2021年高考真題-數(shù)學(xué)（天津卷）

2021年高考真題——數(shù)學(xué)（天津卷）1.設(shè)集合，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：交集并集答案：C解析：，

，

故選C.2.已知，則“”是“”的（

）A.

充分不必要條件

B.

必要不充分條件C.

充要條件

D.

既不允分也不必要條件知識點(diǎn)：充分不必要條件答案：A解析：由題意，若

，則

，故充分性成立；

若

，則

或

，推不出，故必要性不成立；

所以“”是“”的充分不必要條件

故選A.3.函數(shù)的圖象大致為（

）A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：函數(shù)奇、偶性的圖象特征函數(shù)圖象的識別答案：B解析：設(shè)

，則函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

，關(guān)于原點(diǎn)對稱，

又

，所以函數(shù)

為偶函數(shù)，排除AC；

當(dāng)時(shí)，，所以

，排除D

故選B.4.從某網(wǎng)格平臺推薦的影視作品中抽取部，統(tǒng)計(jì)其評分分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得個(gè)評分?jǐn)?shù)據(jù)分為

組：、、、，并整理得到如下的費(fèi)率分布直方圖，則評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量是（

）

A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：頻率分布表與頻率分布直方圖答案：D解析：由頻率分布直方圖可知，評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量為

故選D.5.設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：冪指對綜合比較大小答案：D解析：，，

，，

，，

故選D.6.兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為

則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（

）A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：與球有關(guān)的切、接問題球的體積圓柱、圓錐、圓臺的體積答案：B解析：如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)，

設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，

設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，

所以，，，

，則，所以，，

又因?yàn)?，所以，?/p>

所以，，，

因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為

故選B.7.若，則（

）A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對數(shù)的換底公式及其推論答案：C解析：

，

，

故選C.8.已知雙曲線

的右焦點(diǎn)與拋物線

的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于

，

兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于

、

兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（

）A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：雙曲線的離心率雙曲線的漸近線拋物線的定義答案：A解析：設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)為，

則拋物線

的準(zhǔn)線為

令

，則，解得，所以,

又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，

所以，即，所以，

所以雙曲線的離心率

故選A.9.設(shè)，函數(shù)若在區(qū)間內(nèi)恰有

個(gè)零點(diǎn)，則

的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.

知識點(diǎn)：余弦（型）函數(shù)的零點(diǎn)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍二次函數(shù)的圖象分析與判斷答案：A解析：最多有

個(gè)根，所以

至少有

個(gè)根，

由

可得

，

由

可得

，

（）時(shí)，當(dāng)時(shí)，有

個(gè)零點(diǎn)，即；

當(dāng)

，有

個(gè)零點(diǎn)，即；

當(dāng)

，有

個(gè)零點(diǎn)，即；

（）當(dāng)時(shí)，，

，

當(dāng)時(shí)，，無零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，有

個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，令，則，此時(shí)有

個(gè)零點(diǎn)；

所以若時(shí)，有

個(gè)零點(diǎn)

綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有

個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)滿足

或或，

則可得的取值范圍是總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是分成和兩種情況分別討論兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況10.

是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)

?．知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的除法答案：解析：

故答案為.11.在的展開式中，的系數(shù)是

?．知識點(diǎn)：展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)二項(xiàng)式定理的應(yīng)用答案：解析：的展開式的通項(xiàng)為，

令，解得

，

所以的系數(shù)是

故答案為.12.若斜率為

的直線與

軸交于點(diǎn)

，與圓

相切于點(diǎn)，則

?．知識點(diǎn)：直線和圓相切答案：解析：設(shè)直線

的方程為

，則點(diǎn)

，

由于直線

與圓

相切，且圓心為

，半徑為，

則

，解得

或

，所以，

因?yàn)?，?/p>

故答案為.13.若，則

的最小值為

?．知識點(diǎn)：基本不等式的綜合應(yīng)用基本不等式：時(shí)等號成立利用基本不等式求最值答案：解析：，

，

當(dāng)且僅當(dāng)且

，即

時(shí)等號成立，

所以

的最小值為

故答案為.14.甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語，若一方猜對且另一方猜錯(cuò)，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對的概率分別為

和

，且每次活動(dòng)中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為

?，次活動(dòng)中，甲至少獲勝次的概率為

?．知識點(diǎn)：二項(xiàng)分布與n重伯努利試驗(yàn)相互獨(dú)立事件的概念相互獨(dú)立事件的概率事件的交（積)與事件的并(和）事件的混合運(yùn)算答案：

