概率與數(shù)理統(tǒng)計第講

概率與數(shù)理統(tǒng)計第講第1頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.4邊緣分布3.4.1邊緣分布函數(shù)

二維隨機向量(X,Y)作為一個整體,有分布函數(shù)F(x,y)，其分量X與Y

都是隨機變量，有各自的分布函數(shù)，分別記成FX(x)和FY(y)，分別稱為X的邊緣分布函數(shù)和Y的邊緣分布函數(shù)；稱F(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)。第2頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞)，F(xiàn)Y(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y).

X與Y的邊緣分布函數(shù)實質(zhì)上就是一維隨機變量X或Y的分布函數(shù)。稱其為邊緣分布函數(shù)的是相對于(X,Y)的聯(lián)合分布而言的。同樣地，(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)是相對于(X,Y)的分量X和Y的分布而言的。注意:

求法第3頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月則X的邊緣概率分布為Y的邊緣概率分布為

設(X,Y)是二維離散型隨機向量，聯(lián)合概率分布為3.4.2二維離散型隨機向量的邊緣分布第4頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月解：例1：求例3.2.1(P59)中(X,Y)的分量X和Y的邊緣分布。第5頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月把這些數(shù)據(jù)補充到前面表上,第6頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月解：例2：

(打開書P59)

求例3.2.2中(X,Y)的分量X和Y的邊緣分布。P{X=0}

=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}=0.00013+0.19987=0.20000,P{X=1}

=P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.00004+0.79996=0.80000,P{Y=0}

=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0}=0.00013+0.00004=0.00017,P{Y=1}

=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=1}=0.19987+0.79996=0.99983.

第7頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月把這些數(shù)據(jù)補充到例3.2.2的表中，得第8頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.2連續(xù)型隨機向量的邊緣概率密度

若(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則X的邊緣概率密度為Y的邊緣概率密度為第9頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例3：若(X,Y)服從矩形區(qū)域a≤x≤b，c≤y≤d上均勻分布，則邊緣概率密度分別為注：本例中X與Y都是服從均勻分布的隨機變量。但對其它非矩形區(qū)域上的均勻分布不一定有上述結(jié)論。第10頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例4：設(X,Y)服從單位圓域x2+y2≤1上的均勻分布。求X和Y的邊緣概率密度。解:當|x|＞1時,第11頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月當-1≤x≤1時,(注意積分限的確定方法)熟練時，被積函數(shù)為零的部分可以不寫。第12頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

由X和Y在問題中地位的對稱性,將上式中的x改為y，得到Y(jié)的邊緣概率密度第13頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例5：設(X,Y)的概率密度為求(1).c的值;(2).邊緣密度。=5c/24=1,c=24/5;解:(1).第14頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月解:(2)注意積分限注意取值范圍第15頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月注意積分限注意取值范圍第16頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月即第17頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例6：設(X,Y)求X和Y

的邊緣概率密度。解：由第18頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

說明

對于確定的

1,

2,

1,

2,當

不同時,對應不同的二維正態(tài)分布。但它們的邊緣分布是相同的，所以在考慮多維隨機向量時，不但要考慮它們的邊緣分布，還要考慮隨機向量各分量之間的關(guān)系。第19頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

X與Y之間的關(guān)系的信息是包含在(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)之內(nèi)的。在下一章將指出：對于二維正態(tài)分布而言，參數(shù)

正好刻畫了X和Y之間關(guān)系的密切程度。因此，僅由X和Y的邊緣概率密度(或邊緣分布)一般不能確定(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)(或概率分布)。第20頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.5條件分布

第一章中，我們介紹了條件概率的概念,在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率將其推廣到隨機變量：

設有兩個隨機變量

X與Y，在給定Y取某個或某些值的條件下，求X的概率分布。這個分布就是條件分布。3.5.1條件分布的概念第21頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

例如：考慮某大學的全體學生，從中隨機抽取一個學生，分別以X和Y表示其體重和身高。則X和Y都是隨機變量，它們都有一定的概率分布。體重X身高Y體重X的分布身高Y的分布第22頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

現(xiàn)在限制180<Y<190(cm)，在這個條件下求X的條件分布，這就意味著要從該校的學生中把身高在180cm和190cm間的那些人都挑出來，然后在挑出來的學生中求其體重的分布。

容易想象：這個分布與不加這個條件時的分布會很不一樣。

例如：在條件分布中體重取大值的概率會顯著地增加。第23頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5.2離散型隨機變量的條件分布

定義1:設(X,Y)是二維離散型隨機向量，對固定的j，若P(Y=yj)>0，則稱為在Y=yj條件下,隨機變量X的條件概率分布。P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…第24頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

條件分布是一種概率分布，具有概率分布的一切性質(zhì)。例如：

i=1,2,…對固定的i，若P(X=xi)>0，則稱P(Y=Yj|X=xi)=，j=1,2,…為在X=xi條件下,隨機變量Y

的條件概率分布。第25頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例1:

求書中p59,例3.2.1中Y的條件分布。解：在例3.4.1中已求出X的邊緣分布(見上表)。在X=0條件下，第26頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月在

X=1

條件下，第27頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月解：例2：求例3.2.2中被調(diào)查者吸煙的條件下得肺癌的概率和不吸煙的條件下得肺癌的概率。第28頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月3.5.3連續(xù)型隨機變量的條件概率密度

設(X,Y)是二維連續(xù)型隨機向量，由于對任意x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，這時要使用極限的方法得到條件概率密度。

給定y，對于任意固定的正數(shù)ε，若概率P(y-ε<Y≤

y+ε)>0，于是，對于任意x，是在條件

y-ε<Y≤

y+ε

之下，X的條件分布。第29頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義2：設X和Y是隨機變量，給定y,若對任意固定正數(shù)ε，P(y-ε<Y≤

y+ε)>0，且對任意實數(shù)x，極限存在，則稱此極限為在條件Y=y下X的條件分布函數(shù)，記成FX|Y(x|y)。若存在fX|Y(x|y),使得則稱

fX|Y(x|y)為在條件Y=y下X的條件概率密度函數(shù)，簡稱條件概率密度。第30頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月同理，當fX(x)>0時，

定理1：設隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，Y的邊緣概率密度為fY(y)。若f(x,y)在點(x,y)處連續(xù),當fY(y)>0時，第31頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：第32頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月求P(X>1|Y=y)。解：P(X>1|Y=y)為此,需求出

例3：設(X,Y)的概率密度是第33頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月由于于是，對y>0,

第34頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月故對y>0,

P(X>1|Y=y)例4：設(X,Y)服從單位圓上均勻分布，即其概率密度為求第35頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月解：

X的邊緣密度為當|x|<1時,有第36頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月即：當|x|<1時,有X作為已知變量X已知下Y的條件密度第37頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月解：概率密度不為零的區(qū)域如右圖所示。例5：設二維隨機向量(X,Y)的概率密度為求條件概率密度和條件概率第38頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月第39頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月當y(0,1]時，fY(y)>0，第40頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月當x(-1,1)時，fX(x)>0，

第42頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月第43頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例6：設店主在每日開門營業(yè)時，放在柜臺上的貨物量為

Y,當日銷售量為

X,假定一天中不再往柜臺上補充貨物,于是X≤Y。根據(jù)歷史資料，(X,Y)的概率密度為求(1).給定Y=y條件下,X的條件概率密度；

(2).給定Y=10條件下,X≤5的概率；

(3).如果Y=20件呢?第44頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月解:

(1).第45頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月y(0,20]時，fY(y)>0，這個結(jié)果表明：當y(0,20]時，X的條件分布是[0,y]上的均勻