2022-2023學(xué)年陜西省榆林市高二下期末數(shù)學(xué)試卷理科含解析

第第頁(yè)2022-2023學(xué)年陜西省榆林市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（含解析）2022-2023學(xué)年陜西省榆林市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合，，則()

A.B.C.D.

2.已知向量，若與共線，則實(shí)數(shù)的值為()

A.B.C.D.

3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則()

A.B.C.D.

4.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()

A.B.C.D.

5.某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類(lèi)知識(shí)為了解講座效果，隨機(jī)抽取位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類(lèi)知識(shí)問(wèn)卷，這位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如圖：則()

A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于

B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于

C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的方差小于講座后正確率的方差

D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

6.在區(qū)間上隨機(jī)抽取一個(gè)實(shí)數(shù)，則滿(mǎn)足的概率為()

A.B.C.D.

7.設(shè)、是兩條直線，、是兩個(gè)平面，若，，，則下列說(shuō)法一定正確的是()

A.B.

C.、是兩條異面直線D.

8.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則()

A.B.C.D.

9.已知，為雙曲線上兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為()

A.B.C.D.

10.從名男醫(yī)生、名女醫(yī)生中選名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有()

A.種B.種C.種D.種

11.將邊長(zhǎng)為，的菱形沿對(duì)角線折成直二面角，得到四面體，則四面體的外接球的表面積為()

A.B.C.D.

12.若函數(shù)存在最小值，且其最小值記為，則的最大值是()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為_(kāi)_____．

14.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若到直線的距離為，則______．

15.函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，滿(mǎn)足，若時(shí)，，則______．

16.我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就出現(xiàn)了類(lèi)似于砝碼的用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”已知枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量單位：銖從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，該數(shù)列的前項(xiàng)成等差數(shù)列，后項(xiàng)成等比數(shù)列，且，，，則______．

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.本小題分

在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，滿(mǎn)足．

求；

若，，求的面積．

18.本小題分

某學(xué)校組織學(xué)生參加“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，為了解該校學(xué)生在知識(shí)競(jìng)賽中的情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示將分?jǐn)?shù)不低于分的學(xué)生稱(chēng)為“高分選手”．

求頻率分布直方圖中的值；

現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從分?jǐn)?shù)落在、內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人，記被抽取的名學(xué)生中屬于“高分選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．

19.本小題分

如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，分別是，的中點(diǎn)．

求證：；

若，求平面與平面所成角的余弦值．

20.本小題分

已知橢圓的焦距為，離心率為．

求橢圓的方程；

若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．

21.本小題分

已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，

求實(shí)數(shù)的取值范圍；

若函數(shù)，求證：在上單調(diào)遞減；

證明：．

22.本小題分

平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是．

求曲線的極坐標(biāo)方程；

設(shè)射線與曲線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求的值．

23.本小題分

設(shè)函數(shù)．

求不等式的解集；

若，，求證：．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由集合，

根據(jù)集合交集的概念及運(yùn)算，可得．

故選：．

先求得集合，根據(jù)集合交集的概念及運(yùn)算，即可求解．

本題考查集合的運(yùn)算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：因?yàn)榕c共線，

所以，

所以．

故選：．

根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示列方程求的值．

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，可得，

所以．

故選：．

根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，結(jié)合，即可求解．

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：對(duì)于，令，

可得，

所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，不符合題意；

對(duì)于，函數(shù)，所以函數(shù)為偶函數(shù)，

所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不符合題意；

對(duì)于中，函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在單調(diào)遞減，不符合題意；

對(duì)于中，根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得在單調(diào)遞增，符合題意．

故選：．

根據(jù)初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解．

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．

5.【答案】

【解析】解：講座前中位數(shù)為，所以錯(cuò)；

講座后問(wèn)卷答題的正確率只有一個(gè)是，個(gè)，剩下全部大于等于，所以講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于，所以對(duì)；

講座前問(wèn)卷答題的正確率更加分散，所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的方差大于講座后正確率的方差，所以錯(cuò)；

講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為，

講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為，所以錯(cuò)．

故選：．

由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解．

本題主要考查了統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用，考查了平均數(shù)、中位數(shù)、方差和極差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：由，解得，

則在區(qū)間上隨機(jī)抽取一個(gè)實(shí)數(shù)，則滿(mǎn)足的概率為．

故選：．

解不等式得到，從而根據(jù)長(zhǎng)度比求出幾何概型的概率．

本題主要考查了幾何概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：，，且，

根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，可得，

故選：．

根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，可得結(jié)論．

本題考查面面平行的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：由函數(shù)的圖像，可得，

可得，所以，

又由，可得，

解得，因?yàn)椋?，所以?/p>

則．

故選：．

根據(jù)函數(shù)的圖像，求得函數(shù)的解析式為，進(jìn)而求得的值．

本題主要考查根據(jù)函數(shù)的部分圖像求函數(shù)的解析式，正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

9.【答案】

【解析】解：設(shè)，，

則有，，

兩式相減得到，

又線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以，得到，

所以的斜率為．

故選：．

設(shè)出，，利用點(diǎn)差法即可求出結(jié)果．

本題考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：從名醫(yī)生中選取名醫(yī)生有種方法，選取的醫(yī)生全是男醫(yī)生的有種方法，全是女醫(yī)生的有種方法，

