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北京昌平區(qū)十三陵中學(xué)高二數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60度”時(shí),假設(shè)正確的是(
)A.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都不大于60度B.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60度C.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度D.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度參考答案:B略2.在極坐標(biāo)系中,圓的圓心的極坐標(biāo)是A.
B.
C.
D.參考答案:C3.在同一坐標(biāo)系中,方程的曲線大致是(
)參考答案:D略4.若直線ax+by﹣1=0(a>0,b>0)過(guò)曲線y=1+sinπx(0<x<2)的對(duì)稱中心,則+的最小值為()A.+1 B.4 C.3+2 D.6參考答案:C【考點(diǎn)】7F:基本不等式;HJ:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.【分析】由已知利用對(duì)稱中心的意義可得:當(dāng)x=1時(shí)得到曲線的對(duì)稱中心為(1,1),于是a+b=1.再利用“乘1法”和基本不等式即可得出.【解答】解:∵0<x<2,∴0<πx<2π,∴當(dāng)x=1時(shí),sinπx=0,可得曲線y=1+sinπx(0<x<2)的對(duì)稱中心為(1,1).代入直線ax+bx﹣1=0(a>0,b>0),可得a+b=1.∴+=(a+b)=2+=,當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=時(shí)取等號(hào).∴+的最小值為.故選:C.5.已知三條直線若和是異面直線,和是異面直線,那么直線和的位置關(guān)系是(
)A.平行
B.相交
C.異面
D.平行、相交或異面參考答案:D6.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班,每個(gè)班至少分到一名學(xué)生,且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班,則不同分法的種數(shù)為(
)A.18
B.24
C.30
D.36參考答案:C略7.已知直線:4x-3y+6=0和直線:x=-1,拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線和直線的距離之和的最小值是()A.2
B.3C.
D.參考答案:A8.用三段論推理命題:“任何實(shí)數(shù)的平方大于0,因?yàn)槭菍?shí)數(shù),所以,你認(rèn)為這個(gè)推理(
)A.大前題錯(cuò)誤
B.小前題錯(cuò)誤
C.推理形式錯(cuò)誤
D.是正確的參考答案:C略9.已知,,,,則(
)
(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:D10.若不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是空集,則下列結(jié)論成立的是()A.a(chǎn)>0且b2﹣4ac≤0 B.a(chǎn)<0且b2﹣4ac≤0C.a(chǎn)>0且b2﹣4ac>0 D.a(chǎn)<0且b2﹣4ac>0參考答案: A【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法;空集的定義、性質(zhì)及運(yùn)算.【分析】分兩種情況考慮,當(dāng)a小于0時(shí),根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)得到不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是空集不可能;當(dāng)a大于0時(shí),根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)得到不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是空集即為二次函數(shù)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)或沒(méi)有交點(diǎn),即根的判別式小于等于0,綜上,得到原不等式為空集的條件.【解答】解:當(dāng)a<0時(shí),y=ax2+bx+c為開(kāi)口向下的拋物線,不等式ax2+bx+c<0的解集為空集,顯然不成立;當(dāng)a>0時(shí),y=ax2+bx+c為開(kāi)口向上的拋物線,不等式ax2+bx+c<0的解集為空集,得到△=b2﹣4ac≤0,綜上,不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是空集的條件是:a>0且b2﹣4ac≤0.故選A【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分類討論及函數(shù)的思想解決問(wèn)題的能力,考查學(xué)生掌握空集的意義及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),是一道基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù),且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)取得極大值,在區(qū)間內(nèi)取得極小值,則的取值范圍是
▲
.參考答案:略12.已知集合A={1,2,3,4},集合B={3,4,5},則A∩B=_______.參考答案:{3,4}.【分析】利用交集的概念及運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】,.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算,考查交集的概念與運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.13.在數(shù)列中,,且,則
.參考答案:易知,,,,,所以.14.橢圓的焦點(diǎn)、,點(diǎn)為其上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)∠為鈍角時(shí),點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是
。參考答案:解析:可以證明且而,則即15.雙曲線﹣=1的漸近線方程是.參考答案:y=±x【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成0即得漸近線方程,化簡(jiǎn)即可得到所求.【解答】解:∵雙曲線方程為﹣=1的,則漸近線方程為線﹣=0,即y=±,故答案為y=±.【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成0即得漸近線方程.16.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1,若AB=2,AA1=1,則A到平面A1BC的距離.參考答案:【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算.【分析】要求點(diǎn)A到平面A1BC的距離,可以求三棱錐底面A1BC上的高,由三棱錐的體積相等,容易求得高,即是點(diǎn)到平面的距離.【解答】解:設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離為h,則三棱錐的體積為即
∴∴h=.故答案為:.17.互不重合的三個(gè)平面最多可以把空間分成___________個(gè)部分.參考答案:八
略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分12分)根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)API(為整數(shù))的不同,可將空氣質(zhì)量分級(jí)如下表:API0~5051~100101~150151~200201~250251~300>300級(jí)別ⅠⅡⅢ1Ⅲ2Ⅳ1Ⅳ2Ⅴ狀況優(yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重度污染
對(duì)某城市一年(365天)的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè),獲得的API數(shù)據(jù)按照區(qū)間[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]進(jìn)行分組,得到頻率分布直方圖如圖.
