概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)節(jié)節(jié)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)節(jié)節(jié)第1頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.1隨機(jī)變量設(shè)

是試驗(yàn)E的樣本空間,若則稱

X(

)為上的隨機(jī)變量r.v.一般用大寫字母X,Y,Z,

或小寫希臘字母,,表示.定義隨機(jī)變量(randomvariable)§2.1按一定法則簡記r.v.X.第2頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)變量是上的映射,此映射具有如下特點(diǎn)

定義域事件域

隨機(jī)性

r.v.

X

的可能取值不止一個,試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值，但不能預(yù)知取哪個值

概率特性

X

以一定的概率取某個值第3頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月引入r.v.后,可用r.v.的等式或不等式表達(dá)隨機(jī)事件,例如——表示“某天9:00~10:00接到電話次數(shù)超過100次”這一事件為事件A

的示性變量

r.v.的函數(shù)一般也是r.v.

可根據(jù)隨機(jī)事件定義r.v.設(shè)

A

為隨機(jī)事件，則稱第4頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

在同一個樣本空間可以同時定義多個

r.v.,例如={兒童的發(fā)育情況}X()—身高,Y()—體重,Z()—頭圍.各r.v.之間可能有一定的關(guān)系,也可能沒有關(guān)系——即相互獨(dú)立第5頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月離散型非離散型r.v.分類其中一種重要的類型為

連續(xù)性r.v.引入r.v.重要意義

任何隨機(jī)現(xiàn)象可被r.v.描述

借助微積分方法將討論進(jìn)行到底第6頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.2離散型隨機(jī)變量及其分布定義

若隨機(jī)變量X

的可能取值是有限個或可列個,則稱X

為離散型隨機(jī)變量描述X的概率特性常用概率分布或分布律XP或離散隨機(jī)變量及分布律即§2.2第7頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月分布律的性質(zhì)

非負(fù)性

歸一性X~或第8頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月解例1設(shè)汽車在開往甲地途中需經(jīng)過4盞信號燈,每盞信號燈獨(dú)立地以概率p允許汽車通過.出發(fā)地甲地首次停下時已通過的信號燈盞數(shù),求X

的概率分布.及P{X<3}.令

X

表示例1

第9頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

一門大炮對目標(biāo)進(jìn)行轟擊,假定此目標(biāo)必須被擊中r

次才能被摧毀.若每次擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),且各次轟擊相互獨(dú)立,一次次地轟擊直到摧毀目標(biāo)為止.求所需轟擊次數(shù)X的概率分布.解P(X=k)=P(前k–1次擊中r–1次，第k

次擊中目標(biāo))例2帕斯卡分布第10頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)

0–1分布是否超標(biāo)等等.

常見離散r.v.的分布凡試驗(yàn)只有兩個結(jié)果,常用0–1分布描述,如產(chǎn)品是否合格、人口性別統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)是否正常、電力消耗X=xk

10Pkp1-p0<p<

1應(yīng)用場合或第11頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)二項(xiàng)分布n

重Bernoulli試驗(yàn)中,X是事件A

在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),P(A)=p,若則稱X服從參數(shù)為n,p

的二項(xiàng)分布，記作0–1分布是n=1的二項(xiàng)分布第12頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月二項(xiàng)分布的取值情況設(shè).039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273?由圖表可見,當(dāng)時，分布取得最大值此時的稱為最可能成功次數(shù)xP?0?1?2?3?4?5?6?7?8第13頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè).01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20??xP?????1?3?5?7?9????0?2?4?6?8?10?20由圖表可見,當(dāng)時，分布取得最大值0.22?第15頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月二項(xiàng)分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)的定義與推導(dǎo)則稱為最可能出現(xiàn)的次數(shù)第17頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)(n+1)p=整數(shù)時,在k=(n+1)p與(n+1)p–1處的概率取得最大值對固定的n、p,P(X=k)的取值呈不對稱分布固定p,隨著

n

的增大，其取值的分布趨于對稱

當(dāng)(n+1)p

整數(shù)時,在k=[(n+1)p]處的概率取得最大值第18頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例4獨(dú)立射擊5000次,命中率為0.001,例4解

