教師資格證考試：2018下高中數(shù)學真題

教師資格證考試：2018下高中數(shù)學真題2018年下半年高中數(shù)學教師資格證考試真題及解析一、單選題1.與向量a（2,3,1）平行的平面是（）A.x-2y+z=3B.2x+y+3z=3C.2x+3y+z=3D.x-y+z=32.lim（1-cosx）/（x^2）的值是（）A.0B.1/2C.1D.∞3.函數(shù)f（x）在[a，b]上黎曼可積的必要條件是f（x）在[a，b]上（）A.可微B.連續(xù)C.不連續(xù)點個數(shù)有限D.有界4.定積分∫(-a,a)(1-|x|)/adx（a＞0）的值是（）A.πab/2B.πabC.πab/3D.πab/45.與向量α（1,0,1），β（1,1,0）線性無關的向量是（）A.（2,1,1）B.（3,2,1）C.（1,2,1）D.（3,1,2）6.設f(x)=acosx+bsinx是R到R的函數(shù)，V={f(x)|f(x)=acosx+bsinx,a,b∈R}是線性空間，則V的維數(shù)是（）A.1B.2C.3D.∞7.在下列描述課程目標的行為動詞中，要求最高的是（）A.了解B.知道C.掌握D.應用8.命題p的逆命題和命題p的否命題的關系是（）A.同真同假B.同真不同假C.同假不同真D.不確定二、簡答題9.求函數(shù)f（x）=3cosx+4sinx的一階導數(shù)為0的點。10.設D={(x,y)|xy=1}，若y'表示y在D作用下的象，則yy'/(5-2y')^2滿足的方程是什么？11.設f（x）是[0，1]上的可導函數(shù)，且f'(x)有界。證明：存在M＞0，使得對于任意的x1，x2∈[0,1]，有f(x1)-f(x2)≤M|x1-x2|。12.簡述日常數(shù)學教學中對學生進行學習評價的目的。13.給出基本不等式ab≤(a^2+b^2)/2的幾何解釋，并說明幾何解釋對學生數(shù)學學習的作用。三、解答題14.設函數(shù)f(x)={0,x<0;x,0≤x≤1;2-x,1<x≤2;0,x>2}，求f(x)的反函數(shù)f^-1(x)。15.設隨機變量ξ服從[0,1]上的均勻分布，即P{ξ∈[0,x]}=x，0≤x≤1。求P{ξ^2∈[0,x]}。四、論述題16.論述數(shù)學教學中使用信息技術的作用，并闡述使用信息技術與其他教學手段的關系。五、案例分析題暫無。2.【思考2】旨在引導讀者思考數(shù)學教材中的問題不僅僅是為了解決問題本身，更重要的是培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和解決問題的能力。通過這個欄目，教材作者希望學生們能夠更深入地理解數(shù)學知識，掌握數(shù)學方法，提高數(shù)學思維水平。3.高中數(shù)學課程中，集合的地位和作用非常重要。集合是數(shù)學的基礎概念之一，是許多數(shù)學分支的基礎。在高中數(shù)學中，集合論是數(shù)學的基礎課程之一，它不僅是其他數(shù)學分支的基礎，還是高中數(shù)學知識體系的重要組成部分。通過學習集合論，學生們可以更好地理解和掌握其他數(shù)學知識，如函數(shù)、關系、數(shù)列等。同時，集合論也是培養(yǎng)學生邏輯思維和證明能力的重要手段。6.（1）設計一個探索該定理的活動成問題情境：假設學生們在一張平面紙上畫了兩條相交的直線，然后用剪刀將其中一條直線剪下來，再將它沿著直線的中垂線翻轉，使得直線的一端與原來的直線相接。學生們需要探究這個操作后，這條直線與平面是否垂直，并給出證明。設計意圖是通過實際操作，引導學生們發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理，并培養(yǎng)他們的探究精神和證明能力。（2）設計一個習題：在平面直角坐標系中，已知直線L1與x軸交于點A，斜率為k1，直線L2與y軸交于點B，斜率為k2，且L1與L2垂直。請證明：直線L1與平面內的所有點的連線都與直線L2平行。設計意圖是讓學生們通過運用直線與平面垂直的判定定理，進一步鞏固和應用該定理，提高他們的證明能力和應用能力。（3）設計一個習題：在空間直角坐標系中，已知點A（1，2，3）、點B（4，5，6）和點C（7，8，9）。請證明：向量AB與向量AC垂直。設計意圖是讓學生們通過應用直線與平面垂直的判定定理，進一步鞏固和應用該定理，提高他們的應用能力。9.