中級微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)期末復(fù)習(xí)題答案

第二章偏好與選擇

1.答：不正確，因?yàn)橐部赡苁窍M(fèi)者恰好在這兩個(gè)消費(fèi)束之間無差異。也就是說，

根據(jù)題目的已知條件我們只能斷定（X,,x2）>（,y2）,這是弱偏好。對本題加上

什么樣的假設(shè)前提，題目中的斷定就是正確的？如果加上消費(fèi)者的偏好是嚴(yán)格凸的這一

限制條件，斷定（西,々）》（）1，乃）就是正確的。因?yàn)閲?yán)格凸性條件下，最優(yōu)解若

存在則只有一個(gè)。

2.答：這種關(guān)系是傳遞的也是完備的。首先，它是完備的。因?yàn)檫@三個(gè)人中任意給

定兩個(gè)人，比如A和C，則必然有A±C或者C占A，或者二者都成立。其次，它是傳遞的。

因?yàn)槿绻鸄占B并且B±C,則必然有A占C。

3.答：首先它不是完備的。反證一下，假設(shè)它是完備的，則必然有（A^Bi并且

A2>：B2）或者（BeAi并且B2占A2）。但是我們立刻可以舉出反例，例如A>3但A<B,

即A的身材更高但速度更慢，而B的身材更矮但速度更快這種情形下選擇誰？（注：

我們用下標(biāo)1表示身高；用下標(biāo)2表示速度）。

其次它是傳遞的，因?yàn)槿绻ˋeBi并且A2占B2），以及（B0C1并且B2占C2）,

則必然有（Ai>C,并且A23c2）o

4.答：（1）喜歡喝汽水x,但是厭惡吃冰棍y,可能的無差異曲線是這樣

A

y

(2)李楠既喜歡喝汽水x，又喜歡吃冰棍y，但她認(rèn)為三杯汽水和兩根冰棍是無

差異的.只要滿足(0,2)和(3,0)在同一條無差異曲線上就符合題目要求.可能的

無差異曲線是這樣

效用函數(shù)為y2x+3y

(4)楊琳的無差異曲線是

X

5.答：兩種商品完全替代即它們的邊際替代率為常數(shù)。邊際替代率是在消費(fèi)者保證

效用相等的條件下，用一種商品替代另一種商品的比率。因此有：

商品1的邊際效用為MU產(chǎn)疝/加=lOQxi+2x2)

商品2的邊際效用為MU2^du/Jx2=10(2xi+2x2)

商品1對商品2的邊際替代率MRSi2=MU|/MU2=l。滿足完全替代品的效用函數(shù)特征，

因此這個(gè)說法是正確的。

6.答：假設(shè)其他商品的價(jià)格為P,在消費(fèi)者購買面粉少于5公斤的情況下，預(yù)算約

束方程為：

PX+Y=30

式中，*為其他商品的購買量，Y為面粉的購買量；

當(dāng)消費(fèi)者購買面粉多于5公斤的情況下，預(yù)算約束方程為：

PX+5xl+5x(y—5)=30

即尸X+5V=50

其預(yù)算約束線如下圖所示的預(yù)算約束線10

當(dāng)面粉價(jià)統(tǒng)一為每公斤2元時(shí)，預(yù)算約束方程為：

PX+2y=30

其預(yù)算約束線如下圖所示的預(yù)算約束線2o

如果兩種情況下對消費(fèi)者無差異，則消費(fèi)者的無差異曲線同時(shí)相切于兩條預(yù)算線。如圖

無差異曲線為同時(shí)與預(yù)算線1和預(yù)算線2相切。

其他商品

7.答：免費(fèi)發(fā)給消費(fèi)者一定量的實(shí)物與發(fā)給消費(fèi)者按市場價(jià)格計(jì)算的這些實(shí)物折算

的現(xiàn)金，根據(jù)無差異曲線位置的不同，給消費(fèi)者帶來的效用不同。

如下圖所示，消費(fèi)者初始的預(yù)算線為AB,當(dāng)免費(fèi)發(fā)給消費(fèi)者AC量的實(shí)物Y時(shí)，

消費(fèi)者的預(yù)算線為CD,如果發(fā)給消費(fèi)者按市場價(jià)格計(jì)算的這些實(shí)物折算的現(xiàn)金，則消

費(fèi)者的預(yù)算線為

CFO

當(dāng)無差異曲線和CD段的預(yù)算線相切，如U2,無論發(fā)放現(xiàn)金還是發(fā)放實(shí)物給消費(fèi)

者帶來的效用是相同的，

當(dāng)無差異曲線和DF段的預(yù)算線相切，如U4,而發(fā)放實(shí)物的預(yù)算線為CD線段，所

以消費(fèi)者的最大效用只能達(dá)到U3,此時(shí)發(fā)放現(xiàn)金比發(fā)放實(shí)物給消費(fèi)者帶來的效用大。

8.答：該消費(fèi)者的處境改善了，因?yàn)樵撓M(fèi)者得到50元的補(bǔ)貼后可以多消費(fèi)電來替

代煤氣，由于電價(jià)未變，他完全可以籍此改善自己的處境。

如圖所示，MN代表原來的預(yù)算線，MN1代表煤氣漲價(jià)100%，但未給補(bǔ)貼的預(yù)算

線，AB代表給了50元補(bǔ)貼后的預(yù)算線。由于消費(fèi)者原來消費(fèi)煤氣50元，煤氣價(jià)上漲

100%后，政府補(bǔ)貼50元恰好使消費(fèi)者能消費(fèi)原數(shù)量的煤氣，故AB線通過初始的消費(fèi)

