☆微分方程在生活的應(yīng)用

ZU155微#微積分在專業(yè)中的應(yīng)用摘要文章在簡要介紹了微積分和土木工程兩個學(xué)科基本知識的基礎(chǔ)上，全面分析了兩者的內(nèi)在聯(lián)系，并提出了微積分在土木工程學(xué)科領(lǐng)域的主要方面應(yīng)用關(guān)鍵詞：微積分土木工程應(yīng)用1.1土木工程是建造各類工程設(shè)施的科學(xué)技術(shù)的統(tǒng)稱土木工程是建造各類工程設(shè)施的科學(xué)技術(shù)的統(tǒng)稱。隨著科學(xué)技術(shù)的進步和工程實踐的發(fā)展，土木工程這個學(xué)科也已發(fā)展成為內(nèi)涵廣泛、門類眾多、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的綜合體系。微積分（Calculus）則指高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分（Differentiation）、積分（Integration）以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是高等數(shù)學(xué)中的一個基礎(chǔ)學(xué)科。兩者分屬不同學(xué)科，但在實踐中卻有著密切的聯(lián)系。為了便于理清兩者的關(guān)系，首先有必要簡單地介紹一下微積分和土木工程這兩個不同學(xué)科?，F(xiàn)在我們通常所說的土木工程，泛指用石、磚、鋼材、木材、合金材料及塑料等材料在地球表面的土層或巖層上建造起來的與人類生活、生產(chǎn)活動有關(guān)的工程設(shè)施。土木工程設(shè)施的類型包括建筑工程、公路與城市道路工程、鐵路工程、橋梁工程、隧道工程、水利工程、港口工程、給水排水工程、環(huán)境工程及海洋工程等。①土木工程是一門學(xué)科，稱為“土木工程學(xué)”，它運用數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科知識和力學(xué)、材料科學(xué)等技術(shù)科學(xué)知識，以及“土木工程學(xué)”方面的工程技術(shù)知識等來綜合研究工程的設(shè)計原理、施工技術(shù)和實施手段。現(xiàn)在我們通常所說的土木工程，泛指用石、磚、鋼材、木材、合金材料及塑料等材料在地球表面的土層或巖層上建造起來的與人類生活、生產(chǎn)活動有關(guān)的工程設(shè)施。土木工程設(shè)施的類型包括建筑工程、公路與城市道路工程、鐵路工程、橋梁工程、隧道工程、水利工程、港口工程、給水排水工程、環(huán)境工程及海洋工程等。①土木工程是一門學(xué)科，稱為“土木工程學(xué)”，它運用數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科知識和力學(xué)、材料科學(xué)等技術(shù)科學(xué)知識，以及“土木工程學(xué)”方面的工程技術(shù)知識等來綜合研究工程的設(shè)計原理、施工技術(shù)和實施手段。通過上述的介紹，我們已清楚地知道在土木工程項目的前期計算、施工過程與工程造價中是無法離開微積分的。只有通過微積分的科學(xué)而具體的計算，才能使土木工程項目的具體實踐活動變得更加精確、具體、高效和科學(xué)。1.2微積分起源與古代。在公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。我國戰(zhàn)國時期的《莊子?天下篇》一書中也有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”之說。②三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中也提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣?！边@些都是樸素的、典型的極限概念十七世紀的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，從而為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。例如，1666年牛頓建立了“反流數(shù)術(shù)”，即現(xiàn)在的積分法，同年，牛頓將他的研究成果整理成一篇總結(jié)性的論文《流數(shù)簡論》，確定了現(xiàn)代微積分的基本方法。這篇文獻是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻。而德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲則在系統(tǒng)研讀了笛卡爾、費馬、帕斯卡等人的著作，從巴羅的“微分三角形”開始了微積分的研究工作，創(chuàng)立“無窮小算法”。牛頓與萊布尼茲兩位數(shù)學(xué)家最大的功績就是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個是求積問題（積分學(xué)的中心問題）。19世紀初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎(chǔ)。微積分發(fā)展為越來越復(fù)雜的土木工程項目提供了科學(xué)的運算手段。到了十七世紀，許多科學(xué)問題需要用微積分來解決，歸結(jié)起來，主要有四種類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題；第二類是求曲線的切線問題；第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題；第四類是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力問題。2目前，在某些大學(xué)中的土木工程專業(yè)本科培養(yǎng)計劃中，其主要課程設(shè)置包括大學(xué)數(shù)學(xué)、大學(xué)物理、理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)土力學(xué)、土木工工程制圖、混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計原理、鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計原理、土木工程施工等。其中，專業(yè)基礎(chǔ)課中必修課有8門，與微積分有密切聯(lián)系的占了4門，專業(yè)課程共有8門，同樣有4門與微積分密切相關(guān)（測量學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、土力學(xué)、房屋建筑學(xué)等）。③不僅如此，只要我們上網(wǎng)瀏覽一下相關(guān)高校的土木工程本科培養(yǎng)計劃就會發(fā)現(xiàn)，幾乎所有大學(xué)的土木工程專業(yè)本科培養(yǎng)計劃中的課程設(shè)置都離不開微積分和三大力學(xué)（理論力學(xué)、材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)）。2.1目前，我們可以毫不夸張地說，微積分貫穿于每一項具體的土木工程項目之中。例如，在建筑的設(shè)計過程中，一些長度較大的跨江或跨海大橋，以及高速公路、高速鐵路等，它們的設(shè)計會因為地形或地勢的原因，從而無法避免地出現(xiàn)彎道和有弧度的路面、護坡剖面、隧道。在這種情況下，如何去計算道路建造的長度和開挖土方量等？很顯然，在橋梁、隧道或道路修好后，再去現(xiàn)場測量是不現(xiàn)實的。正因為如此，在每一個土木工程項目施工前，就必須科學(xué)編制一個詳細的項目施工說明書（或招投標(biāo)書）。而要編制該項目書，就必須用到微積分的相關(guān)知識，對每一路段、橋涵或標(biāo)段的圓弧進行積分，將一小段的圓弧取極限，將它們看作是一段直線，最后對各個小直線進行相加，以此來算出總的彎道和弧度長度，從而科學(xué)計算出總工程量，以便招投標(biāo)和科學(xué)施工。另外，某些建筑物的殼體型屋頂，它在每一高度下應(yīng)該彎曲多大的角度，也會用到微積分中多元求導(dǎo)的知識。例如，法國巴黎國家工業(yè)與技術(shù)展覽中心大廳的混凝土薄殼結(jié)構(gòu)是當(dāng)今世界上跨度最大的薄殼結(jié)構(gòu)。它平面呈三角形，邊長219米，殼體離地46米，是雙洪波拱體，支撐在三角部墩座上，墩座由預(yù)應(yīng)力拉桿而成。在它的設(shè)計過程中，就必須考慮到在不同的高度其x、y,還有z方向的彎曲角度。此時就必須用到微積分中的多元求導(dǎo)的知識。在室內(nèi)的旋轉(zhuǎn)樓梯中，因為對與樓梯的總高度與旋轉(zhuǎn)的總角度是由于具體的施工場所而決定的。但是，在具體的施工過程中，其具體在某一個高度它的旋轉(zhuǎn)角度數(shù)值大小，同樣需要用微積分知識來計算出來。所以微積分關(guān)于對長度和弧度等計算在土木工程是非常有用的。2.2微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運動三定律?此后，微積分