】如圖：取BC、BD、AC、AD的中點(diǎn)為G、H、K、L，因?yàn)镻、Q是定點(diǎn)，所以PQ的中點(diǎn)O為定點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，PQ、EF的中點(diǎn)在中截面GHLK上運(yùn)動(dòng)，∵+=+,∴，又在正四面體中，對(duì)棱垂直，∴PEQF，∴，∴4=假設(shè)點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)為圓心的圓，那么為定值，只有D符合題意，應(yīng)選D.【點(diǎn)睛】此題考查了向量的三角形法那么的應(yīng)用，考查了曲線的軌跡的求法，屬于較難題型.10.數(shù)列滿足0，且，那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先取特殊值進(jìn)行排除，再利用遞推關(guān)系計(jì)算前6項(xiàng)，進(jìn)行猜想結(jié)論并證明.【詳解】由,取特殊值：，，得：=，=，排除C、D；==，=>；且，，均小于，猜想，下面由圖說明：當(dāng)時(shí)，由迭代蛛網(wǎng)圖：可得，單調(diào)遞增，此時(shí)不動(dòng)點(diǎn)為，當(dāng)n時(shí)，，那么有，.當(dāng)時(shí)，由迭代蛛網(wǎng)圖：可得，當(dāng)n分別為奇數(shù)、偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增，且都趨向于不動(dòng)點(diǎn)，由圖像得，，綜上可得，應(yīng)選A.【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的運(yùn)算，考查了由特殊到一般的思維方法，考查了分類討論與數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.二、填空題．11.我國古代三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅如下圖的“勾股圓方圖〞，四個(gè)相同的直角三角形與邊長為1的小正方形拼成一個(gè)邊長為5的大正方形，假設(shè)直角三角形的直角邊分別記為a，b，有，那么a＋b＝__，其中直角三角形的較小的銳角的正切值為___．【答案】(1).7(2).【解析】【分析】由條件直接運(yùn)算即可.【詳解】由得到，又a，b均為正數(shù)，所以a＋b＝7，不妨設(shè)a<b，那么a=3,b=4，那么較小的銳角的正切值為.故答案為7，.【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程組的解法，考查了直角三角形中正切函數(shù)的定義，屬于根底題.12.某幾何體的三視圖如下圖〔單位：cm〕，那么該幾何體的體積〔單位：cm3〕等于_____，外表積〔單位：cm2〕等于____．【答案】(1).3(2).【解析】【分析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，再利用幾何體的體積公式與外表積公式求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體為以等腰梯形ABCD與等腰梯形為底面，高為1的直四棱柱，如圖：由柱體體積公式得：V．又等腰梯形ABCD與等腰梯形全等，面積和為6，矩形DC的面積為21=2，矩形的面積為41=4，矩形與矩形DA的面積相等，又由正視圖可得BC=，所以矩形與矩形DA的面積和為2=2，所以外表積為6+2+4+2=12+2，故答案為3，.【點(diǎn)睛】此題考查了由三視圖復(fù)原幾何體，考查了直棱柱的體積公式及外表積公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于根底題型．13.假設(shè)，那么_____，_____【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用賦值法求第一個(gè)問題，觀察可得，再利用展開式的通項(xiàng)公式求得第二個(gè)問題的結(jié)果.【詳解】令x＝0，得0=；又=,將x+1視為一個(gè)整體，那么為二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)，展開式的通項(xiàng)公式為，令r=1，那么的系數(shù)的值為=-6,故答案為0，-6.【點(diǎn)睛】此題考查了二項(xiàng)式展開式定理的應(yīng)用問題，考查了展開式中的通項(xiàng)公式的應(yīng)用及賦值法，是根底題．14.在ABC中，C＝45°，AB＝6，D為BC邊上的點(diǎn)，且AD＝5，BD＝3，那么cosB＝_____，AC＝_____．