均衡點(diǎn)E1,并與MN1線平行。從圖可以看出，面對新的預(yù)算線AB,消費(fèi)者的最優(yōu)消

費(fèi)組合是E2O在此消費(fèi)組合，消費(fèi)者得到的效用水平上大于煤氣漲價(jià)前的效用水平

U,表明消費(fèi)者通過少消費(fèi)煤氣、多消費(fèi)電的方式改善了自己的處境。

9.解：假定該消費(fèi)者只消費(fèi)兩種商品征稅前消費(fèi)者的預(yù)算約束為p內(nèi)+02々=加。

對商品1征收消費(fèi)稅后，消費(fèi)者的預(yù)算約束變?yōu)椋?+。玉+「2》2=加。消費(fèi)稅的效果如

下圖所示。

如果用（X；,X；）表示稅后消費(fèi)水平，則征稅所能得到的稅收為后?，F(xiàn)在假定改

換稅種，但征收同樣數(shù)額的所得稅。消費(fèi)者的預(yù)算約束變?yōu)镻ix^p2x2=m-tx；o這是條

斜率為—上L并通過（工；，￡）的直線。所以，盡管征收同樣數(shù)量的稅，但相對于消費(fèi)

Pi

稅而言，消費(fèi)者繳納所得稅能獲得更高的效用水平。

10.答：咖啡和糖對茜茜而言是完全互補(bǔ)品（perfectcomplements）,即她的效用函

數(shù)可以表

示為（假設(shè)她的偏好滿足單調(diào)性）：

"（c,s）=min{c,；s}

其中C代表咖啡的量，以杯為單位；S代表糖的量，以湯匙為單位。

很明顯，她的最優(yōu)選擇必然是

1

c=-s

2

她面臨的約束條件為：

PK+p2s<M

由于她的偏好是單調(diào)的，而收入的增加可以有機(jī)會(huì)買到更多量的咖啡和（或）糖，因此

她的最優(yōu)選擇必然在預(yù)算線上.也就是說，她的約束條件可以表達(dá)為：

PQ+p2s=M

綜合以上分析，可得到

§-----2-M-----c-----M------

Pl+2P2'Pl+2P2

如果價(jià)格變成和我，同樣可以得到

2MM

'P；+2p；，'p；+2p；

咖啡和糖的消費(fèi)比例不會(huì)發(fā)生變化。

11.答：當(dāng)只有兩種商品X和Y時(shí)，消費(fèi)者的最優(yōu)化問題可以寫成：

MaxU（x19x2）

S.t.pxxx+p2x2=I

Xj>0,x2>0

因?yàn)椤?-Xi+-

故效用最大化問題可以表示為：

maxu（X],------玉）

玉PiPi

滿足消費(fèi)者在既定預(yù)算約束下的效用最大化原則，所以有u'（?）=0

^）=0

■Plp2

得到效用最大化問題的必要條件

二a

4Pz

邊際替代率遞減規(guī)律是源于邊際效用遞減規(guī)律，所以須有u”(x)<0。

因?yàn)?4+4式一旦)_(2)%+%底)]

PlP1〃2

注意到4=4,所以有

(3)(P；U”—2〃宙252+P：〃22)<0

Pl

即P；G1-2Plp2(/]2+P；〃22<0

將力=0_代入，有

U2Pl

-2UtU2Ui2+U22U^<0

12.答：在價(jià)格為(pi,P2)=(l,2)時(shí),消費(fèi)束1(1,2)的支付為5,消費(fèi)束2(2,1)的

支付為4,在二者都支付的起的情況下，消費(fèi)者先1而不選2,說明消費(fèi)束1被顯示偏

好于消費(fèi)束2O那么，在任何價(jià)格體系下，消費(fèi)束2都不可能被顯示偏好于消費(fèi)束1,

即不可能存在一個(gè)價(jià)格體系，使得消費(fèi)者選擇消費(fèi)束2而不選擇消費(fèi)束lo從而，在價(jià)

格體系(qi,qz)=(2,1)下，消費(fèi)者選擇了消費(fèi)束2,與顯示性偏好公理矛盾，該行為

違背最大化行為模型。

13.答：當(dāng)價(jià)格為(pi，/花尸(2,1)時(shí)，消費(fèi)束1的支付為4,消費(fèi)束2的支付為5,消

費(fèi)者選擇了消費(fèi)束1,而沒有選擇消費(fèi)束2,說明消費(fèi)束2是消費(fèi)者支付不起的。這沒

有違背顯示性偏好公理，也不能說明這種行為與最大化行為模型相一致。

第三章個(gè)別需求與市場需求

1.答：結(jié)合需求曲線的推導(dǎo)來解答此題。

2.解：劣等品是指隨著消費(fèi)者收入增加，其需求量減少的商品。設(shè)是第i種

商品的馬歇爾需求函數(shù)，那么商品i是劣等品意味著包生?<0。對于消費(fèi)兩種商品

dm

的消費(fèi)者，如下的預(yù)算約束式恒成立：

x

Pi玉（P|,外，⑼+P22（Pi，P2,m）=m（1）

等式兩邊對收入m求導(dǎo)得到：

3X］（P］，P2，〃7）dx（p,p,m）_

A—藐一+"2―2嬴t—2=］⑵

如果兩種商品都是劣等品，則有曳欠?<0,i=l或2都成立，從而（2）式左邊

dm

小于零，矛盾！所以，兩種商品不可能都是劣等品。

3.解：原來消費(fèi)處于均衡狀態(tài)。設(shè)消費(fèi)者花在x商品上的支出為叫，則叫=Pxx0

對該式求p1的導(dǎo)數(shù)有，如?=」Epx+x=/l+也因x的需求價(jià)格彈性大于1（絕

dp、dpxdpxx_

對值），所以有也<0,即隨著價(jià)格下降，消費(fèi)者花在x商品上的支出會(huì)增加。那么，

dP,

消費(fèi)者花在），商品上的支出會(huì)減少，從而y的購買量會(huì)減少。

4.答：在收入水平維持在M、商品Y的價(jià)格仍維持在PYi不變的情況下，商品X

的價(jià)格從Pxi下降為PX2將導(dǎo)致預(yù)算線以其與縱軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)發(fā)生逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如下

