數(shù)學(xué)建模高壓鍋銷(xiāo)售量分析與驗(yàn)證

段偉，周小姣，沙金鑫：高壓鍋銷(xiāo)售量分析與驗(yàn)證段偉，周小姣，沙金鑫：高壓鍋銷(xiāo)售量分析與驗(yàn)證#遼寧工程技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)建模課程成績(jī)?cè)u(píng)定表學(xué)期11-12學(xué)年1學(xué)期姓名段偉05,周小姣28，沙金鑫17專(zhuān)業(yè)通信工程班級(jí)09-2班課程名稱(chēng)數(shù)學(xué)建模論文題目高壓鍋銷(xiāo)售量分析與驗(yàn)證評(píng)定指標(biāo)分值得分知識(shí)創(chuàng)新性20理論正確性20內(nèi)容難易性15評(píng)結(jié)合實(shí)際性10定知識(shí)掌握程度15疋書(shū)寫(xiě)規(guī)范性10標(biāo)工作量10準(zhǔn)總成績(jī)100準(zhǔn)評(píng)語(yǔ):任課教師魏林時(shí)間11年9月8日備注TOC\o"1-5"\h\z摘要3一?模型的背景問(wèn)題描述3基本假設(shè)3問(wèn)題分析3符號(hào)說(shuō)明4模型建立41?建立高壓鍋指數(shù)增長(zhǎng)模型42?高壓鍋銷(xiāo)售線(xiàn)性模型的假設(shè)63?建立高壓鍋logistic模型74擬合Gompertz模型9綜合評(píng)價(jià)與結(jié)論10參考文獻(xiàn)10摘要本文根據(jù)給定的1981年到1993年高壓鍋銷(xiāo)售量的數(shù)據(jù)，并運(yùn)用Logistic和Gompertz兩種曲線(xiàn)模型研究了某地區(qū)高壓鍋的銷(xiāo)售量的變化規(guī)律，分別建立指數(shù)增長(zhǎng)模型、Logistic增長(zhǎng)曲線(xiàn)模型和Gompertz增長(zhǎng)曲線(xiàn)模型來(lái)對(duì)高壓鍋的銷(xiāo)售量進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，并對(duì)各模型進(jìn)行了比較分析。一.模型的背景問(wèn)題描述比較分析法是通過(guò)對(duì)財(cái)務(wù)報(bào)表中各類(lèi)相關(guān)數(shù)字資料，將多期連續(xù)的相同指標(biāo)或比率進(jìn)行定基對(duì)比和環(huán)比對(duì)比，得出它們的增減變動(dòng)方向、數(shù)額和幅度，以揭示企業(yè)財(cái)務(wù)狀況、經(jīng)營(yíng)情況和現(xiàn)金流量變化趨勢(shì)的一種分析方法。趨勢(shì)分析法在定量預(yù)測(cè)。趨勢(shì)分析法又可稱(chēng)為趨勢(shì)曲線(xiàn)分析、曲線(xiàn)擬合或曲線(xiàn)回歸。它是根據(jù)已有的歷史數(shù)據(jù)資料來(lái)擬合一條曲線(xiàn)，使得這條曲線(xiàn)能夠反映出研究對(duì)象本身的增長(zhǎng)趨勢(shì)，然后按增長(zhǎng)趨勢(shì)曲線(xiàn)，對(duì)要求的未來(lái)的某一點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)，預(yù)測(cè)出該點(diǎn)該時(shí)刻的研究對(duì)象的預(yù)測(cè)值。F表為某地區(qū)1981年到1993年間高壓鍋的銷(xiāo)售量列表（單位：萬(wàn)臺(tái)）。年份ty年份ty1981043.65198871238.7519821109.86198981560.0019832187.21199091824.2919843312.671991102199.0019854496.581992112438.8919865707.651993122737.7119876960.25表1-1:高壓鍋的銷(xiāo)售量（單位：萬(wàn)臺(tái)）根據(jù)表1-1高壓鍋的銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)，分析其變化規(guī)律，得到該地區(qū)高壓鍋的銷(xiāo)售量的變化趨勢(shì)的擬合曲線(xiàn)，建立銷(xiāo)售量的模型，通過(guò)建立的銷(xiāo)售量模型，得到模擬曲線(xiàn)，根據(jù)得到的擬合曲線(xiàn)，對(duì)該地區(qū)的高壓鍋銷(xiāo)售量進(jìn)行預(yù)測(cè)。當(dāng)?shù)仄髽I(yè)可以根據(jù)預(yù)報(bào)的高壓鍋銷(xiāo)售量，對(duì)高壓鍋生產(chǎn)量進(jìn)行控制。二基本假設(shè)1、忽略人為因素對(duì)銷(xiāo)售量的影響。2、高壓鍋的銷(xiāo)售量隨時(shí)間連續(xù)變化。3、高壓鍋的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的高壓鍋總量總是成正比。4、銷(xiāo)售量的增長(zhǎng)律恒定。三?問(wèn)題分析本文要求根據(jù)某地的1981年到1993年間高壓鍋銷(xiāo)售量的數(shù)據(jù)，建立高壓鍋的銷(xiāo)售量模型。根據(jù)表1-1:高壓鍋的銷(xiāo)售量(單位：萬(wàn)臺(tái))提供的數(shù)據(jù)，以時(shí)間t為衡軸，銷(xiāo)售量y為縱軸，建立銷(xiāo)售時(shí)間t與銷(xiāo)售量的關(guān)系圖，高壓鍋的銷(xiāo)售量圖表3-1顯然，高壓鍋的銷(xiāo)售量隨時(shí)間的變化呈指數(shù)增長(zhǎng)。高壓鍋的銷(xiāo)售數(shù)量是連續(xù)變化的，但總體分析可以得出增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的高壓鍋總量成正比，銷(xiāo)售量的增長(zhǎng)律是不變的。據(jù)此，建立高壓鍋的銷(xiāo)售量指數(shù)增長(zhǎng)模型。rx(t)固有高壓鍋銷(xiāo)售量增長(zhǎng)率，即：r(0)=r時(shí)段t的高壓鍋銷(xiāo)售量數(shù)xm高壓鍋的最大銷(xiāo)售量，顯然有r(xm)=0五■模型建立1?建立高壓鍋指數(shù)增長(zhǎng)模型假設(shè)商品是自然銷(xiāo)售的，即不受人為因素影響，記時(shí)刻t的銷(xiāo)售量為x(t)，在銷(xiāo)售量基數(shù)很大的情況下，突然地增加或減少的只是少數(shù)幾個(gè)個(gè)體數(shù)，相對(duì)于全體數(shù)量而言可以忽略不計(jì)。將x(t)視為連續(xù)、可微函數(shù)。記初始時(shí)刻銷(xiāo)售量為x0，增長(zhǎng)率為常數(shù)r,考慮t到t+At時(shí)間內(nèi)高壓鍋銷(xiāo)售量的增量，有x(t+At)一x(t)=rx(t)Atdx令A(yù)tT0，得到dt"x(0)=x0⑴解出：x(t)=x0ert(2)

