(完整版)2018高考全國(guó)1卷理科數(shù)學(xué)試卷及答案

(完整版)2018高考全國(guó)1卷理科數(shù)學(xué)試卷及答案2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)一卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題，本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)$z=\frac{1-i+2i}{1+i}$，則$z=$A.0B.1C.1D.22.已知集合$A=\{x|x-x-2>\}$，則$C_A=\{x|-1<x<2\}$3.某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番。為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)和該地圖新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半4.記$S_n$為等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和，若$3S_3=S_2+S_4$，$a_1=2$，則$a_5=$A.-12B.-10C.10D.125.設(shè)函數(shù)$f(x)=x+(a-1)x+ax$，若$f(x)$為奇函數(shù)，則曲線$y=f(x)$在點(diǎn)$(3,32)$處的切線方程為A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x6.在$\triangleABC$中，$AD$為$BC$邊上的中線，$E$為$AD$的中點(diǎn)，則$EB=\frac{1}{3}(AB-AC)$7.某圓柱的高為2，地面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖，圓柱表面上的點(diǎn)$M$在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為$A$，圓柱表面上的點(diǎn)$N$在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為$B$，則在此圓柱側(cè)面上，從$M$到$N$的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為28.設(shè)拋物線$C:y=4x$的焦點(diǎn)為$F$，過(guò)點(diǎn)$(-2,2)$且斜率為$\frac{2}{3}$的直線與$C$交于$M,N$兩點(diǎn)，則$FM\cdotFN=6$9.已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}e^x,&x\leq0\\g(x),&x>0\end{cases}$，$g(x)=f(x)+x+a$，若$g(x)$存在2個(gè)零點(diǎn)，則$a$的取值范圍是$[-1,+\infty)$下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，由三個(gè)半圓構(gòu)成。三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB和AC。$\DeltaABC$的三邊所圍成的區(qū)域記為$Ⅰ$，黑色部分記為$Ⅱ$，其余部分記為$Ⅲ$。在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自的概率分別記為$p_1,p_2,p_3$，則A.$p_1=p_2$B.$p_1=p_3$C.$p_2=p_3$D.$p_1=p_2+p_3$雙曲線$C$的方程為$x^2-y^2=1$，$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，$F$為$C$的右焦點(diǎn)，過(guò)$F$的直線與$C$的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為$M,N$。若$\triangleOMN$為直角三角形，則$MN=$正方體的棱長(zhǎng)為$1$，每條棱所在直線與平面$\alpha$所成的角都相等。$\alpha$截此正方體所得截面面積的最大值為若$x,y$滿足約束條件$\begin{cases}x-2y-2\leq0\\x-y+1\geq0\\y\leq3\end{cases}$，則$z=3x+2y$的最大值為記$S_n$為數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和，若$S_n=2a_{n+1}$，則$S_6=$從$2$位女生，$4$位男生中選$3$人參加科技比賽，且至少有$1$位女生入選，則不同的選法共有$\underline{\\\\\\\}$種。已知函數(shù)$f(x)=2\sinx+\sin^2x$，$f(x)$的最小值是$\underline{\\\\\\\}$。（二）選考題：共10分。22.（5分）已知函數(shù)$f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$，求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。23.（5分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$在$[-2,2]$上的最大值和最小值。某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品按照每箱200件進(jìn)行包裝，每箱產(chǎn)品在交付用戶之前都需要進(jìn)行檢驗(yàn)。如果發(fā)現(xiàn)不合格品，就需要更換為合格品。檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件進(jìn)行檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。假設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率為p（p介于0和1之間），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立。（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p。解：根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式，可以得到20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為：$${{20}\choose{2}}p^2(1-p)^{18}$$令其等于f(p)，即：$$f(p)={{20}\choose{2}}p^2(1-p)^{18}$$對(duì)f(p)求導(dǎo)，得到：$$f'(p)={{20}\choose{2}}2p(1-p)^{17}-{{20}\choose{2}}20p^2(1-p)^{16}$$令f'(p)=0，解得p=1/21。