圖所示）。從而，消費(fèi)者對兩種商品的需求量均發(fā)生變化，這種變化可以分解為替代效

應(yīng)和收入效應(yīng)。

對于X商品來說，替代效應(yīng)為X2-X）,收入效應(yīng)為X3-X2,總效應(yīng)為X3-X］；

對于Y商品來說，替代效應(yīng)為丫2-Y1,收入效應(yīng)為丫3-丫2,總效應(yīng)為丫3-Y”

5.解：(1)設(shè)商品1和2的價(jià)格分別為P},見，則消費(fèi)者的問題為：

max不/

s.tPi%+p2x2=24

構(gòu)造的拉格朗日函數(shù)為：

L=%-G—24)

將拉格朗日函數(shù)分別對西和馬求偏導(dǎo)，令偏導(dǎo)值為零

也_；_n

期

dL_._n

dx2

所以土=工，即P/

=p2x2,從而2P內(nèi)=24,2P2元2=24

PlP2

可解出司=超，x2=—

PlPl

(2)因?yàn)?J1=1,生=2，所以芭=12,七=6。

(3)消費(fèi)水平不變即消費(fèi)效用不變，故要維持(/=玉Z=72。消費(fèi)者問題為：

min?！?3JV2)

s.tx{x2=72

構(gòu)造的拉格朗函數(shù)為：

L=x1+3X2-A（X|X2-72）

將拉格朗日函數(shù)分別對芭和聲求偏導(dǎo)，令偏導(dǎo)值為零

理"=1-AX2=0

dx}

=3—Ax,=0

dx2

所以網(wǎng)=3工2,從而3x；=72,可解出々=26，玉=6指，預(yù)算應(yīng)調(diào)整為126。

對商品2帶來的替代效應(yīng)為2V6-6

(4)如果預(yù)算仍為24,則消費(fèi)者對商品2的需求為％=—=4,價(jià)格變化給其帶

'Pi

來的收入效應(yīng)為4-2卡。

6.解：設(shè)商品X和Y的價(jià)格分別為px，消費(fèi)者的預(yù)算為I,則消費(fèi)者的問題

為：

maxX4y3

PxX+pYY=I

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為

43

L=XY-A(pxX+PYY-I)

將拉格朗日函數(shù)分別對X和Y求偏導(dǎo)，令偏導(dǎo)值為零，得到

==4*3丫3_電=o

dX

-=3X4Y2-Ap=0

dYYy

由上兩式可得

4x3/3_3x4y2

PxPY

進(jìn)一步有

4X4y33X4Y3

PxXPYY

從而

PyY_3X4y3_3

-43

pxX4Xy~4

PxX和PyV分別為消費(fèi)者在X和Y商品上的支出，不難看出消費(fèi)者在Y商品上的支出

占總支出的比重為3/7。

由于消費(fèi)者在Y商品上的支出為二/,所以消費(fèi)者對商品Y的需求函數(shù)為二這表明對Y

77pv

的需求與X的價(jià)格沒有關(guān)系。

7.解:⑴預(yù)算約束方程為：，小廿百2="_玉預(yù)算線如圖。

(4+/)玉+P2x2=m+^X]>X]

(2)消費(fèi)者的效用函數(shù)為：”(和々)=6%+辦2,無差異曲線如圖。

x2

預(yù)算線圖不無差異曲線圖示

(3)該消費(fèi)者對商品1的需求函數(shù)為：

(3.1)當(dāng)1/a<6/〈時(shí),-=0；

(3.2)當(dāng)b/a>(4+f)/￡時(shí),斗=(m+氏])/([+。；

(3.3)當(dāng)b/a=6/巴,時(shí)，x[e[0,J,]；

(3.4)當(dāng)b/a=(q+f)/6時(shí)，.e—,(加+區(qū))/(耳+。]

(3.5)當(dāng)耳//<b/a<(4+f)/)時(shí),玉=用

8.解：該消費(fèi)者的最大化問題是

max。In玉+x2

s.t.p}x]+p2x2=m

需求函數(shù)為玉=即2/〃1，%=(〃2-?！?)/〃2

間接效用函數(shù)為v(p,m)=u(x](/n,y\x1(???,y))=aIn—,p是向量(p1，p2)o

PiPi

9.解：線性規(guī)劃

maxxfx2

X"2

s.t.PM】+p2x2=y

其拉格朗日函數(shù)為：

L=xfx2-“PM】+p2x2-y)

使L最大化的一階條件為：

*=2中2-加=0(1)

dx}

2

=%|—A/?7=0(2)

—=+px-y=0（3）

OA22

（1）式除以（2）式，得：

注=&*2=也（4）

玉氏-2P2

代（4）入（3）式得%的需求函數(shù)

32y

y--P\x\=o=>x,=--（5）

23Pl

代（5）入（4）式得占的需求函數(shù)

f(6)