(2)式的參數(shù)r和x0可以用表1-1數(shù)據(jù)估計(jì)。為了利用最小二乘法，將(2)式取對(duì)數(shù)，可得y=rt+y=rt+a，y=Inx，a=Inx0(3)分別以1981年到1992年的數(shù)據(jù)和1981年到1993年的數(shù)據(jù)擬合(3)式，用matlab計(jì)算：t=0:11;x=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.7515601824.2921992438.89];y=log(x);p=polyfit(t,y1)r=p(1),x0=exp(p(2))Y=polyval(p,t);X=exp(Y);p=0.34354.4914r=0.3435x0=89.2424得到r=0.3435,x0=89.2424t=0:12;x=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.7515601824.2921992438.892737.71];y=log(x);p=polyfit(t,y1)r=p(1),x0=exp(p(2))Y=polyval(p,t);X=exp(Y);得到r=0.3205，x0=97.1060結(jié)果分析：用上面得到的參數(shù)r和x0代入⑶式,將結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)比較。x1是用1981年到1992年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果，計(jì)算人口x2用的是全部數(shù)據(jù)的擬合的結(jié)果。年實(shí)際銷(xiāo)售量計(jì)算銷(xiāo)售量x1計(jì)算銷(xiāo)售量198143.6589.242497.10601982109.86125.8205133.79421983187.21177.3910184.34391984312.67250.0989253.99211985496.58352.6078349.95451986707.65497.132348225700.8937664.3460