又因?yàn)楫?dāng)p=0或p=1時(shí)，f(p)=0，所以f(p)的最大值點(diǎn)為p=1/21。（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p作為p的值。已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元。若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠需要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用。（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求E(X)。解：根據(jù)題意，這一箱產(chǎn)品中每件產(chǎn)品成為不合格品的概率為1/21。因此，這一箱產(chǎn)品中共有200×(1/21)=400/21件不合格品。如果不對(duì)余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，那么這400/21件不合格品就有可能進(jìn)入用戶手中，導(dǎo)致賠償費(fèi)用的發(fā)生。因此，這一箱產(chǎn)品的賠償費(fèi)用為400/21×25=10000/21元。另外，這一箱產(chǎn)品中共有200-20=180件產(chǎn)品沒(méi)有進(jìn)行檢驗(yàn)。由于每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，因此這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為180×2=360元。因此，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和為X=10000/21+360=5320/21元。根據(jù)期望的線性性，可以得到：$$E(X)=E(10000/21)+E(360)=10000/21+360=5320/21$$（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否應(yīng)該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)？解：如果對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，那么這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為200×2=400元。如果檢驗(yàn)結(jié)果顯示有不合格品，那么需要更換為合格品，這樣就不會(huì)有賠償費(fèi)用的發(fā)生。因此，這種情況下這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和為400元。因此，如果以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，那么應(yīng)該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免賠償費(fèi)用的發(fā)生。1.由題設(shè)知$sin\angleADB=5sin45^\circsin\angleADB$,因?yàn)?\angleADB<90^\circ$,所以$cos\angleADB=1-\frac{223}{255}$.2.由題設(shè)及(1)知，$cos\angleBDC=sin\angleADB=\frac{5}{17}$.在$\triangleBCD$中，由余弦定理得$BC^2=BD^2+DC^2-2\cdotBD\cdotDC\cdotcos\angleBDC=25+8-2\cdot5\cdot2\cdot\frac{5}{17}=\frac{625}{289}$.所以$BC=\frac{5\sqrt{17}}{17}$.18.(1)由已知可得$BF\perpPF$,$BF\perpEF$,所以$BF\perp$平面$PEF$.又$BF\parallel$平面$ABFD$,所以平面$PEF\perp$平面$ABFD$.(2)作$PH\perpEF$，垂足為$H$.由(1)得，$PH\perp$平面$ABFD$.以$H$為坐標(biāo)原點(diǎn)，$HF$的方向?yàn)?y$軸正方向，$|BF|$為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系$H-xyz$.由(1)可得，$DE\perpPE$.又$DP=2$,$DE=1$，所以$PE=3$.又$PF=1$,$EF=2$，故$PE\perpPF$.可得$PH=\frac{3}{\sqrt{13}}$，$EH=\frac{2\sqrt{13}}{13}$.則$H(0,0,0)$，$P(0,0,\frac{3}{\sqrt{13}})$，$D(-1,-\frac{3}{\sqrt{13}},0)$，$DP=(1,\frac{3}{\sqrt{13}},0)$，$HP=(0,0,\frac{3}{\sqrt{13}}-\frac{2\sqrt{13}}{13})$為平面$ABFD$的法向量.設(shè)$DP$與平面$ABFD$所成角為$\theta$，則$sin\theta=\frac{|\overrightarrow{HP}\cdot\overrightarrow{DP}|}{|\overrightarrow{HP}||\overrightarrow{DP}|}=\frac{3\sqrt{13}}{13\sqrt{170}}$，所以$DP$與平面$ABFD$所成角的正弦值為$\frac{3\sqrt{13}}{13\sqrt{170}}$.19.(1)由已知得$F(1,0)$，$l$的方程為$x=1$.由已知可得，點(diǎn)$A$的坐標(biāo)為$(1,-\frac{3}{4})$或$(1,\frac{3}{4})$，$AM$的方程為$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$或$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$.(2)當(dāng)$l$與$x$軸重合時(shí)，$\angleOMA=\angleOMB=0^\circ$.當(dāng)$l$與$x$軸垂直時(shí)，$OM$為$AB$的垂直平分線，所以$\angleOMA=\angleOMB$.當(dāng)$l$與$x$軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)$l$的方程為$y=k(x-1)(k\neq0)$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，則$x_1<2$，$x_2<2$，直線$MA$，$MB$的斜率之和為$k_{MA}+k_{MB}=\frac{2kx_1x_2-3k(x_1+x_2)+4k}{(x_1-2)(x_2-2)}$.