代（5入（6）兩式入效用函數(shù)中，得到間接效用函數(shù)

c、2

2yy

v(p,y)=u(x,x)=xfx=

l223pJ3P2

又消費(fèi)者效用最大化意味著

y=e(p,v(p,y))

即可得支出函數(shù)為：

e(P，〃)=e(P，v(P，y))=y=(108p；02“'=g(2p：p2M)'3

10.解：分段求出市場需求曲線

由5-3P>0,知消費(fèi)者A有需求的價(jià)格為P<5/3；

由10-3P>0,知消費(fèi)者B有需求的價(jià)格為P<10/3；

由20-2P>0,知消費(fèi)者C有需求的價(jià)格為P<10；

35-8F0<P<5/3

得出市場需求曲線方程Q=<30-5尸5/3WP<10/3

20—2P10/3<F<10

11.解（1）消費(fèi)者收入的邊際效用為：

入匹=3

8M

該消費(fèi)者最優(yōu)消費(fèi)量應(yīng)滿足的條件為

6U/1_1/2/..

所以消費(fèi)的需求函數(shù)為：

q72=6p=>q=―

36P2

/^\Sl<1nU.=1144

(2)=p=一時(shí),隔q=----=---=4

12"36P236

消費(fèi)者剩余為：

C=[c叱既才-”心。1

12.解：設(shè)老人的收入為m,則老人的目標(biāo)函數(shù)和約束條件為

maxx}x2

Z/2

s.t.P}x}+P2x2=m

可求得老人在北京，上海，廣州居住的間接效應(yīng)函數(shù)為

1nr.,

VI7-=―：：---i=a,b,co

P\P\4

由P；P；=；（P；+P2XP2+P2）2標(biāo)對歷f=P；P；=P舊

所以匕wv“=匕，因此老人會(huì)選擇北京或上海，但不會(huì)去廣州生活。

13.解：（l）Luke的效用函數(shù)為“（X,y）=mino設(shè)奶酪的價(jià)格為Px,面包的價(jià)

格為PY,Luke的收入為moLuke的最優(yōu)選擇問題為

maxmin{——，一}

23

s.tPX+PY-m

dVIV

其解必然在無差異曲線的折點(diǎn)，即滿足3X=21?？山獾?/p>

￥二21ny=3〃？

24+3耳，24+3弓

⑵當(dāng)口:與=2，陽=72時(shí),

(3)當(dāng)心=4,6=2時(shí)，

X=——=^^10.3,產(chǎn)3m.°15.4

國

2+3[142PX+3PY14

從上圖可以看出，奶酪價(jià)格變化使預(yù)算線從Li變到L2，作一條預(yù)算線L3與L2平行且和

5相切，顯然，切點(diǎn)仍為無差異曲線的折點(diǎn)。所以，價(jià)格變化沒有替代效應(yīng)，X需求量

的變化全為收入效應(yīng)。即收入效應(yīng)為41。

(5)Luke的希克斯需求是以下問題的解

minPXX+PYY

其解必然在無差異曲線的折點(diǎn)，即滿足3X=2Y?？山獾?/p>

X=2u9Y=3u

所以,支出函數(shù)為e(P,")=(2&+3g)〃

14.解：在新的價(jià)格水平下，消費(fèi)者的生活水平很有可能上升，至少不會(huì)下降，因?yàn)?/p>

在新的價(jià)格水平下，購買原消費(fèi)束的支出為：

8x5+6x10<10x5+5x10

滿足其預(yù)算約束。

故消費(fèi)者至少可以購買原消費(fèi)束以使生活水平不下降。

第四章不確定條件下的選擇

d2u

1.答：(1)因?yàn)?0,所以風(fēng)險(xiǎn)中性。

(2)因?yàn)?=-二<0，所以風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避。

de2c2

(3)因?yàn)?=2>0，所以風(fēng)險(xiǎn)偏愛。

de2

dzu

(4)因?yàn)?-2b<0,所以風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避。

de2

2.答：(1)每種戰(zhàn)略的可能結(jié)果與每種結(jié)果的可能性可以用下表列出。在每一種戰(zhàn)

略之下將雞蛋完好帶回家的個(gè)數(shù)的期望值均為6。

0612期望

戰(zhàn)略10.50.56

戰(zhàn)略20.250.50.256

(2)根據(jù)戰(zhàn)略1下的各種可能結(jié)果及其概率分布，該戰(zhàn)略下的期望效用為

￡t7=O.5[t/(O)+0(12)],從下圖來看，期望效用為A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即期望效用為5；根

據(jù)戰(zhàn)略2下的各種可能結(jié)果及其概率分布，該戰(zhàn)略下的期望效用為EU=0.25U(Q)+

0.51/(6)+0.25(7(12)。相應(yīng)地，可將該期望效用表達(dá)式變形為如下形式

￡(7=0.5{0.5[t/(0)+t/(6)]+0.5[(/(6)+[/(12)]},從下圖來看,期望效用為B點(diǎn)的縱坐標(biāo),即

期望效用為U2O所以，采用第二種戰(zhàn)略的期望效用大于第一種戰(zhàn)略。

3.解：(1)期望效用等于效用的期望值，即EU=0.25xJI5菽+0.75x71而=9.5

(2)設(shè)甲支付的保險(xiǎn)費(fèi)為R,顯然R應(yīng)滿足下式：

V100-/?>9.5

即購買保險(xiǎn)后的效用不低于不買保險(xiǎn)下的期望效用?？山獾?/p>

7?<9.75

甲最高愿意支付的保險(xiǎn)費(fèi)為9.750

4.解：(1)效用期為Et/=0.251n(80000)+0.751n(100000)=11.45o

(2)(7(w)=lnw,(/=l/w>0,f/"=-l/w2<0,所以該居民是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的。

