人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)拋物線的幾何性質(zhì)

拋物線的幾何性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)〔1〕掌握拋物線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，能根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕能由拋物線方程解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題；〔3〕學(xué)會(huì)判斷拋物線與直線的位置關(guān)系；〔4〕在對(duì)拋物線幾何性質(zhì)的討論中，注意數(shù)與形的結(jié)合與轉(zhuǎn)化．教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)拋物線的幾何性質(zhì)及其運(yùn)用，以及拋物線與直線的位置關(guān)系．教學(xué)過(guò)程一．問(wèn)題情境.情境：（1）練習(xí)：假設(shè)點(diǎn)λ（3,2），點(diǎn)F為拋物線W=2X的焦點(diǎn)，那么使|MA|+|MFI取最小值的拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)是（2,2）〔回顧拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程〕（2）復(fù)習(xí)橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì).問(wèn)題：根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程W=2Px（P>0）可以得到拋物線的哪些幾何性質(zhì)？二.學(xué)生活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生由橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，通過(guò)類比，尋找拋物線>2=2px（P>0）的幾何性質(zhì).三.建構(gòu)數(shù)學(xué)LX圍因?yàn)閜>0，由方程>2=2px^P>0）可知，這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，>）滿足不等式xN0,所以這條拋物線在>軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時(shí)，|>|也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸..對(duì)稱性以r代>,方程>2=2px（P>0）不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸..頂點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).在方程y2=2px^P>0）中，當(dāng)y=0時(shí)，x=0,因此拋物線y2=2px（P>0）的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn).4.離心率拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示.由拋物線的定義可知，e=1.拋物線＞2=2PX(P＞O)的主要性質(zhì)歸納如下:X圍在＞軸的右側(cè)對(duì)稱性關(guān)于X軸對(duì)稱頂占八、\原點(diǎn)開(kāi)口方向 向右 一5.通徑：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的相交弦.直接應(yīng)用拋物線定義，得到通徑：d=2P.四.數(shù)學(xué)運(yùn)用1.例題：例L求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(5,0)的拋物線的方程，并用描點(diǎn)法畫出圖形.解：頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線方程可設(shè)為＞2=2PX(P＞0).因?yàn)榻裹c(diǎn)為F(5，0),所以P=10.因此，所求拋物線的方程為w=20X.將方程變形為'=±2J5x，根據(jù)y=2'5x計(jì)算拋物線在XN0的X圍內(nèi)幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得X01234…y ^0…描點(diǎn)畫出拋物線的一部分，再利用對(duì)稱性，就可以畫出拋物線的另一部分.說(shuō)明：在此題的畫圖過(guò)程中，如果描出拋物線上更多的點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)這條拋物線雖然也向右上方和右下方無(wú)限延伸，但并不能像雙曲線那樣無(wú)限地接近于某一直線，也就是說(shuō)，拋物線沒(méi)有漸近線.例2.汽車前燈的反光曲面與軸截面的交線為拋物線，燈口直徑為197mm,反光曲面的頂點(diǎn)到燈口的距離是69mm.由拋物線的性質(zhì)可知，當(dāng)燈泡安裝在拋物線的焦點(diǎn)處時(shí)，經(jīng)反光曲面反射后的光線是平行光線.為了獲得平行光線，應(yīng)怎樣安裝燈wqrτl泡？〔精確到1mm〕解：如圖2-4-4,在車燈的一個(gè)軸截面上建立直角坐標(biāo)系χ°y.設(shè)拋物線方程為>12*=2Px(P>O)，燈應(yīng)安裝在其焦點(diǎn)F處.在x軸上取一點(diǎn)C,使OC=69,過(guò)C作x軸的垂線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，AB就是燈口的直徑，即197

(69,—)

aB=197，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為 2.將A點(diǎn)坐標(biāo)代入方程yy=2px(P>0),解得P≈703.它的焦點(diǎn)坐標(biāo)約為F(35,0)因此，燈泡應(yīng)該安裝在距頂點(diǎn)約35mm處.例3.求過(guò)點(diǎn)尸(0，D且與拋物線y2=2X只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程.解：(1)假設(shè)直線斜率不存在，那么過(guò)P(0，1)的直線方程為x=0.直線x=0與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).〔2〕假設(shè)直線斜率存在，設(shè)為k，那么過(guò)P的直線方程為y=kx+1.fy=kx+1由方程組［y2=2x消元得：k2x2+2(kT)x+1=0,12①當(dāng)k=0時(shí)得〔y=1，即直線y=1與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).②當(dāng)k豐0時(shí)，假設(shè)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么 A=4(k-1)2-4k2=0，解得人=2.J=-X+1此時(shí)直線方程為2綜上所述：所求直線方程為X=0或＞=1或．y=-x+12．說(shuō)明：直線與拋物線的位置關(guān)系，通過(guò)對(duì)直線方程與拋物線方程組成的方程組的解的情況來(lái)討論，對(duì)于直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況，應(yīng)特別注意平行于拋物