2022-2023學(xué)年山東省淄博市高一下期末數(shù)學(xué)試卷含解析

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.若且，則()

A.B.C.D.

3.設(shè)，表示不同的直線，，，表示不同的平面，給出下列四個命題，其中正確命題的個數(shù)是()

若，，則

若，，則

若，，，則

若，，則

A.B.C.D.

4.已知向量，，則在上的投影向量的模為()

A.B.C.D.

5.已知，，點是坐標(biāo)原點，記，則()

A.B.C.D.

6.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，將函數(shù)圖像上所有的點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的值為()

A.

B.

C.

D.

7.如圖，在棱長為的正方體中，，分別是、中點，點是線段上的動點，則三棱錐的體積是()

A.

B.

C.

D.與點的位置有關(guān)

8.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，則的最大值是()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.大年除夕吃年夜飯是中國古老的民俗傳統(tǒng)，唐朝詩人孟浩然曾寫下“續(xù)明催畫燭，守歲接長筵”這樣的詩句為了解某地區(qū)居民的年夜飯消費金額，研究人員隨機調(diào)查了該地區(qū)個家庭，所得金額統(tǒng)計如圖所示，則下列說法正確的是()

A.可以估計，該地區(qū)年夜飯消費金額在家庭數(shù)量超過總數(shù)的三分之一

B.若該地區(qū)有個家庭，可以估計年夜飯消費金額超過元的有個

C.可以估計，該地區(qū)家庭年夜飯消費金額的平均數(shù)不足元

D.可以估計，該地區(qū)家庭年夜飯消費金額的中位數(shù)超過元

10.設(shè)，若，且的最小正周期大于，則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)時，取最大值B.的最小正周期為

C.是偶函數(shù)D.在上單調(diào)遞增

11.已知向量，的夾角為，，向量，且，，則向量，夾角的余弦值可以為()

A.B.C.D.

12.如圖，在棱長為的正方體中，為邊的中點，點為線段上的動點，設(shè)，則()

A.當(dāng)時，平面

B.當(dāng)時，取得最小值，其值為

C.的最小值為

D.當(dāng)平面時，

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.某個品牌的牛奶重景單位：的樣本數(shù)據(jù)如下：、、、、、、、、、、、，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為______．

14.在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為______．

15.已知四棱錐的底面是矩形，側(cè)面為等邊三角形，平面平面，其中，，則四棱錐的外接球表面積為______．

16.圖：上有兩定點，及兩動點，，且，則的最大值是______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知向量，．

若向量與互相垂直，求的值；

設(shè)，求的最小值．

18.本小題分

已知，．

若函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，求函數(shù)的解析式；

若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且函數(shù)在上單調(diào)，求的值．

19.本小題分

如圖所示，在三棱柱中，點，，，分別為棱，，，上的點，且，，，，四邊形為矩形，平面平面，G.

證明：平面；

證明；平面．

20.本小題分

后疫情時代，為了可持續(xù)發(fā)展，提高人民幸福指數(shù)國家先后出臺了多項減稅增效政策某地區(qū)對在職員工進(jìn)行了個人所得稅的調(diào)查，經(jīng)過分層隨機抽樣，獲得位在職員工的個人所得稅單位：百元數(shù)據(jù)，按，，，，，，，，分成九組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：

求直方圖中的值；

根據(jù)頻率分布直方圖估計該市的職工年個人所得稅不超過百元，求的最小值：

已知該地區(qū)有萬在職員工，規(guī)定：每位在職員工年個人所得稅不超過元的正常收取，若超過元，則超出的部分退稅，請估計該地區(qū)退稅總數(shù)約為多少？

21.本小題分

如圖，在四棱柱中，底面是邊長為的正方形，，．

求三棱錐的體積；

若是側(cè)棱的中點，求二面角的余弦值．

22.本小題分

如圖，平面四邊形中，，，，的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且滿足．

判斷四邊形是否有外接圓？若有，求其半徑；若無，說明理由，

求內(nèi)切圓半徑的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

則在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第一象限．

故選：．

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，若，

則，解可得．

故選：．

根據(jù)題意，由數(shù)量積的計算公式可得，解可得答案．

本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)計算，涉及向量的坐標(biāo)計算，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：，表示不同的直線，，，表示不同的平面，