【解析】根據(jù)題意，求f(x)的導數(shù)f'(x)，其中f'(x)=-3sinx+4cosx。令f'(x)=0，則有f'(x)=-3sinx+4cosx=0，因此3sinx=4cosx，tanx=kπ+arctan(k/3)（k∈Z）。10.【解析】已知式子為(2x+y)/(5x+2y)=x'/y'，且xy=1，因此可得到以下方程組：x=y'-2x'，y=5x'-2y'，化簡后得到(y'-2x')(5x'-2y')=1。11.【解析】證明：不妨設x1<x2，由拉格朗日中值定理可得，存在ξ∈(x1,x2)，使得f'(ξ)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)。因為f'(x)有界，所以存在M>0，使得f'(x)<=M。因此，f(x1)-f(x2)<=M(x1-x2)。12.【參考答案】評價的主要目的是為了全面了解學生的數(shù)學學習歷程，激勵學生的學習和改進教師的教學。為此，應建立評價目標多元、評價方法多樣的評價體系。對數(shù)學學習的評價應該關注學生學習的結果，更應該關注他們學習的過程，以及在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學生認識自我，建立信心。對于課程標準提出的評價理念，可以從以下三個方面理解：（1）評價目標多元化，包括對學生和教師的評價。通過教學過程和學生學習狀況的考查，不僅可以看到學生的表現(xiàn)，還可以幫助教師認識教學中存在的問題，及時改進教學方式，調整教學進度和教學目標。（2）評價內容多維性，應該圍繞數(shù)學素養(yǎng)的四個方面展開，包括知識與技能、數(shù)學思考、解決問題、情感與態(tài)度。評價的具體內容應該形成多維度、全面性的評價內容體系，可以通過設計反映不同內容的問題、在綜合的問題情境中進行評價，或者通過對學生平時學習情況的考查來評價。（3）評價方法多樣化，包括定性和定量評價方法，以及不同形式的評價方式，如考試、作業(yè)、小組討論、課堂表現(xiàn)等。評價方法應該根據(jù)評價內容和評價目標的不同而靈活運用，以達到全面、客觀、公正的評價效果。評價方法多樣化在教學中，評價是非常重要的一環(huán)，而評價方法的多樣化也是至關重要的。教師應該根據(jù)不同學段學生的特點和具體內容的特征，選擇恰當有效的方法進行評價。對于學生知識技能掌握情況的評價，應該將定量評價和定性評價相結合，同時也要將結果評價和過程評價相結合。因為不同的評價方法在教學過程中起著不同的作用，不能單純地希望一種評價方法會解決所有的問題。例如，封閉式的問題、紙筆式的評價可以簡捷方便地了解學生對某些知識技能的掌握情況，而開放式問題、綜合性的、在豐富的情境中的評價則有助于了解學生的思考過程和學習過程?；静坏仁絘b≤(a+b)2/4的幾何解釋基本不等式是初中數(shù)學中的一個重要概念，可以通過幾何解釋來幫助學生更好地理解。以AB為直徑的圓，在直徑AB上取點C使得AC=a，過點C作直徑AB的垂線與半圓交于D點，由射影定理可得CD=ab，由圖顯然可得CD≤OD（即一個圓的半徑大于等于垂直該直徑的弦的一半），即得ab≤(a+b)2/4。這種幾何解釋不僅有助于培養(yǎng)學生數(shù)形結合的數(shù)學思想，而且可以幫助學生直觀地理解數(shù)學問題。同時，幾何解釋還有助于加深學生對基本概念等的理解，激發(fā)學生的學習興趣，并且可以幫助學生產生解題思路，預測問題結果。關于概率問題P{ξ2∈(-∞,x)}=P{ξ∈(-x,x)}的解答對于概率問題P{ξ2∈(-∞,x)}=P{ξ∈(-x,x)}，當x<0時，由于ξ2一定大于等于0，所以P{ξ2∈(-∞,x)}=0；當0≤x≤1時，由于ξ2∈(-∞,x)等價于ξ∈(-√x,√x)，所以P{ξ2∈(-∞,x)}=P{ξ∈(-√x,√x)}=√x+√x=2√x；當x>1時，由于ξ2∈(-∞,x)等價于ξ∈(-∞,-√x)∪(√x,∞)，所以P{ξ2∈(-∞,x)}=P{ξ∈(-∞,-√x)∪(√x,∞)}=1-2√x。因此，該概率問題的解答為：當x<0時，P{ξ2∈(-∞,x)}=0；當0≤x≤1時，P{ξ2∈(-∞,x)}=2√x；當x>1時，P{ξ2∈(-∞,x)}=1-2√x。信息技術的發(fā)展對數(shù)學教育產生了很大的影響，包括價值、目標、內容和教學方式。