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用余弦定理求出cosB，可得sinB，在△ABC中利用正弦定理可得AC．【詳解】∵AB＝6，AD＝5，BD＝3，在△ABD中，余弦定理cosB，∴sinB．正弦定理：，可得：AC．故答案為：，．【點(diǎn)睛】此題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要注意合理選擇正余弦定理，屬于中檔題．15.某超市為顧客提供四種結(jié)賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡、假設(shè)顧客甲只帶了現(xiàn)金，顧客乙只用支付寶或微信付款，顧客丙、丁用哪種方式結(jié)賬都可以，這四名顧客購物后，恰好用了其中的三種結(jié)賬方式，那么他們結(jié)賬方式的可能情況有_____種．【答案】20【解析】【分析】由題意，根據(jù)乙的支付方式進(jìn)行分類，根據(jù)分類與分步計(jì)數(shù)原理即可求出．【詳解】當(dāng)乙選擇支付寶時(shí)，丙丁可以都選銀聯(lián)卡，或者其中一人選擇銀聯(lián)卡，另一人只能選支付寶或現(xiàn)金，故有1+C21C21＝5，而乙選擇支付寶時(shí)，丙丁也可以都選微信，或者其中一人選擇微信，另一人只能選支付寶或現(xiàn)金，故有1+C21C21＝5，此時(shí)共有5+5=10種，當(dāng)乙選擇微信時(shí)，丙丁可以都選銀聯(lián)卡，或者其中一人選擇銀聯(lián)卡，另一人只能選微信或現(xiàn)金，故有1+C21C21＝5，而乙選擇微信時(shí)，丙丁也可以都選支付寶，或者其中一人選擇支付寶，另一人只能選微信或現(xiàn)金，故有1+C21C21＝5，此時(shí)共有5+5=10種，綜上故有10+10＝20種，故答案為20.【點(diǎn)睛】此題考查了分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.16.F是橢圓的右焦點(diǎn)，直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)cosAFB，那么橢圓C的離心率是_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)AAF=n，由對(duì)稱性結(jié)合余弦定理在中，得到mn=3，聯(lián)立直線與橢圓，求得弦長，在中，由余弦定理得到-，可得a，b的關(guān)系，即可計(jì)算e.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由對(duì)稱性可知，AF=cosAFB，設(shè)AAF=n，在中，由余弦定理可得=+AF，又m+n=2a，所以-4，即mn=3,聯(lián)立直線與橢圓，得A〔〕,B〔〕,那么=；又在中，由余弦定理可得=+AFB=，得到-，所以有=-，即=5，=4，所以e=.故答案為.【點(diǎn)睛】此題考查了橢圓的定義及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查了焦點(diǎn)三角形問題，涉及余弦定理，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.17.，假設(shè)對(duì)任意的aR，存在[0，2]，使得成立，那么實(shí)數(shù)k的最大值是_____【答案】【解析】【分析】討論f〔x〕在[0，2]上的單調(diào)性，求出在[0，2]的最大值，即可得出m的取值范圍．【詳解】當(dāng)0時(shí)，即a≤0時(shí)，在[0，2]恒成立，∴，此時(shí)在[0，2]上單調(diào)遞增，∴maxf〔x〕max＝f〔2〕＝22﹣2a＝4﹣2a，∴k≤4-2a對(duì)任意的a≤0成立，∴k≤4；當(dāng)2時(shí)，即a≥4，在[0，2]恒成立，∴，此時(shí)在[0，2]上單調(diào)遞減，∴maxf〔x〕min＝-f〔2〕＝-22+2a＝-4+2a，∴k≤-4+2a對(duì)任意的a≥4成立，∴k≤4；當(dāng)0時(shí)，即0＜a≤2時(shí)，此時(shí)在[0，]上單調(diào)遞減，在[，2]上單調(diào)遞增，且在[0，a]恒成立，在[a，2]恒成立，∴max又-=+2a-4≥0時(shí)，即時(shí)，max，∴k≤對(duì)任意的成立，∴k≤；時(shí)，max，∴k≤對(duì)任意的成立，∴k≤；當(dāng)2時(shí)，即2＜a＜4時(shí)，f〔x〕max＝＝，∴k≤對(duì)任意的2＜a＜4成立，∴k≤1；綜上所述：k≤；故答案為.【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了恒成立問題與存在性問題，是綜合性題目．