19881989199019911988198919901991199219931238.751560.001824.292199.002438.892737.71988.17151393.21964.22769.33904.45504.7915.34691261.21737.72394.23298.84545表5-1根據(jù)表5-1的數(shù)據(jù)，用matlab制作指數(shù)增長(zhǎng)型擬合圖形，圖5-1.1表示用1981年到1992年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果圖，圖5-1.2表示用全部數(shù)據(jù)（1981年到1993年）擬合的結(jié)果。圖5-1.1、圖5-1.2中曲線(xiàn)是計(jì)算結(jié)果，“*”表示實(shí)際數(shù)據(jù)。定變化的，由此可見(jiàn)，高壓鍋的銷(xiāo)售量的增長(zhǎng)律是不變的假設(shè)不成立。需重新建立模型分析。定變化的，由此可見(jiàn)，高壓鍋的銷(xiāo)售量的增長(zhǎng)律是不變的假設(shè)不成立。需重新建立模型分析。2.高壓鍋銷(xiāo)售線(xiàn)性模型的假設(shè)由圖表3-1，假設(shè)y和t滿(mǎn)足線(xiàn)性關(guān)系，所以建立線(xiàn)性模型，設(shè)y=at+b利用最小二乘法確定a,b的具體值，并根據(jù)a,b的值擬合高壓鍋的銷(xiāo)售情況，與原數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。MATLAB的程序?qū)崿F(xiàn)如下：y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.89;t=0:12;sp=polyfit(t,y,l);yy=polyval(p,t,l)plot(t,y,'*',t,yy)畫(huà)出原數(shù)據(jù)與擬合曲線(xiàn)圖5-2(yy-y)213=157.2915預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為：模型y=at+bsp=polyfit(t,y,l);yy=polyval(p,t,l)plot(t,y,'*',t,yy)畫(huà)出原數(shù)據(jù)與擬合曲線(xiàn)圖5-2(yy-y)213=157.2915預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為：模型y=at+b分析從圖形及標(biāo)準(zhǔn)誤差可以看出，線(xiàn)性模型雖然簡(jiǎn)單，但誤差太大。并且當(dāng)t時(shí)y，而高壓鍋銷(xiāo)售量是有限的，也就是說(shuō)高壓鍋的銷(xiāo)售量是一個(gè)有限的數(shù)，不可能是一個(gè)無(wú)限大的。所以，用線(xiàn)性模型不能完全反映高壓鍋的銷(xiāo)售情況。必須尋找一個(gè)更好的模型去分析高壓鍋的銷(xiāo)售情況。3.建立高壓鍋logistic模型由于高壓鍋剛進(jìn)入市場(chǎng)，人們對(duì)其需求量不是很大，高壓鍋銷(xiāo)售數(shù)量的增長(zhǎng)率??；但隨時(shí)間推移，人們生活水平的提高，其銷(xiāo)售量增長(zhǎng)率也逐漸提高，銷(xiāo)售數(shù)量將趨于一個(gè)定值，即L，此時(shí)銷(xiāo)售數(shù)量的增長(zhǎng)率將趨于0?綜上，高壓鍋的銷(xiāo)售情況滿(mǎn)足Logistic模型。設(shè)高壓鍋的銷(xiāo)售數(shù)量的增長(zhǎng)率為r(t)，高壓鍋的銷(xiāo)售量的上限為L(zhǎng)，銷(xiāo)售量為y(t)dt則有：建立模型r(t)y=r(1-dy<dtr(1一模型分析y2yr=ry—當(dāng)L與y(t)相比很大時(shí)，LL，與ry相比可以忽略不計(jì)，Logistic模型可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)模型；而當(dāng)L與y相比不是很大時(shí)，r疋就不能忽略，其作用是使高壓鍋的銷(xiāo)售量L的增長(zhǎng)速度減緩下來(lái)。用Matlab對(duì)一階常微分方程模型做分析，程序如下：y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.89;t=0:12;y0=43.65;[tt,yy]=ode45(@Logistic,t,y0);plot(t,y,'*',tt,yy);作圖結(jié)果L圖5-3作圖結(jié)果L圖5-3y=Logistic增長(zhǎng)曲線(xiàn)模型為t1+ae-kt.ae-ae-k兩邊同時(shí)取倒數(shù)得yL兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得ln(—一1)=ln(ae-kt)=lna+lne-kt=lna一kty兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得Lyl=ln(一1)令y，aa=-k，bb=lna.即得線(xiàn)性關(guān)系式：yy=aat+bb所以L(fǎng)ogistic增長(zhǎng)曲線(xiàn)模型能線(xiàn)性化。用Matlab對(duì)Logistic模型做非線(xiàn)性回歸Matlab程序如下：

y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.89;t=0:12;L=3000;y1=log(L./y-1);p=polyfit(t,y1,1);k=-p(1);a=exp(p(2));yy=L./(1+a*exp(-k*t));plot(t,y,'*',t,yy);擬合Logistic模型，畫(huà)出擬合圖形=Le擬合Logistic模型，畫(huà)出擬合圖形=Le_be「kt圖5-4Gompertz增長(zhǎng)曲線(xiàn)模型為yt兩邊同時(shí)除以L(fǎng)得Lln兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得=ln(_b)_ktln兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得=ln(_b)_kt.再兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得令y2=InIn-，aa=_k，bb=ln(_b).得線(xiàn)性關(guān)系式y(tǒng)2=aat+bb.擬合Gompertz模型用Matlab擬合Gompertz模型Matlab程序如下y=[43.65109.86187.21312.67496.58707.65960.251238.751560.001824.292199.002438.892737.71];t=0:12;L=3000;

yl=log(log(y/L));a=polyfit(t,yl,l);b=-exp(a⑵)；k=-a(1);yy=L*exp(-b*exp(-k*t));plot(t,y,'*',t,yy);畫(huà)出Gompertz模型并與原數(shù)據(jù)比較，作圖如圖5-5圖5-5Ky=Logistic增長(zhǎng)曲線(xiàn)模型，其一般形式為t1+ae-bt?增長(zhǎng)曲線(xiàn)有兩個(gè)重要特征。一是y隨著t的增加直至+8而趨向于K，K即是Y的飽和值；反過(guò)來(lái)，當(dāng)t~-時(shí)，y-0。二是增長(zhǎng)曲線(xiàn)具有一個(gè)拐點(diǎn)，在拐點(diǎn)之前，y的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快；在拐點(diǎn)之后，y的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，逐漸趨近于0。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，許多指標(biāo)的增長(zhǎng)過(guò)程具有這兩個(gè)特征。所以，邏輯