平面的點法式方程課件

①一、平面的點法式方程設一平面通過已知點且垂直于非零向稱①式為平面

的點法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故機動目錄上頁下頁返回結束①一、平面的點法式方程設一平面通過已知點且垂直于非零向稱①式1例1.求過三點即解:

取該平面

的法向量為的平面

的方程.利用點法式得平面

的方程機動目錄上頁下頁返回結束例1.求過三點即解:取該平面的法向量為的平面的方2此平面的三點式方程也可寫成一般情況:過三點的平面方程為說明:機動目錄上頁下頁返回結束此平面的三點式方程也可寫成一般情況3特別,當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程.時,平面方程為分析:利用三點式按第一行展開得即機動目錄上頁下頁返回結束特別,當平面與三坐標軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程.4二、平面的一般方程設有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數則顯然方程②與此點法式方程等價,

②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.機動目錄上頁下頁返回結束二、平面的一般方程設有三元一次方程以上兩式相減,得平面5特殊情形?

當

D=0時,Ax+By+Cz=0表示

通過原點的平面;?當

A=0時,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.機動目錄上頁下頁返回結束特殊情形?當D=0時,Ax+By+6例2.

求通過x軸和點(4,–3,–1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程導出平面的截距式方程.解:因平面通過

x軸,設所求平面方程為代入已知點得化簡,得所求平面方程(P327例4,自己練習)機動目錄上頁下頁返回結束例2.求通過x軸和點(4,–3,–1)的7三、兩平面的夾角設平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.機動目錄上頁下頁返回結束三、兩平面的夾角設平面∏1的法向量為平面∏2的法向量為8特別有下列結論：機動目錄上頁下頁返回結束特別有下列結論：機動目錄上頁下頁返回9例4.

求兩平面解:應用公式有機動目錄上頁下頁返回結束的夾角.因此例4.求兩平面解:應用公式有機動目錄上頁10因此有例5.

一平面通過兩點垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且機動目錄上頁下頁返回結束因此有例5.一平面通過兩點垂直于平面∏:x+y+11外一點,求例6.

設解:設平面法向量為在平面上取一點是平面到平面的距離d.,則P0

到平面的距離為(點到平面的距離公式)機動目錄上頁下頁返回結束外一點,求例6.設解:設平面法向量為在平面上取一點是平面到12例7.解:

設球心為求內切于平面

x+y+z=1

與三個坐標面所構成則它位于第一卦限,且因此所求球面方程為四面體的球面方程.從而機動目錄上頁下頁返回結束例7.解:設球心為求內切于平面x+y+z=13內容小結1.平面基本方程:一般式點法式截距式三點式機動目錄上頁下頁返回結束內容小結1.平面基本方程:一般式點法式截距式