三、解答題：解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟．18.如圖，在單位圓上，AOB＝()，BOC＝，且△AOC的面積等于．〔I〕求sin的值；〔II〕求2cos()sin)【答案】(1)sin(2)【解析】【分析】由題意先求得，再利用兩角差的正弦公式求得結(jié)果．【詳解】〔I〕，∴，∴，=〔II〕∵=，∴==.【點(diǎn)睛】此題主要考查誘導(dǎo)公式及同角根本關(guān)系式的應(yīng)用，考查了兩角差的正弦公式、二倍角公式，屬于中檔題．19.在三棱錐DABC中，ADDC，ACCB，AB＝2AD＝2DC＝2，且平面ABD平面BCD，E為AC的中點(diǎn)．〔I〕證明：ADBC；〔II〕求直線DE與平面ABD所成的角的正弦值．【答案】〔I〕見證明；〔II〕【解析】【分析】〔I〕先作，由面面垂直的性質(zhì)定理可證線面垂直，再結(jié)合條件證得面，得到結(jié)論.〔II〕法一：根據(jù)〔1〕作出過E且與CH平行的線段，可得到線面角，再在直角三角形中求解即可.法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面ABD的法向量，那么|cos|即為所求．【詳解】〔I〕過作，〔其中與都不重合，否那么，假設(shè)與重合，那么與矛盾，假設(shè)與重合，那么，與矛盾〕面面面，又面〔II〕法一：作，那么，由〔1〕知：面即與面所成角，且法二：由〔I〕知平面，，以為原點(diǎn)，分別以射線為軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系由題意知：∴，∵平面的法向量為，設(shè)與面所成角為∴【點(diǎn)睛】此題考查了面面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，考查了空間角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．20.設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S2＝8，．〔I〕求a1，a2并證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列；〔II〕假設(shè)不等式對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】〔I〕，，見證明〔II〕【解析】【分析】〔I〕給n賦值可求得及；利用與的關(guān)系將n換為n+1，作差可得，由等差中項(xiàng)的定義證得結(jié)論.〔II〕將別離，構(gòu)造新數(shù)列，利用的正負(fù)找到最大項(xiàng)，可得所求結(jié)果.【詳解】〔I〕，，得.，那么，兩式相減得，即①②②①得，即，故數(shù)列為等差數(shù)列.〔II〕由〔I〕可得，由得對(duì)任意正整數(shù)恒成立，，令，，，.【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列的證明及單調(diào)性問題，考查數(shù)列的最大項(xiàng)的求法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．21.如圖，A為橢圓的下頂點(diǎn)，過A的直線l交拋物線于B、C兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)．〔I〕求證：點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是定值；〔II〕過點(diǎn)C作與直線l傾斜角互補(bǔ)的直線l交橢圓于M、N兩點(diǎn)，求p的值，使得△BMN的面積最大．【答案】〔Ⅰ〕見證明；〔II〕見解析【解析】【分析】〔I〕根據(jù)點(diǎn)在拋物線上設(shè)出B的坐標(biāo)，可表示出C的坐標(biāo)，代入拋物線方程求得縱坐標(biāo).〔II〕先利用條件得到，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求得弦長及到的距離，寫出面積的表達(dá)式，利用根本不等式求得最值及相應(yīng)的參數(shù)即可.【詳解】〔Ⅰ〕易知，不妨設(shè)，那么，代入拋物線方程得：，得：，為定值.〔Ⅱ〕點(diǎn)是中點(diǎn)，直線的斜率，直線的斜率，直線的方程：，即，不妨記，那么：代入橢圓方程整理得：，設(shè)，那么，，，到的距離，所以.取等號(hào)時(shí)，，得，所以，.【點(diǎn)睛】此題考查拋物線和橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查了直線和橢圓的位置關(guān)系，注意運(yùn)用