2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第六章數(shù)列第一講數(shù)列的概念與簡單表示法課件理

第六章

數(shù)列第一講

數(shù)列的概念與簡單表示法要點提煉名稱概念數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù).數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù).數(shù)列的通項數(shù)列{an}的第n項an.通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的關(guān)系能用一個式子an=f(n)(n∈N*)表示,這個式子叫作這個數(shù)列的通項公式.遞推公式如果已知數(shù)列{an}的第一項(或前幾項),且任一項an(n≥2)與它的前一項an-1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式子就叫作數(shù)列{an}的遞推公式.考點1數(shù)列的有關(guān)概念注意

(1)并不是所有的數(shù)列都有通項公式;(2)同一個數(shù)列的通項公式在形式上未必唯一;(3)對于一個數(shù)列,如果只知道它的前幾項,而沒有指出它的變化規(guī)律,是不能確定這個數(shù)列的;(4){an}與an是不一樣的,{an}表示數(shù)列a1,a2,…,an,…,是數(shù)列的一種簡記形式;而an只表示數(shù)列{an}的第n項.考點1數(shù)列的有關(guān)概念辨析比較

通項公式和遞推公式的異同點考點1數(shù)列的有關(guān)概念

不同點相同點通項公式可根據(jù)某項的序號n的值,直接代入求出an.都可確定一個數(shù)列,也都可求出數(shù)列的任意一項.遞推公式可根據(jù)第一項(或前幾項)的值,通過一次(或多次)賦值,逐項求出數(shù)列的項,直至求出所需的an.也可通過變形轉(zhuǎn)化,直接求出an.1.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列可以看成一類特殊的函數(shù)an=f(n),它的定義域是正整數(shù)集N*或正整數(shù)集N*的有限子集{1,2,3,4,…,n},所以它的圖象是一系列孤立的點,而不是連續(xù)的曲線.2.數(shù)列的性質(zhì)(1)單調(diào)性——若an+1

an,則{an}為遞增數(shù)列;若an+1

an,則{an}為遞減數(shù)列.否則為擺動數(shù)列或常數(shù)列(an+1=an).(2)周期性——若an+k=an(k為非零常數(shù)),則{an}為周期數(shù)列,k為{an}的一個周期.考點2數(shù)列的函數(shù)特性><

考點3數(shù)列的前n項和Sn與通項an的關(guān)系S1Sn-Sn-1

??√?

an=(-1)n+1(n2+1)考向掃描1.典例

(1)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.則an=

.

(2)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=2an+1,a1=1,則an=

.

考向1利用an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項公式

考向1利用an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項公式

考向1利用an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項公式

考向1利用an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項公式2.由f(Sn,an)=0求an的解題思路如果已知f(Sn,an)=0,那么我們可以利用an=Sn-Sn-1(n≥2)將f(Sn,an)=0向兩個方向轉(zhuǎn)化:一是消去an,轉(zhuǎn)化為只含Sn,Sn-1的式子,求出Sn后,再利用an與Sn的關(guān)系求通項an;二是利用公式Sn-Sn-1=an(n≥2)消去Sn,轉(zhuǎn)化為只含an,an-1的式子,再求解.考向1利用an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項公式2.

變式

[2018全國卷Ⅰ][理]記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.若Sn=2an+1,則S6=

.

考向1利用an與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項公式-63角度1形如an+1-an=f(n)3.

典例

[2021湖北三校5月聯(lián)考]已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).(1)證明:數(shù)列{an+1-an}是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列{an}的通項公式.考向2已知遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式

考向2已知遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式

考向2已知遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式

考向2已知遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式角度3形如an+1=pan+q(p≠0且p≠1,q≠0)5.

典例

[2021江西九江5月模擬]在數(shù)列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,則an=

.

解析(構(gòu)造法)由an+1=3an-4,可得an+1-2=3(an-2),又a1=5,所以{an-2}是以a1-2=3為首項,3為公比的等比數(shù)列,所以an-2=3n,所以an=3n+2.考向2已知遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式3n+2

考向2已知遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式C方法技巧

由遞推公式求通項公式的方法考向2已知遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式方法適用類型要點累加法an+1-an=f(n).利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)(n≥2)求解.累乘法構(gòu)造法an+1=pan+q(p≠0且p≠1,q≠0).變形為an+1+t=p(an+t)(可用待定系數(shù)法求t),可得以p為公比的等比數(shù)列{an+t}的通項公式,進而可求an.說明若p=1,則數(shù)列{an}為等差數(shù)列;若q=0,則數(shù)列{an}為等比數(shù)列.取倒數(shù)法取對數(shù)法將等式兩邊同時取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為bn+1=rbn+t型,再利用構(gòu)造法求解.

考向2已知遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式

考向2已知遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式(n+1)·2n-2

考向2已知遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式

考向2已知遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式

考向2已知遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式

考向3數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用

2

考向3數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用

考向3數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用

考向3數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用

考向3數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用方法技巧1.解決數(shù)列單調(diào)性問題的3種常用方法考向3數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用作差比較法an+1-an>0?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;an+1-an<0?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;an+1-an=0?數(shù)列{an}是常數(shù)列.作商比較法數(shù)形結(jié)合法利用數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)的圖象直觀判斷.注意“函數(shù)”的自變量為正整數(shù).

考向3數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用10.

變式

(1)[2021濟南重點中學(xué)5月聯(lián)考]已知遞增數(shù)列{an}的通項an=n2-kn(n∈N*),則實數(shù)k的取值范圍是(

)A.(-∞,2] B.(-∞,3) C.(-∞,2) D.(-∞,3](2)[2021貴陽市第二次適應(yīng)性考試]對于函數(shù)y=f(x),部分x與y的對應(yīng)關(guān)系如下表:數(shù)列{xn}滿足:x1=1,且對于任意n∈N*,點(xn,xn+1)都在函數(shù)y=f(x)的圖象上,則x1+x2+…+x2021=(

)A.7576 B.7575 C.7569 D.7564考向3數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用x…123456789…y…375961824…BA解析(1)因為數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,所以an<an+1對任意n∈N*都成立,即n2-kn<(n+1)2-k(n+1),即k<2n+1對任意n∈N*恒成立,因此k<3.故選B.(2)由題意可知x1=1,x2=f(x1)=f(1)=3,x3=f(x2)=f(3)=5,x4=f(x3)=f(5)=6,x5=f(x4)=f(6)=1,所以數(shù)列{xn}滿足x4k-3=1,x4k-2=3,x4k-1=5,x4k=6,k∈N*,則x1+x2+…+x2021=505×(1+3+5+6)+1=7576.故選A.考向3數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用攻堅克難對于一個函數(shù)f(x)