(3)記CE為確定性等價(jià),則ln(C￡)=￡(7(w)

CE=eAEt/(w)=eA(11.457139)=94574.106

那么居民愿意支付的保費(fèi)為100000-94574.106=5425.89元。

(4)公平保險(xiǎn)為0.25*20000=5000元

5.解：(1)設(shè)罰款額為F

若不偷稅，U、=lnl50；

91

若偷稅，E(/2=—In200+—ln(200-F)

罰款起到作用必須使得商販偷稅和不偷稅得到的期望效應(yīng)一樣大。因此，q=E6，

解之得F=188.74元

1o19

(2)EU2=—ln(300-F')+—ln300+—ln(500-F')+—ln500

不偷稅時(shí)，EU}=ln(l50+100)+1ln(l50+300)

令EQ=七5可解得尸=264.2或535.8(舍去卜

顯然。=264.2時(shí)就足以讓商販?zhǔn)ネ刀惖膭?dòng)力。

6.解：擁有這張獎(jiǎng)券的期望效用為

EU(w)=0.5V4+12+0.574=3

若讓他出讓該彩票，他索取的最低價(jià)應(yīng)當(dāng)使他出讓前后效用水平不變，設(shè)該價(jià)格為

p,有U(w+p尸EU(w),從而J4+p=3

解得p=5.即他索取的最低價(jià)是5元。

7.略

8.解：設(shè)投資者將x比例的錢投放到股票市場上，則他存入銀行的比例為(l-x卜

這樣，可以把其投資看成是含有一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合。其中，無風(fēng)險(xiǎn)利率。=2%,

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率/;,=10%，標(biāo)準(zhǔn)差%,=1。

則投資組合的期望收益率勺=肛“+(1-幻勺=xx10%+(1-x)x2%=0.08x+0.02

標(biāo)準(zhǔn)差4=xcrm=x

則對投資組合的偏好可表示為：

W=10(0.08x+0.02)-%2

=—x~+0.8x+0.2

U't",)=—2x+0.8=0

得：x=0.4

即投資者應(yīng)將10x0.4=4(萬元)的錢投放到股票市場上。

第五章生產(chǎn)函數(shù)

1.略

il25025os2i252525

2.解：,F(tK,tL)=(tK)-(M)-=tK°-t<tK°-^-=tF{K,L),故規(guī)

模報(bào)酬遞減。

3.解：Vf>l,/(四沅2)=嚴(yán)夕5無：邸=嚴(yán)夕./(%,％2)，故柯布-道格拉斯生產(chǎn)

函數(shù)/(x,x2)=的規(guī)模報(bào)酬性質(zhì)取決于a+￡值的大小

(1)1+廣〉1,/(%%)=嚴(yán)%2)>丁(為,%2)，規(guī)模報(bào)酬遞增；

a+p

(2)a+/3<\,f(tx{tx2)=t-f{xx,x2)<tf(x],x2)，規(guī)模報(bào)酬遞減;

(3)a+/?=l,/(%%)=嚴(yán)'?/(再，％2)=以%，%)，規(guī)模報(bào)酬不變。

4.答：略

5.解：(1)要素報(bào)酬遞減是指在一定技術(shù)水平條件下，若其他生產(chǎn)要素不變，連續(xù)

地增加某種生產(chǎn)要素的投入量，在達(dá)到某一點(diǎn)后，總產(chǎn)量的增加會(huì)遞減。而規(guī)模報(bào)酬遞

減是指當(dāng)各種要素同時(shí)增加一定比例時(shí)，產(chǎn)出量的增加會(huì)出現(xiàn)遞減的現(xiàn)象。

(2)二者的區(qū)別可以用生產(chǎn)函數(shù)Q=乙。6長。3為例加以說明。設(shè)在此函數(shù)中，K保

持不變，只有L發(fā)生變化，則絲=0.6匚°,長。3,空=-0.24「區(qū)。3<0。所以，L的邊

dL5L2

際產(chǎn)量遞減，說明在此生產(chǎn)函數(shù)中要素的邊際報(bào)酬是遞減的。當(dāng)L、K同時(shí)以的2比例

0603M60309

增加時(shí)，e(2L,AK)=(2L)(AK)-AnK=AQ(L,K)o可見產(chǎn)量增加的比例要小于生

產(chǎn)要素增加的比例，生產(chǎn)函數(shù)呈現(xiàn)為規(guī)模報(bào)酬遞減。

6.略

7.解：⑴短期內(nèi)生產(chǎn)函數(shù)為。,=-2產(chǎn)+16L-18,S表示短期。

廠家的問題是max陽(L)

7rx(L)=pQs(L)-wL=-2I?+SL-X8

解決這個(gè)問題的勞動(dòng)最優(yōu)投入量L滿足一階條件上=-4L+8=0

dL

因此L=2,即最有勞動(dòng)量為2.