所以不同的組隊(duì)方案共有種．

故選：．

根據(jù)給定條件，利用組合應(yīng)用問(wèn)題結(jié)合排除法列式計(jì)算作答．

本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：如圖所示，

因?yàn)檫呴L(zhǎng)為，的菱形，

可得和均為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，沿對(duì)角線折成直二面角，

取的中點(diǎn)為，分別連接，，則且，

所以為二面角的平面角，所以，

取等邊和的中心分別為，，

設(shè)三棱錐的外接球的球心為，連接，，

根據(jù)球的截面圓的性質(zhì)，可得平面，且平面，

因?yàn)榈冗吅?，且邊長(zhǎng)為，可得，

且，，

在直角中，，

即外接球的半徑為，

所以四面體的外接球的表面積為．

故選：．

取的中點(diǎn)為，連接，，得到，取等邊和的中心分別為，，得到平面，且平面，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，利用求得截面圓的性質(zhì)，求得，結(jié)合球的表面積公式，即可求解．

本題主要考查球的表面積的求解，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋缘亩x域?yàn)?，?/p>

當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞增，不滿(mǎn)足題意；

當(dāng)時(shí)，令得，此時(shí)單調(diào)遞減，

令得，此時(shí)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，

，

令得，此時(shí)單調(diào)遞增，令得，此時(shí)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即．

故選：．

先利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定，然后再利用導(dǎo)數(shù)確定的最大值．

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：由復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為．

故答案為：．

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的定義，即可求解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：由拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，

因?yàn)辄c(diǎn)在上，且到直線的距離為，

可得到直線的距離為，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，

根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，

所以．

故答案為：．

根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，結(jié)合拋物線的定義，即可求解．

本題考查了拋物線的性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題．

15.【答案】

【解析】解：因?yàn)?，且是定義在上的偶函數(shù)，

所以，

令，則，

所以，即，

所以函數(shù)的周期為，

又因?yàn)闀r(shí)，，

所以．

故答案為：．

根據(jù)，結(jié)合是定義在上的偶函數(shù)，可得函數(shù)的周期為，然后由求解．

本題主要考查函數(shù)奇偶性與周期性的綜合，函數(shù)的求值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

16.【答案】

【解析】解：設(shè)前項(xiàng)的公差為，后項(xiàng)公比為，

則，且，可得，

則，即，可得，

所以．

故答案為：．

設(shè)前項(xiàng)的公差為，后項(xiàng)公比為，由求出，即可得解．

本題考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題．

17.【答案】解：，

，

又，，

，

；

由可知，

根據(jù)余弦定理，即，

即，即，

又，則，即，

的面積．

【解析】根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，即可得答案；

利用余弦定理可推出，利用三角形面積公式即可求得答案．

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

18.【答案】解：根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，

解得．

由題意，從中抽取人，從中抽取人，

隨機(jī)變量的所有可能取值為，，，，

可得，，

，，

所以隨機(jī)變量的分布列為：

所以期望為．

【解析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，即可求解；

根據(jù)題意，得到的所有可能取值，，，，利用超幾何分布的概率公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解．

本題主要考查頻率分布直方圖，離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

19.【答案】解：證明：因?yàn)槠矫?，平面?/p>

所以，

因?yàn)榈酌鏋檎叫危?/p>

所以，

又，且平面，平面，

所以平面，

又平面，

所以．

由可知，、、兩兩垂直，

以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

又，分別是，的中點(diǎn)，

，．

，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

取，則，．

平面的一個(gè)法向量為，

易知平面的一個(gè)法向量為，

．

平面與平面所成角的余弦值為．

【解析】先證明，，由線面垂直的判定定理證明平面，再證明；

由可知，、、兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，分別求出平面和平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式，求出法向量夾角，進(jìn)而求解．

本題考查空間中垂直關(guān)系的證明，考查利用空間向量求解二面角的余弦值，考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題．

20.【答案】解：由橢圓的焦距為，離心率為，

可得，解得，，

所以橢圓的方程為．

聯(lián)立方程組，整理得，

由，

解得．

設(shè)，，

則，

所以，

因?yàn)椋?/p>

所以，

解得，

即實(shí)數(shù)的值為．

【解析】根據(jù)題意，列出關(guān)于，的方程組，求得，的值，即可求解；

聯(lián)立方程組，根據(jù)，求得，且，得到，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，列出方程，即可求解．

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與橢圓的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

21.【答案】解：由題意得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，

．

又當(dāng)時(shí)，，可取到負(fù)的無(wú)窮小值；

當(dāng)時(shí)，，也可取到負(fù)的無(wú)窮小值；

函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，即．

實(shí)數(shù)的取值范圍為．

證明：，，

，令，，

，

又時(shí)，有，，

，在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞增，從而，

在上單調(diào)遞減．

證明：由知，，

要證，只需證，

在上單調(diào)遞減，

只需證

，

只需證，其中，

只需證，其中，

由知，當(dāng)時(shí)，，

．

．

【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)列出不等式，求得答案；

寫(xiě)出，，利用其導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性即可；

采用逆推分析的方法，將證明成立，轉(zhuǎn)化為證明成立，繼而根據(jù)在上單調(diào)遞減，需證，結(jié)合的結(jié)論，即可證明．

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．

22.【答案】解：由曲線的參數(shù)方程為參數(shù)，

消去參數(shù)可得，即，

根據(jù)

可得曲線的極坐標(biāo)方程為．

設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，

將代入曲線的極坐標(biāo)方程可得，

又，解得．

將代入直線的極坐標(biāo)方程可得，解得，

．

【解析】將曲線的參數(shù)方程化為普通方