在設計和實施數(shù)學課程時，應合理地運用現(xiàn)代信息技術，注重信息技術與課程內容的整合，充分考慮信息技術對數(shù)學學習內容和方式的影響，開發(fā)并向學生提供豐富的學習資源，有效地改進教與學的方式，使學生樂意并有可能投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學活動中去。信息技術可以結合其他多種教學手段，在數(shù)學教學中起到互補的作用。例如，在模擬實際情境時，可以結合信息技術手段直接呈現(xiàn)圖片或視頻；在處理圖形的動態(tài)變化時，可以結合幾何畫板等工具直接呈現(xiàn)，這樣可以使學習更加直觀和連貫。集合是高中數(shù)學必修1第一章節(jié)的內容，是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言，可以簡潔、準確地表達數(shù)學內容。在學習集合的基本知識時，學生將感受到集合的數(shù)學思想方法，用集合語言表示有關數(shù)學對象，并運用集合和對應的語言進一步描述第二章的函數(shù)概念，為第二章的函數(shù)奠定夯實的基礎，使得學生能夠初步運用函數(shù)思想理解和處理生活、社會中的簡單問題。在導入活動中，可以利用多媒體播放一組學生課前收集的圖片，組織學生觀察圖片中展示事物之間的位置關系，如旗桿與地面垂直、教學樓與地面垂直等。這樣可以引導學生思考位置關系的概念，并為后續(xù)學習打下基礎。提出問題：旗桿和地面、教學樓和地面之間的位置關系是什么？能否根據(jù)它們的位置關系使用直線和平面來繪制幾何圖形？探究活動一：垂直關系的定義提出問題：我們如何定義一條直線與一個平面垂直？是否可以使用一條直線垂直于平面內的直線來定義這條直線與平面的垂直關系？使用多媒體動畫演示旗桿在地面上的影子位置變化，讓學生體會到直線與平面內不過垂足的直線也是垂直的。組織學生觀察動畫并思考以下問題：問題1：在陽光下，旗桿和它在地面上的影子所成的角度是多少？問題2：隨著時間的變化，影子的位置會移動，旗桿和影子所成的角度是否發(fā)生了變化？問題3：旗桿AB和地面上不過點B的任意一條直線的位置關系是什么？它們所成的角度是多少？全班討論后，教師引導學生總結出直線與平面垂直的定義：如果一條直線垂直于一個平面內的無數(shù)條直線，那么這條直線就與這個平面垂直。進一步引導學生思考：如何判斷一條直線與一個平面的位置關系是垂直的？探究活動二：折紙?zhí)骄看怪标P系組織學生思考如何將一張長方形紙片立起來放在桌面上。學生猜想：你能猜想出判斷一條直線與一個平面垂直的方法嗎？預設：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。設計意圖：通過讓學生課前收集大量圖片，多感知，然后通過學生動手畫圖、討論交流和多媒體課件演示，使學生經歷從實際背景中抽象出幾何概念的全過程，從而形成完整和正確的直線與平面垂直的概念。接下來，通過折紙?zhí)骄?，引導學生分析，將“與平面內所有直線垂直”逐步轉化為“與平面內兩條相交直線垂直”，并以此為基礎進行合理推理，提出猜想，使學生的思維順暢，為進一步的探究做準備。引導學生進行折紙環(huán)節(jié)探究：1.折痕與平面垂直嗎？2.你找的折痕有什么特點？找這樣的折痕是為了實現(xiàn)什么目的？3.如何放置？4.當直線與桌面垂直時，固定折痕一側的紙片，繞著折痕旋轉另一側紙片，觀察折痕與桌面垂直嗎？此時折痕與桌面內每一條直線什么關系？設計意圖：通過動手操作、展示、分享，提高學生學習興趣，同時為了學生的進一步探索提供思考方向。探究活動三：判斷直線與平面垂直的方法已知正方體ABCD-A1B1C1D1，判斷直線AC是否與平面CC1DD1垂直。根據(jù)預設，如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。因此，我們可以在平面CC1DD1上選擇兩條相交的直線BB1和AA1，判斷直線AC是否與這兩條直線垂直。如果AC與BB1和AA1都垂直，則AC與平面CC1DD1垂直。經過計算和判斷，我們得出結論：直線AC與平面CC1DD1垂直。通過以上探究活動，學生可以更深入地理解直線與平面垂直的概念，以及如何判斷直線與平面垂直的方法。同時，學生也可以通過實際操作，更加深入地理解幾何概念，提高數(shù)學思維和動手能力。是否存在一條直線AC與平面BB垂直？以上是一個幾何學問題，需要通過分析來得出答案。我們首先需要明確什么是垂直關系。在二維平面上，兩條直線相互