(2)這個(gè)問題可以表述為：max當(dāng)幺

解決這個(gè)問題的勞動(dòng)投入量L滿足一階條件色(&]=-2+答=0

dLyL)L2

即L=3,人均產(chǎn)量最大的勞動(dòng)投入為3,此時(shí)最大的平均產(chǎn)量為—o

3

8.解：(1)設(shè)也)=/(K,L),有

0o+內(nèi)(KL)%+pjK+13KL=鞏+4MKL)%+閃K+0L

即對V/〉l,有,因此片=0時(shí)，該生產(chǎn)函數(shù)呈現(xiàn)規(guī)模報(bào)酬不變。

(2)對“KJ)=g(KL)%+/72K++L

有K的邊際生產(chǎn)力MPK=￡:=<G+月，

oK2\A7

則MPK(tL,tK}=MPK(L,K)

即函數(shù)對K的邊際生產(chǎn)函數(shù)是零次齊次的。又以=_工0K,即K的邊際

dK24'

生產(chǎn)力遞減。同樣，可以得到L的邊際生產(chǎn)力函數(shù)是一次齊次和遞減的。

9.略

10.解：(1)因?yàn)?<a<l,A>0

所以，MP.=—^A-a-C-l-K'a>0

dL

MPK=3=4(1-a)./K">0

(2)因?yàn)?(2LAK)=A(XL)a(AK)'-a=AALXK'~a=AQ

即/(北,〃)=20,兩邊對2偏微分，可得：

dfdALdAK

32L52dAKdA

所以圖-1+且?K=。

SALdAK

令4=1,貝思」+包-K=。

dLdK

可得人?L+人?K=。所以滿足歐拉定理。

(3)勞動(dòng)的產(chǎn)出彈性9=人?吆=上從-廣/「。=人口旦=1

QdLQQL

資本的產(chǎn)出彈性CK==].A.（l_￡）.〃.K=

(4)MTRS/K=篝=產(chǎn)-(，)=/(?)=*??；,所以MRTS隨乙的增加而遞臧。

K

U.解：(1)替代彈性用來測度生產(chǎn)要素投入比率變動(dòng)率對于生產(chǎn)要素邊際技術(shù)替代

率變動(dòng)的敏感程度。替代彈性(0)表示如下：

主d（強(qiáng)）（群）

替代彈性（T=―—=———XMPX]

“包MP^立

MPX2MPX2X}

MPx1

MPX2

(2)由柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)的表達(dá)式可知：

MPx、=aAx^'x^MPX2=/3Ax^x^

ax

MPxy__2

MPX2-一0Xx

%ax

或）下x-2

b=-il—xU=l

d（Wx寇）上

0玉玉

因此，柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)：q=A#xg（A>0,a>0,〃>0）的替代彈性恒為1.

第六章成本函數(shù)與要素需求

1.解：設(shè)企業(yè)的成本函數(shù)為。（/=①（幻+匕，其中①（q）為可比成本、匕為固定成本。

平均成本函數(shù)為

AC⑷=2也此

qq

要使平均成本值達(dá)到最小，則必要條件為

a①（q）+b]「3①⑷

d———①⑷一。

—---4--」-=-L--的--」----=o八

加q

即d①⑷①⑷+b-"

即=------=MC=AACro

的q

表明當(dāng)短期平均成本達(dá)到最小時(shí)，短期平均成本等于邊際成本。即邊際成本曲線從下而

上穿過短期平均成本曲線最低點(diǎn)。

2.答：雖然企業(yè)的短期平均成本曲線和長期平均成本曲線均成U形，但二者的原因

是不同的。短期平均成本（SAC）曲線呈U形源于要素的邊際報(bào)酬遞減規(guī)律。邊際報(bào)酬

遞減規(guī)律是指，假定其他投入品固定不變，當(dāng)某種投入品增加時(shí)，這種增加過程達(dá)到一

定程度之后，便會(huì)出現(xiàn)邊際報(bào)酬遞減的現(xiàn)象。這一規(guī)律意味著企業(yè)的短期生產(chǎn)中，隨著

可變要素投入量的增加，其邊際報(bào)酬（邊際上增加的產(chǎn)量）并非從始至終都遞減，而是

先有一個(gè)遞增的過程。從而企業(yè)的平均可變成本（AVC）恰好反過來，表現(xiàn)為先遞減后

遞增的過程.另一方面，短期中企業(yè)的平均固定成本（AFC）是始終遞減的。當(dāng)企業(yè)產(chǎn)

量增加使得平均可變成本的上升幅度超過平均固定成本的下降幅度時(shí)，短期平均成本就

會(huì)增加，從而短期平均成本呈現(xiàn)為先遞減后遞增的過程。

長期平均成本（LAC）曲線呈U形源于企業(yè)長期生產(chǎn)中隨著資本規(guī)模的擴(kuò)大而呈現(xiàn)

出的先規(guī)模經(jīng)濟(jì)后規(guī)模不經(jīng)濟(jì)的特征。在規(guī)模經(jīng)濟(jì)階段，長期平均成本是遞減的，而在

規(guī)模不經(jīng)濟(jì)階段，長期平均成本是遞增的。

3.略

4.解：廠商長期中的最優(yōu)化問題為：

min(4L+8K)

SJQ=24小K%

拉格朗日方程為：

V=4L+8K-/l(24L%K%-Q)

生=4-8/U；%K%=0

dL

處=8-16&%K4=0

dK

從而有L=K，即L=K=2

24

所以LTC(Q)=4L+8K

5.解：(1)生產(chǎn)函數(shù)為。=。(%,々，…天)滿足規(guī)模報(bào)酬遞增的條件是：設(shè)t為任一

大于1的數(shù)值,有。(厲,火…及“)＞地區(qū)，％…碧)。

(2)根據(jù)規(guī)模報(bào)酬遞增函數(shù)的性質(zhì)有0(2字2.會(huì)…2.三＞2吟會(huì).?孕

所以?！?)＞2。(5,三…三)，這表明把規(guī)模報(bào)酬遞增的企業(yè)一分為二，產(chǎn)