對于，若，，則由線面的判定定理得，故正確；

對于，若，，則與相交或平行，故錯誤；

對于，若，，，則由線面平行的性質(zhì)得，故正確；

對于，若，，則與平行或異面，故錯誤．

故選：．

對于，由線面的判定定理得；對于，與相交或平行；對于，由線面平行的性質(zhì)得；對于，與平行或異面．

本題考查線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查空間思維能力，是中檔題．

4.【答案】

【解析】解：向量，，則是單位向量，且，

因此在上的投影向量為，其模為．

故選：．

利用投影向量的定義求出該向量，再求出模作答．

本題考查了單位向量的定義，向量坐標(biāo)的數(shù)量積運算，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量長度的方法，投影向量的計算公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：，，點是坐標(biāo)原點，

可得，

，

又，，

．

故選：．

由題意利用向量夾角公式即可求解．

本題考查了平面向量夾角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：觀察圖像知，，函數(shù)的周期，則，

根據(jù)五點法作圖，可得，故，

因此，，

所以．

故選：．

根據(jù)給定的圖像，求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而求出的解析式，再利用余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，得出結(jié)論．

本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，利用五點對應(yīng)法求出函數(shù)的解析式，利用圖像平移變換關(guān)系求出的解析式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

7.【答案】

【解析】解：在正方體中，，分別是、中點，則，

而平面，平面，于是平面，又點是線段上的動點，

因此點到平面的距離等于點到平面的距離，

所以三棱錐的體積．

故選：．

根據(jù)給定條件，證得平面，再利用等體積法求解作答．

本題主要考查棱錐體積的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．

8.【答案】

【解析】解：在中，，

因為，

所以，

則，

所以，

又，均為銳角，

故，，

由余弦定理得，

所以

，

又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

所以的最大值是．

故選：．

根據(jù)三角形的內(nèi)角和結(jié)合誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式、商數(shù)關(guān)系式可得，再根據(jù)余弦定理與角度轉(zhuǎn)化可得，由基本不等式即可得最大值．

本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，兩角和的余弦公式，余弦定理以及基本不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對于，由題意得該地區(qū)年夜飯消費金額在的頻率為，

可以估計，該地區(qū)年夜飯消費金額在家庭數(shù)量超過總數(shù)的三分之一，故A正確；

對于，若該地區(qū)有個家族，可以估計年夜飯超過元的家庭個數(shù)為，故B正確；

平均數(shù)為元，故C錯誤；

中位數(shù)為元，故D正確．

故選：．

利用頻率、頻數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的定義直接求解．

本題考查頻率、頻數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：，，

的圖象關(guān)于直線對稱，且關(guān)于點對稱，

的最小正周期，，

由，可得，

，

再根據(jù)，，可得，，

又，，

，顯然為偶函數(shù)，故C正確，

當(dāng)時，，此時取得最小值，故A錯誤，

的最小正周期為，故B正確，

當(dāng)時，，而余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以在上單調(diào)遞減，故D錯誤．

故選：．

由題意可得的圖象關(guān)于直線對稱，且關(guān)于點對稱，且，由，可得，進(jìn)而求出的值，得到的解析式，再利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐個判斷各個選項即可．

本題主要考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．

11.【答案】

【解析】解：，，

，

，，

，

令，則，

令，由，，得，

則，

，，

，

向量，夾角的余弦值可以為，．

故選：．

利用向量的模，向量數(shù)量積的運算，向量夾角公式得出，再結(jié)合換元法得到二次函數(shù)，求二次函數(shù)的范圍即可．

本題考查求向量的模，向量數(shù)量積的運算，向量夾角公式，考查換元法，二次函數(shù)求最值，屬于難題．

12.【答案】

【解析】解：在棱長為的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

所以，則點，

對于，，，，而，

顯然，即是平面的一個法向量，

而，因此不平行于平面，即直線與平面不平行，A錯誤；

對于，，則，

因此當(dāng)時，取得最小值，B正確；

對于，，

于是，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；

對于，取的中點，連接，，，如圖，

因為為邊的中點，則，當(dāng)平面時，平面，

連接，連接，連接，顯然平面平面，

因此，，平面，平面，則平面，

即有，而，

所以，D錯誤．

故選：．

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷；利用兩點間距離公式計算判斷；確定直線與平面交點的位置判斷作答．