將$y=k(x-1)$代入$y^2+x^2=1$得$2k^2x^2-4k^2x+2k^2-2=0$.所以，$x_1+x_2=2\frac{k^2-1}{2k^2-2}$，$x_1x_2=\frac{k^2-1}{2k^2-2}$.4k^3-4k-12k^3+8k^3+4k=0，化簡(jiǎn)得-2k^3+2k=0，解得k=0或k=1。因?yàn)?k^2+1>0，所以當(dāng)k=0或k=1時(shí)，方程有唯一實(shí)根。設(shè)該實(shí)根為x，則有2x^2-3k(x1+x2)+4k=0，又因?yàn)镸A+MB=1，所以MA和MB的傾斜角互補(bǔ)，即∠OMA=∠OMB。因此，∠OMA=∠OMB。20.設(shè)有20件產(chǎn)品，其中恰有2件不合格品。從中任取1件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若所取產(chǎn)品為不合格品，則全部產(chǎn)品都要進(jìn)行檢驗(yàn)，每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)為400元。若不取或所取產(chǎn)品為合格品，則不需進(jìn)行檢驗(yàn)。求該生產(chǎn)批次的最小總檢驗(yàn)費(fèi)用。（1）設(shè)所取產(chǎn)品為不合格品的概率為p，則所取產(chǎn)品為合格品的概率為1-p。由全概率公式，全批次產(chǎn)品全部合格的概率為f(p)=C(18,0)p^0(1-p)^18，其中18為余下的產(chǎn)品數(shù)量。因此，全批次產(chǎn)品至少有1件不合格品的概率為1-f(p)。（2）由（1）知，p=2/20=0.1。（i）設(shè)余下的180件產(chǎn)品中有Y件不合格品，則全批次產(chǎn)品中有2+Y件不合格品。因此，全批次產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為400+Y×25元。根據(jù)期望的線性性，有E(400+Y×25)=400+E(Y)×25=400+25E(Y)。因此，全批次產(chǎn)品的期望檢驗(yàn)費(fèi)用為490元。（ii）因?yàn)槠谕麢z驗(yàn)費(fèi)用大于單次檢驗(yàn)費(fèi)用，所以應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。21.設(shè)f(x)=ax^2-ax+1，其中a為常數(shù)，且a>0。（1）f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f'(x)=-ax^-2-a<0，因此f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減。（2）由f'(x)=-ax^-2-a=0得x^2=a/(a+1)，因此f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2。設(shè)其兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1和x2，則有x1x2=1。不妨設(shè)x1<x2，則x2滿足x2^2-ax2+1=0。因?yàn)閒(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈(0,x1)或(x2,+∞)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí)，f'(x)>0。因此，f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)單調(diào)遞增，在(x1,x2)單調(diào)遞減。22.已知函數(shù)f(x)=1/(ax^2-ax+1)，其中a為常數(shù)，且a>0。（1）f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f'(x)=-a(2x-1)/(ax^2-ax+1)^2。當(dāng)x∈(0,1/2)或(1/2,+∞)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x=1/2時(shí)，f'(x)=0；當(dāng)x∈(0,1/2)或(1/2,+∞)時(shí)，f'(x)>0。因此，f(x)在(0,1/2)和(1/2,+∞)單調(diào)遞減，在(1/2,+∞)單調(diào)遞增。（2）由f'(x)=-a(2x-1)/(ax^2-ax+1)^2=0得x=1/2。又因?yàn)閒(x)單調(diào)遞減，則當(dāng)x∈(0,1/2)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1/2,+∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減。因此，f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，且極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為x1=1/(2a-1)和x2=1/(2a+1)。1.設(shè)函數(shù)$g(x)=\frac{1}{1-x}+2\ln{x}$，由(1)知，$g(x)$在$(0,+\infty)$單調(diào)遞減，又$g(1)=1$，從而當(dāng)$x\in(1,+\infty)$時(shí)，$g(x)<1$。所以$f(x_1)-f(x_2)<\frac{1}{1-x_2}+2\ln{x_2}-\frac{1}{1-x_1}-2\ln{x_1}<a-2$，即$f(x_1)-f(x_2)<a-2$。2.（1）由$x=\rho\cos{\theta}$，$y=\rho\sin{\theta}$得$C_2$的直角坐標(biāo)方程為$(x+1)^2+y^2=4$。由(1)知$C_2$是圓心為$A(-1,0)$，半徑為$2$的圓。由題設(shè)知，$C_1$是過(guò)點(diǎn)$B(0,2)$且關(guān)于$y$軸對(duì)稱的兩條射線。記$y$軸右邊的射線為$l_1$，$y$軸左邊的射線為$l_2$。由于$B$在圓$C_2$的外面，故$C_1$與$C_2$有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于$l_1$與$C_2$只有一個(gè)公共點(diǎn)且$l_2$與$C_2$有兩個(gè)公共點(diǎn)，或$l_2$與$C_2$只有一個(gè)公共點(diǎn)且$l_1$與$C_2$有兩個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)$l_1$與$C_2$只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，$A$到$l_1$所在直線的距離為$2$，所以