出之和小于原來產(chǎn)出。

6.解：(1)由生產(chǎn)函數(shù)Q=min(5K,10L),知該生產(chǎn)函數(shù)中要素投入的最優(yōu)比例為

K:L=2:1,其生產(chǎn)擴(kuò)展線為直線K=2L

當(dāng)產(chǎn)出水平為。時(shí)，有5K=10L=Q,即K=§,L=^

故長期成本函數(shù)為LTC(Q)=rK+wL=3-^+\^=^

長期平均成本函數(shù)為LAC(Q)='

長期邊際成本函數(shù)為LMC(Q)=^

⑵若短期下K=10，則企業(yè)短期生產(chǎn)函數(shù)為

10L0<L<5

Q=<

50L>5

因此，廠商短期總成本函數(shù)為

—2+300<2<50

STC(Q)=+10

4-002>50

短期平均成本函數(shù)為

130

一十一0<2<50

SAC(Q)=<10Q

4-002>50

短期邊際成本函數(shù)為

1

0<2<50

SMC(Q)=10

4-002>50

(1)證明:成本最小化要求”之=丫，代入MP]=0K”-',MP^aK^'Lf

7.解：K

MPKv

即得到rK/a=w￡//?。因?yàn)镵=”L，故該廠商的生產(chǎn)擴(kuò)張線是一條射線。

例

(2)證明：代入。=K“Z?中，得到。=("]IT。

尸v\網(wǎng))

解出L=Q"+'

將乙=°&+力代入K="L

得到K=Q

故成本函數(shù)為

TC=rK+wL=0/％癡+。產(chǎn)la+0

磊B—

令B=里+（與“+，則得到欲證結(jié)論。

\P）a

（3）當(dāng)a+/=l時(shí)，有

TC=+

顯然，TC與。成比例。

8.解：(1)由生產(chǎn)函數(shù)。=爐8K鉀，有Mg=|L-5/8K5/8,MPK=|L3/8^-3/8,既定產(chǎn)量

下成本最小的要素投入比例應(yīng)滿足的條件是

MP,w3

MPK5

3,5/8爪5/8

從而合~——3￡3,即工=1

5~L~5

）愣K-3/8L

8

所以，當(dāng)。=10時(shí)，有K=L=10,最低成本為TC=80

(2)最優(yōu)投入時(shí)有K=L,所以Q=/8K"8=長=乙

故企業(yè)才長期成本函數(shù)為TC(Q)=rK+wL=5Q+3。=8。

當(dāng)TC(0)=16O時(shí)，有。=20

止匕時(shí)K=L=20

9.解：(1)由題中給出的生產(chǎn)函數(shù)，可得廠商在最優(yōu)生產(chǎn)時(shí)，滿足：

Q=?=71^

L=K=；°2即為要素需求函數(shù)。

所以成本函數(shù)為C=1X；02+]X；02=Q2

(2)廠商出錢買此技術(shù)必須至少不出現(xiàn)虧損。設(shè)專利技術(shù)費(fèi)用為T,廠商購買此

技術(shù)后其利潤為：

=pQ-C-T=(\000-1.5Q)Q-Q2-T=-2.5Q2+l000(?-T,且乃20

-=-52+1000=0，得。*=200，此時(shí)。=。2=40000,萬=100000—720

dQ

所以&?=100000

廠商最多愿意支付100000用于購買此技術(shù)。

(3)如果政府征收50%的從價(jià)稅，此時(shí)價(jià)格為1.5p,市場需求變?yōu)?/p>

2=^(1000-1.5p),仍設(shè)其購買專利技術(shù)費(fèi)用為T,此時(shí)，廠商的利潤函數(shù)為：

”=(譽(yù)02—7，且萬'20

方=瞿一4。=0，得。*。167

dQ1.5

此時(shí)萬'=55555—720，故7；3K=55555

10.解:⑴將y=484代入生產(chǎn)函數(shù)，得484=(2—+Z￥2)2

整理后可得z=(22-2/2)2(1)

故成本函數(shù)為TC=30x+20z+50=30x+20(22-2x'12)2+50⑵

成本最小化的條件為：—=30+40(22-2xl/2)(-x1/2)=0

dx

解得：x-64

將其代入(1)、(2)式可得：

Z=36,TC=2690

(2)把生產(chǎn)函數(shù)中的)，看作一定數(shù)值時(shí)，生產(chǎn)函數(shù)整理后得

Z=(嚴(yán)一2一)2⑶

總成本函數(shù)即為TC=30x+20z+50=30x+20()M—2/2)2+50(與

成本極小化的條件為如=30+40(嚴(yán)—2XI/2)(-X1/2)=0

dx

解得：x=Wy

121

代入(4)式后即得總成本函數(shù)：7。=黑)，+50

11.略

第七章利潤大化與競爭性供給

1.解：對完全競爭廠商而言，最優(yōu)供給量由P=MC決定。即在每一個(gè)給定的價(jià)格

水平P,完全競爭廠商應(yīng)該選擇最優(yōu)產(chǎn)量Q,使得尸=例。(。)成立。這意味著在價(jià)格P

和廠商的最優(yōu)產(chǎn)量。之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系。而廠商的SMC曲線恰好準(zhǔn)確地表明了