；解析：由題可得一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為；

則在次活動(dòng)中，甲至少獲勝

次的概率為

故答案為；.15.在邊長為

的等邊三角形中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，

且交

于點(diǎn)．且交于點(diǎn)，則的值為

?；的最小值為

?．知識點(diǎn)：向量的模數(shù)量積的性質(zhì)向量的數(shù)量積的定義答案：；解析：設(shè)，，為邊長為

的等邊三角形，，

，

，為邊長為的等邊三角形，，

，

，

，

所以當(dāng)時(shí)，

的最小值為

故答案為；

16.在

，角

所對的邊分別為

，已知

，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．知識點(diǎn)：余弦定理及其應(yīng)用正弦定理及其應(yīng)用兩角和與差的正弦公式二倍角的正弦、余弦、正切公式同角三角函數(shù)的平方關(guān)系答案：(1)因?yàn)?，由正弦定理可?/p>

，

，；(2)由余弦定理可得；(3)，，

，

所以.解析：(1)由正弦定理可得，即可求出；(2)由余弦定理即可計(jì)算；(3)利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出17.如圖，在棱長為

的正方體

中，

為棱

的中點(diǎn)，

為棱

的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．(3)求二面角的正弦值．知識點(diǎn)：用空間向量研究直線與平面所成的角用空間向量研究空間中直線、平面的平行用空間向量研究兩個(gè)平面所成的角答案：(1)以為原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，

因?yàn)?/p>

為棱

的中點(diǎn)，

為棱

的中點(diǎn)，所以

，，

所以，，,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，令，則，

因?yàn)?，所?/p>

因?yàn)槠矫?，所以平面?2)由（）得，，

設(shè)直線與平面所成角為，

則；(3)由正方體的特征可得，平面的一個(gè)法向量為，

則，

所以二面角

的正弦值為?

解析：(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出及平面的一個(gè)法向量，證明，即可得證；(2)求出，由?運(yùn)算即可得解；(3)求得平面的一個(gè)法向量，由結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得解18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為

上頂點(diǎn)為

，離心率為

，且(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓有唯一的公共點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn)，過與垂直的直線交軸于點(diǎn)．若，求直線的方程．知識點(diǎn)：兩點(diǎn)間的斜率公式橢圓的離心率橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的定義橢圓的頂點(diǎn)、長軸、短軸、焦點(diǎn)、焦距直線與圓錐曲線的其他應(yīng)用兩條直線平行直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)答案：(1)易知點(diǎn)

、，故

，

因?yàn)闄E圓的離心率為

，故

，，

因此，橢圓的方程為

；(2)設(shè)點(diǎn)

為橢圓上一點(diǎn)，

先證明直線

的方程為

，

聯(lián)立

消去

并整理得，，

因此，橢圓

在點(diǎn)

處的切線方程為

在直線

的方程中，令，可得

，由題意可知

，即點(diǎn)，

直線

的斜率為，所以，直線的方程為，

在直線的方程中，令

，可得

，即點(diǎn)，

因?yàn)?，則，即，整理可得，

所以，，因?yàn)?，?/p>

故，，

所以，直線

的方程為，即解析：(1)求出

的值，結(jié)合

的值可得出

的值，進(jìn)而可得出橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)

，分析出直線

的方程為，求出點(diǎn)

的坐標(biāo)，根據(jù)

可得出，求出、的值，即可得出直線

的方程總結(jié)：(2)在利用橢圓的切線方程時(shí)，一般利用以下方法進(jìn)行：

（）設(shè)切線方程與橢圓方程聯(lián)立，由判別式為進(jìn)行求解；

（）橢圓在其上一點(diǎn)

的切線方程為

，再應(yīng)用此方程時(shí)，首先應(yīng)證明直線與橢圓相切.19.已知是公差為

的等差數(shù)列，其前

項(xiàng)和為

．是公比大于

的等比數(shù)列，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)記，①證明是等比數(shù)列；②證明知識點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列的定義與證明等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用數(shù)列與不等式的綜合問題答案：(1)因?yàn)槭枪顬?/p>

的等差數(shù)列，其前

項(xiàng)和為

．

所以，所以，

所以

設(shè)等比數(shù)列

的公比為

，

所以，解得（負(fù)值舍去），

所以；(2)①由題意，，

所以

所以，且，

所以數(shù)列是等比數(shù)列；②由題意知，，

所以，

所以，

設(shè)

則，

兩式相減得，

所以，

所以解析：(1)由等差數(shù)列的求和公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)公式；(2)①運(yùn)算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；②放縮得，進(jìn)而可得，結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得證總結(jié)：②最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因?yàn)闊o法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號，再由錯(cuò)位相減法即可得證.20.已知

，函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明存在唯一的極值點(diǎn)；(3)若存在，使得對任意成立，求實(shí)數(shù)

的取值范圍．知識點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程（斜率）導(dǎo)數(shù)與極值利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)中的恒成立問題答案：(1)，則，

又，則切線方程為；(2)令，則，

令，則

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫出大致圖象如下：

所以當(dāng)時(shí)，

與

僅有一個(gè)交點(diǎn)，令

，則

，且

，

當(dāng)

時(shí)，，則，單調(diào)遞增，

當(dāng)

時(shí)，，則，單調(diào)遞減，

為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；(3)由（）知，此時(shí)，

所以，

令，

若存在，使得對任意成立，等價(jià)