(Ⅰ)求直方圖中的值;(Ⅱ)計(jì)算一年中空氣質(zhì)量分別為良和輕微污染的天數(shù).(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示.已知)參考答案:解:(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖可知,……6分(Ⅱ)空氣質(zhì)量為Y的天數(shù)=(Y對(duì)應(yīng)的頻率÷組距)×組距×365天,所以一年中空氣質(zhì)量為良和輕微污染的天數(shù)分別是(天)和
(天).……12分19.在銳角△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.(Ⅰ)求角A的大?。唬á颍┤鬭=4,b+c=8,求△ABC的面積.參考答案:(Ⅰ);(Ⅱ).(Ⅱ)∵,,∴由余弦定理,8分得,化簡(jiǎn)得,∵,平方得,∴兩式相減,得,可得.11分因此,的面積.
13分考點(diǎn):正弦定理余弦定理與三角形面積公式等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用.20.已知A,B,C是橢圓W:上的三個(gè)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積;(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說(shuō)明理由.參考答案:【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】(I)根據(jù)B的坐標(biāo)為(2,0)且AC是OB的垂直平分線,結(jié)合橢圓方程算出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo),從而得到線段AC的長(zhǎng)等于.再結(jié)合OB的長(zhǎng)為2并利用菱形的面積公式,即可算出此時(shí)菱形OABC的面積;(II)若四邊形OABC為菱形,根據(jù)|OA|=|OC|與橢圓的方程聯(lián)解,算出A、C的橫坐標(biāo)滿足=r2﹣1,從而得到A、C的橫坐標(biāo)相等或互為相反數(shù).再分兩種情況加以討論,即可得到當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),四邊形OABC不可能為菱形.【解答】解:(I)∵四邊形OABC為菱形,B是橢圓的右頂點(diǎn)(2,0)∴直線AC是BO的垂直平分線,可得AC方程為x=1設(shè)A(1,t),得,解之得t=(舍負(fù))∴A的坐標(biāo)為(1,),同理可得C的坐標(biāo)為(1,﹣)因此,|AC|=,可得菱形OABC的面積為S=|AC|?|BO|=;(II)∵四邊形OABC為菱形,∴|OA|=|OC|,設(shè)|OA|=|OC|=r(r>1),得A、C兩點(diǎn)是圓x2+y2=r2與橢圓的公共點(diǎn),解之得=r2﹣1設(shè)A、C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1、x2,可得A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足x1=x2=?,或x1=?且x2=﹣?,①當(dāng)x1=x2=?時(shí),可得若四邊形OABC為菱形,則B點(diǎn)必定是右頂點(diǎn)(2,0);②若x1=?且x2=﹣?,則x1+x2=0,可得AC的中點(diǎn)必定是原點(diǎn)O,因此A、O、C共線,可得不存在滿足條件的菱形OABC綜上所述,可得當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),四邊形OABC不可能為菱形.21.繼共享單車之后,又一種新型的出行方式------“共享汽車”也開(kāi)始亮相南昌市,一款共享汽車在南昌提供的車型是“吉利”.每次租車收費(fèi)按行駛里程加用車時(shí)間,標(biāo)準(zhǔn)是“1元/公里+0.1元/分鐘”,李先生家離上班地點(diǎn)10公里,每次租用共享汽車上、下班,由于堵車因素,每次路上開(kāi)車花費(fèi)的時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量,根據(jù)一段時(shí)間統(tǒng)計(jì)40次路上開(kāi)車花費(fèi)時(shí)間在各時(shí)間段內(nèi)的情況如下:時(shí)間(分鐘)次數(shù)814882
以各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率,假設(shè)每次路上開(kāi)車花費(fèi)的時(shí)間視為用車時(shí)間,范圍為分鐘.(1)若李先生上、下班時(shí)租用一次共享汽車路上開(kāi)車不超過(guò)45分鐘,便是所有可選擇的交通工具中的一次最優(yōu)選擇,設(shè)是4次使用共享汽車中最優(yōu)選擇的次數(shù),求的分布列和期望.(2)若李先生每天上、下班均使用共享汽車,一個(gè)月(以20天計(jì)算)平均用車費(fèi)用大約是多少(同一時(shí)段,用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).參考答案:(1)見(jiàn)解析;(2)542元.試題分析:(1)首先求為最優(yōu)選擇的概率是,故ξ的值可能為0,1,2,3,4,且ξ~B(4,),進(jìn)而求得分布列和期望值;(2)根據(jù)題意得到每次花的平均時(shí)間為35.5,根據(jù)花的費(fèi)用為10+35.5*0.1得到費(fèi)用.解析:(1)李先生一次租用共享汽車,為最優(yōu)選擇的概率依題意ξ的
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