(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；(2)命中次數(shù)不少于1次的概率.第19頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)令X表示命中次數(shù),則X~B(5000,0.001)

小概率事件雖不易發(fā)生，但重復(fù)次數(shù)多了，就成大概率事件.本例啟示第20頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可見日常生活中“提高警惕,防火由于時間無限,自然界發(fā)生地震、海嘯、空難、泥石流等都是必然的，早晚的同樣,人生中發(fā)生車禍、失戀、患絕癥、考試不及格、炒股大虧損等都是正?，F(xiàn)象,大可不必怨天尤人.防盜”的重要性.事，不用奇怪，不用驚慌.啟示第21頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月,則對固定的

k設(shè)Possion定理Poisson定理說明若X~B(n,p),則當(dāng)n

較大，p

較小,而適中,則可以用近似公式問題如何計(jì)算？

第22頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月證

記第23頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月類似地,從裝有

a

個白球，b

個紅球的袋中不放回地任取n個球,其中恰有k

個白球的概率為當(dāng)時，對每個n有結(jié)論超幾何分布的極限分布是二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的極限分布是Poisson分布第24頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月解令X表示命中次數(shù),則令此結(jié)果也可直接查P.378附表2泊松

分布表得到，它與用二項(xiàng)分布算得的結(jié)果

0.9934僅相差萬分之一.利用Poisson定理再求例4

(2)X~B(5000,0.001)第25頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例5

某廠產(chǎn)品不合格率為0.03,現(xiàn)將產(chǎn)品裝箱,若要以不小于90%的概率保證每箱中至少有100個合格品,則每箱至少應(yīng)裝解

設(shè)每箱至少應(yīng)裝100+n個,每箱的不合格品個數(shù)為X,則X~B(100+n,0.03)由題意

3(100+n)0.03=3+0.03n取=3多少個產(chǎn)品？例5第26頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月查Poisson分布表,=3得n+1=6,n=5故每箱至少應(yīng)裝105個產(chǎn)品,才能符合要求.應(yīng)用Poisson定理第27頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月在實(shí)際計(jì)算中,當(dāng)n

20,p0.05時,可用上述公式近似計(jì)算;而當(dāng)n

100,np10時,精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015

按二項(xiàng)分布

按Possion公式

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=1第28頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月在Poisson定理中，由此產(chǎn)生了一種離散型隨機(jī)變量的概率分布—Poisson分布第29頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)Poisson分布若其中是常數(shù)，則稱

X服從參數(shù)為的Poisson分布.或記作第30頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月在某個時段內(nèi)：大賣場的顧客數(shù)；某地區(qū)撥錯號的電話呼喚次數(shù)；市級醫(yī)院急診病人數(shù)；某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).①②③④⑤一個容器中的細(xì)菌數(shù)；一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)；一匹布上的疵點(diǎn)個數(shù)；⑥⑦⑧應(yīng)用場合放射性物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)；第31頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月都可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流,若它們滿足一定的條件,則稱為Poisson流,在長為

t

的時間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)Xt~P(t)第32頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例6設(shè)一只昆蟲所生蟲卵數(shù)為隨機(jī)變量

X,例6設(shè)各個蟲卵是否能發(fā)育成幼蟲是相互獨(dú)立的.已知X~P(

)，且每個蟲卵發(fā)育成幼蟲的概率為p.求一昆蟲所生的蟲卵發(fā)育成幼蟲數(shù)Y

的概率分布.第33頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月解昆蟲X

個蟲卵Y個幼蟲已知由全概率公式第34頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月故第35頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月每周一題4(1)自動生產(chǎn)線調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p,當(dāng)生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即重新進(jìn)行調(diào)整,求在兩次調(diào)整之間的合格產(chǎn)品數(shù)的分布.

問題第4周第36頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月4(2)已知運(yùn)載火箭在飛行中進(jìn)入其儀器艙的宇宙粒子數(shù)服從參數(shù)為2的泊松分布.而進(jìn)入儀器艙的粒子隨機(jī)落到儀器重要部位的概率為0.1,求落到儀器重要部位的粒子數(shù)的概率分布.第四周問題第37頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

BlaisePascal