本題主要考查了直線與平面平行的判定定理，考查了利用空間向量求空間中的距離問題，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：樣本數(shù)據(jù)由小到大排列為，、、、、、、、、、、、，

由，得這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為．

故答案為：．

把給定的樣本數(shù)據(jù)由小到大排列，利用第百分位數(shù)的定義求解作答．

本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：正四棱臺的對角面是等腰梯形，其高為該正四棱臺的高，

在等腰梯形中，，而，

則該梯形的高，

所以該棱臺的體積．

故答案為：．

根據(jù)給定條件，求出正四棱臺的高，再利用棱臺的體積公式計算作答．

本題考查臺體的體積公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：設(shè)的中點為，連接，，連接，

設(shè)外接圓的圓心為，半徑為，

所求外接球球心為，半徑為，連接，，如圖，

因為為等邊三角形，，所以圓的半徑，

因為為等邊三角形，是的中點，所以，

因為平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

因為底面是矩形，所以是底面外接圓的圓心，

故平面，所以，

同理，所以四邊形是矩形，

所以，

所以球的半徑，

所以外接球的表面積為．

故答案為：．

設(shè)外接圓的圓心為，外接球球心為，先分別求得外接圓的半徑與，再利用勾股定理求得外接球的半徑，從而得解．

本題考查四棱錐的外接球問題，屬中檔題．

16.【答案】

【解析】解：由題意，，是圓：上的兩動點，則，

由，得，

即，，

為正三角形，

已知點，，

所以，

故

，

設(shè)與的夾角為，則，

又，，

，

故，

則的最大值是．

故答案為：．

由，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算求解即可．

本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，屬中檔題．

17.【答案】解：因為向量，，

則，，

由向量與垂直，得，

所以．

由，，得，

所以，

所以當(dāng)時，取到最小值．

【解析】利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合數(shù)量積的運算律求解作答．

利用向量線性運算的坐標(biāo)表示，結(jié)合模的坐標(biāo)表示建立函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)最小值作答．

本題主要考查了向量數(shù)量積的性質(zhì)的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：因為，

因為函數(shù)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，所以，則，

所以，解得，

故函數(shù)．

由，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，

所以，所以，，

由，則，

又函數(shù)在上單調(diào)，所以，解得，

所以當(dāng)時，．

【解析】利用三角恒等變換將函數(shù)化簡，依題意，即可求出，從而得到函數(shù)解析式．

由對稱性得到，，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求出的范圍，即可得解．

本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．

19.【答案】證明：在三棱柱中，連接，，取的中點，連接，如圖，

因為，，，，則，，

于是四邊形是平行四邊形，即有，

又平面，平面，則平面，

顯然點為的中點，而點為的中點，則，

由，得，又，，，即有且，

于是四邊形為平行四邊形，則，

而平面，平面，則平面，

又，，平面，因此平面平面，而平面，

所以平面．

由四邊形為矩形，得，因為平面平面，

平面平面，平面，因此平面，

而平面，則，又，，于是，

因為，平面，平面，

所以平面．

【解析】取的中點，利用平行公理及平行四邊形性質(zhì)，證明線面平行，進(jìn)而證明面面平行，再利用面面平行的性質(zhì)推理作答．

利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定推理作答．

本題主要考查了平行及垂直關(guān)系的判斷及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

20.【答案】解：由頻率分布直方圖列方程，得：

，

解得，

直方圖中的值為；

由頻率分布直方圖得：

在戶居民年用水量頻率分布直方圖中，前組頻率之和為，

前組頻率之和為，，

，

解得；

由頻率分布直方圖得：

區(qū)間，，，內(nèi)的年個人所得稅分別取，，，為代表，

則他們的年個人所得稅分別超出，，，元，

元，

超出的部分退稅，估計該地區(qū)退稅總數(shù)約為元．

【解析】由頻率分布直方圖列方程組，能求出的值．

在戶居民年用水量頻率分布直方圖中，前組頻率之和為，前組頻率之和為，所以，由此能求出的最小值．

由題可知，區(qū)間，，，內(nèi)的年個人所得稅分別取，，，為代表，則他們的年個人所得稅分別超出，，，元，由此能估計該地區(qū)退稅總數(shù)．

本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)及應(yīng)用，考查運算