這種商品的價(jià)格和廠商的短期供給量之間的關(guān)系。

Pl

Q

結(jié)合成本曲線圖形分析，在企業(yè)短期生產(chǎn)中：

當(dāng)市場價(jià)格P>Po時(shí)，平均成本小于市場價(jià)格，所以企業(yè)是盈利的，定然提供供給；

當(dāng)市場價(jià)格P|VP<Po時(shí)，平均成本大于市場價(jià)格，所以企業(yè)是虧損的；但是，即

使這樣企業(yè)也仍將維續(xù)生產(chǎn)。因?yàn)?/p>

(1)若不生產(chǎn)。利潤二R-TC=0-FC=-FC,即企業(yè)虧損額度為固定成本；

(2)若繼續(xù)生產(chǎn)。利潤=R-TC=P*Q-(AVC+AFC)*Q=(P-AVC)*Q-FC,而此時(shí)P>AVC,

所以企業(yè)生產(chǎn)要比不生產(chǎn)時(shí)的利潤大，即企業(yè)仍然虧損但虧損額度小于固定成本。為此,

企業(yè)將繼續(xù)生產(chǎn)并根據(jù)邊際成本等于邊際收益(市場價(jià)格)的原則來確定生產(chǎn)數(shù)量。

當(dāng)P〈Pi時(shí)，企業(yè)將停止生產(chǎn)，因?yàn)榇藭r(shí)產(chǎn)品銷售收入尚不足以彌補(bǔ)可變成本的投

入。

所以，完全競爭廠商的短期供給曲線是SMC曲線上等于和高于AVC曲線最低點(diǎn)的

部分。在企業(yè)短期生產(chǎn)中，它即使虧損也將仍然繼續(xù)生產(chǎn)。

2.略

3.解：(1)由于市場需求函數(shù)為QD=70000-5000尸，供給函數(shù)為Qs=40000+2500P,所

以市場均衡價(jià)格應(yīng)滿足QS=QD，從而，均衡價(jià)格為P=4。由于該價(jià)格等于長期平均成

本的最低值，所以該行業(yè)中的企業(yè)獲得零經(jīng)濟(jì)利潤，實(shí)現(xiàn)了長期均衡。

(2)當(dāng)戶=4時(shí)，。后二Qs=0D=5OOOO。又因?yàn)樗袕S商的規(guī)模都相等，都是在產(chǎn)

量達(dá)到500單位時(shí)達(dá)到長期平均成本的最低點(diǎn)4元，所以企業(yè)數(shù)為100o

(3)如果市場需求變化為。=100000-5000尸廁由Qs=Q0,可得均衡價(jià)格為P=8。

此時(shí)，每家企業(yè)的產(chǎn)量為幽^=6000用最優(yōu)企業(yè)規(guī)模生產(chǎn)600單位產(chǎn)量時(shí)，每一個(gè)

100

企業(yè)的短期平均成本為4.5元，所以均衡價(jià)格高于短期平均成本，企業(yè)是盈利的。

4.解：（I）因?yàn)長TC（Q）=Q3_8Q2+30Q,所以LAC（Q）=。一8。+30

由C'絲（迎1一°,得°=4,minLAC=02一80+30=14

a。

即單個(gè)廠商的產(chǎn)量為4,價(jià)格為14o

（2）因?yàn)?870-5P,P=14,所以?？?870—5P=800

所以行業(yè)長期均衡時(shí)的廠商數(shù)目為200個(gè)。

5.解:⑴由廠商的短期成本函數(shù)C=0.1Q3,2Q2+15。+10,可得邊際成本為

MC=0.302—40+15

由于P=55,根據(jù)MC=P,知企業(yè)的短期產(chǎn)量決定方程為

0.302-40-40=0

可得產(chǎn)量Q=20

利潤為萬=77?—TC=20x55—0.1x8000+2x400—15x20-10=790

（2）當(dāng)價(jià)格低于平均可變成本最小值時(shí)，企業(yè)停止生產(chǎn)。

由于廠商的短期成本函數(shù)為C=0」Q3_2Q2+15Q+10,所以總的可變成本為

VC=0.1G3-2Q2+]5Q

平均可變成本為AVC^—=OIQJQZ+ISQ=o[°2_2Q+]5

QQ

對AVC=0.1Q2—2Q+15求Q的偏導(dǎo)，令值為零，得至lj0.2。-2=0

所以0=10,minAVC=0.102—20+15=5

即當(dāng)PV5時(shí)，企業(yè)停止生產(chǎn)。

（3）企業(yè)根據(jù)/1^7=2來決定短期供給，由0.3?！?0+15=P,可得

20+5jl6-L2(15-P)

Q=\3

0P<5

6.解：(I)廠商的短期成本函數(shù)為"(IQ'-修2+302+40

貝1JSMC二生上

d。

即SMC=3Q2—12。+30

又知P=66美元，而利潤極大化的條件為P=SMCO

即66=3Q2_12Q+30

解得：Q=6,Q=-2

顯然，產(chǎn)量不應(yīng)是負(fù)值，故Q=6

因此利潤極大值為：n=TR-TC

=尸。-2-6Q2+30Q+40)

=66x6-(63-6x62+30x6+40)

=176

即利潤極大值為176美元。

(2)由于市場供求發(fā)生變化，新的價(jià)格為尸=30美元。根據(jù)P=MC所決定的均衡產(chǎn)量

計(jì)算利潤為正還是為負(fù)。不論利潤極大還是虧損最小，均衡條件都為P=MC,即30=3Q2

-120+30,.\。=4,Q=0(沒有經(jīng)濟(jì)意義，舍去｝利潤兀=77?-7。=尸0-(。3-602+302

+40)=30x4-⑷-6x4?+30x4+40)=-8

可見，當(dāng)價(jià)格為30元時(shí)，廠商會(huì)發(fā)生虧損，最小虧損額為8美元。

(3)廠商退出行業(yè)的條件是PVAVC的最小值