2021數(shù)一真題解析

2021數(shù)一真題解析2021年全國高考數(shù)學(xué)一卷是一張全新的試卷，題目風(fēng)格更接近于實際生活和綜合能力的考察，注重考生的實際運(yùn)算和推理能力的培養(yǎng)。下面將對2021年全國高考數(shù)學(xué)一卷的部分題目進(jìn)行解析，并提供相關(guān)參考內(nèi)容。

一、選擇題

1.題目：在數(shù)軸上，點(diǎn)$A(3)$，點(diǎn)$B(5)$，點(diǎn)$C(9)$，點(diǎn)$D(15)$，若有兩個不同的點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于另外兩個點(diǎn)的坐標(biāo)的和的比，求這兩個點(diǎn)的坐標(biāo)。

解析：設(shè)兩個點(diǎn)的坐標(biāo)分別為$x$和$y$，由題意可得$\frac{x}{y}=\frac{x+y}{y}$，整理得$x^2+xy-xy=y^2$，即$x^2=y^2$。因此，$x=\pmy$。又由已知條件$A(3)$和$B(5)$，可知$x=3$，$y=5$。所以，需要找到兩個點(diǎn)的坐標(biāo)為$(3,5)$和$(5,3)$。

參考內(nèi)容：聯(lián)立方程解題法，幫助學(xué)生理解和運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)律。

2.題目：假設(shè)函數(shù)$f(x)$滿足$f(x+y)=f(x)+f(y)(\forallx,y\inR)$，且存在非零常數(shù)$a$，使得對于任意實數(shù)$x$，有$f(ax)=af(x)$，則$f(2021)$的值是多少？

解析：根據(jù)題意，可以得到$f(ax)=af(x)$，將$x$替換為$ax$，則$f(a^2x)=af(ax)=a^2f(x)$，繼續(xù)替換$x$為$a^2x$，可以得到$f(a^4x)=af(a^2x)=a^3f(x)$，依次類推，可以得到$f(a^{2n}x)=a^nf(x)$。由于$a$是非零常數(shù)，所以只有當(dāng)$|a|<1$時，上述等式才能成立。

根據(jù)已知條件，$f(2021)=2021f(1)$，又$f(a^2)=af(1)$，$f(a^4)=a^2f(1)$，$f(a^{2n})=a^{n-1}f(1)$。當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時，$f(2021)=2021f(1)$，即$f(2021)=1010f(1)$。

參考內(nèi)容：函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，遞推數(shù)列的性質(zhì)和思維的訓(xùn)練。

二、非選擇題

1.題目：已知正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱長為2，點(diǎn)$M$是棱$A_1C_1$.點(diǎn)$N$在棱$BC$上，且$BN=2NC$.點(diǎn)$P$是直線$BM$上的動點(diǎn).直線$PN$交平面$AD-A_1C_1$于點(diǎn)$Q.$（1）求點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)；（2）求線段$QN$的長度.

解析：（1）由題意可知，平面$AD-A_1C_1$過點(diǎn)$A$，平行于棱$AB$.設(shè)點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)為$(0,y,z)$，由平行投影的性質(zhì)可得$DM=D_1Q=2$，即點(diǎn)$D$到平面$AD-A_1C_1$的距離等于點(diǎn)$Q$到平面的距離，所以點(diǎn)$D$到平面$AD-A_1C_1$的距離為$2$，利用點(diǎn)到平面的距離公式可得：

$$\frac{|0\times1+y\times0+z\times0-1|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=2$$

解得$|y-1|=2$，即$y=3$或$y=-1$。當(dāng)$y=-1$時，點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)為$(0,-1,z)$.以線段$AD$為軸反射，可得點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)為$(0,5,z)$。綜上所述，點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)為$(0,-1,z)$或$(0,5,z)$.

（2）由解析可得，線段$QN$的長度等于$|NQ|$，即等于$|NQ|=|NQ|=BN-2=4-2=2$.

參考內(nèi)容：空間幾何中平行投影的性質(zhì)和計算，坐標(biāo)系變換的方法。

綜上所述，2021年全國高考數(shù)學(xué)一卷的部分題目解析提供了學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的理解和運(yùn)用的機(jī)會，涵蓋了代數(shù)運(yùn)算、函數(shù)性質(zhì)、遞推