九年級數(shù)學上冊專題12 點、直線與圓的位置關系（熱考題型）-原卷版

/專題12點、直線與圓的位置關系【思維導圖】◎考點題型1點和圓的位置關系位置關系圖形定義性質及判定點在圓外點在圓的外部QUOTE??>???d>r?點QUOTE??P在QUOTE⊙??⊙O的外部.點在圓上點在圓周上QUOTE??=???d=r?點QUOTE??P在QUOTE⊙??⊙O的圓周上.點在圓內(nèi)點在圓的內(nèi)部QUOTE??<???d<r?點QUOTE??P在QUOTE⊙??⊙O的內(nèi)部.例．（2022·河北邯鄲·九年級期末）平面內(nèi)有兩點P，O，⊙O的半徑為5，若，則點P與⊙O的位置關系是（

）A．圓內(nèi) B．圓上 C．圓外 D．圓上或圓外變式1．（2021·江蘇淮安·九年級期中）的半徑為，點到圓心的距離，則點與的位置關系為（

）A．點在上 B．點在內(nèi) C．點在外 D．無法確定變式2．（2022·全國·九年級專題練習）在平面直角坐標系中，以原點O為圓心，4為半徑作圓，點P的坐標是（5，5），則點P與⊙O的位置關系是（

）A．點P在⊙O上 B．點P在⊙O內(nèi)C．點P在⊙O外 D．點P在⊙O上或在⊙O外變式3．（2021·江蘇常州·九年級期中）數(shù)軸上有兩個點A和B，點B表示實數(shù)6，點A表示實數(shù)a，⊙B半徑為4．若點A在⊙B內(nèi)部，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜2或a＞10 B．2＜a＜10 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)＜10◎考點題型2三角形的外接圓1）經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形．2）三角形外心的性質：①三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相等；②三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個，這些三角形的外心重合.3）外接圓圓心和三角形位置關系：1.銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部（如圖1）；2.直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點處（即直角三角形外接圓半徑等于斜邊的一半，如圖2）；3.鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部（如圖3）.例．（2022·江蘇·九年級）如圖，在平面直角坐標系中，，，．則△ABC的外心坐標為（

）A． B． C． D．變式1．（2022·湖南邵陽·中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（

）A． B． C． D．變式2．（2022·全國·九年級）如圖，小東在同一平面上按照如下步驟進行尺規(guī)作圖：（1）作線段AB，分別以A，B為圓心，以AB長為半徑作弧，兩弧交于點C；（2）以C為圓心，以AB長為半徑作弧交AC的延長線于點D；（3）連接BD，BC．則下列說法中不正確的是（）A．∠ABD＝90° B．sin2A+cos2D＝1C．DB＝AB D．點C是△ABD的外心變式3．（2022·河北·寬城滿族自治縣教研室模擬預測）如圖，△ABC和△DBC中，點D在△ABC內(nèi)，AB＝AC＝BC＝2，DB＝DC，且∠D＝90°，則△ABC的內(nèi)心和△DBC的外心之間的距離為（

）A． B．1 C． D．◎考點題型3三點定圓的方法經(jīng)過點QUOTE??A的圓：以點QUOTE??A以外的任意一點QUOTE??O為圓心，以QUOTE????OA的長為半徑，即可作出過點QUOTE??A的圓，這樣的圓有無數(shù)個．經(jīng)過兩點QUOTE??、??A、B的圓：以線段QUOTE????AB中垂線上任意一點QUOTE??O作為圓心，以QUOTE????OA的長為半徑，即可作出過點QUOTE??、??A、B的圓，這樣的圓也有無數(shù)個．3）經(jīng)過三點時：情況一：過三點的圓：若這三點QUOTE??、??、??A、B、C共線時，過三點的圓不存在；情況二：若QUOTE??、??、??A、B、C三點不共線時，圓心是線段QUOTE????AB與QUOTE????BC的中垂線的交點，而這個交點QUOTE??O是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個．三點定圓的畫法：1）連接線段AB,BC。2）分別作線段AB,BC的垂直平分線。兩條垂直平分線交點為O，此時OA=OB=OC,于是點O為圓心，以OA為半徑，便可作出經(jīng)過A、B、C的圓，這樣的圓只能是一個。定理：不在同一直線上的三點確定一個圓．例．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期末）小王不慎把一面圓形鏡子打碎了，其中三塊如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（

）A．① B．② C．③ D．都不能變式1．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖所示，一圓弧過方格的格點AB，試在方格中建立平面直角坐標系，使點A的坐標為(0，4)，則該圓弧所在圓的圓心坐標是（）A．(－1，2) B．(1，－1) C．(－1，1) D．(2，1)變式2．（2021·江蘇·九年級專題練習）在同一平面內(nèi)，過已知A，B，C三個點可以作的圓的個數(shù)為(

)A．0 B．1 C．2 D．0或1變式3．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，點A、B、C在同一直線上，點D在直線AB之外，過這四個點中的任意三個點，能畫圓的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個◎考點題型4直線與圓的位置關系設的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關系如下表：位置關系圖形定義性質及判定相離直線與圓沒有公共點直線與相離相切直線與圓有唯一公共點，直線叫做圓的切線，公共點叫做切點直線與相切相交直線與圓有兩個公共點，直線叫做圓的割線直線與相交例．（2022·江蘇·九年級專題練習）P、Q是直線l上的兩個不同的點，且OP＝5，⊙O的半徑為5，下列敘述正確的是（）A．點P在⊙O外B．點Q在⊙O外C．直線l與⊙O一定相切D．若OQ＝5，則直線l與⊙O相交變式1（2021·上海金山·九年級期末）如圖，已知中，，，，如果以點為圓心的圓與斜邊有公共點，那么⊙的半徑的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式2．（2022·廣西欽州·九年級期末）若直線與半徑為的⊙O相交，則圓心O到直線的距離可能為（

）A．3 B．4 C．4.5 D．5變式3．（2021·全國·九年級課時練習）如圖，在半徑為5cm的⊙O中，直線l交⊙O于A、B兩點，且弦AB＝8cm，要使直線l與⊙O相切，則需要將直線l向下平移()A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm◎考點題型5切線的判定定理判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．例．（2019·山東·九年級單元測試）下列四個命題中正確的是(

)①與圓有公共點的直線是該圓的切線;②垂直于圓的半徑的直線是該圓的切線;③到圓心的距離等于半徑的直線是該圓的切線;④過圓直徑的端點，垂直于此直徑的直線是該圓的切線.A．①② B．②③ C．③④ D．①④變式1．（2019·全國·九年級課時練習）如果L是⊙O的切線,要判定AB⊥L,還需要添加的條件是(

)A．AB經(jīng)過圓心O B．AB是直徑C．AB是直徑,B是切點 D．AB是直線,B是切點變式2．（2021·全國·九年級課時練習）如圖，內(nèi)接于，過A點作直線，當（

）時，直線與相切．A． B． C． D．變式3．（2021·全國·九年級課時練習）如圖，P是的直徑的延長線上一點，，則當（

）時，直線是的切線．A． B． C． D．◎考點題型6切線的性質定理性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑．例．（2022·河北保定·九年級期末）如圖，是的切線，是切點，若，則（

）A． B． C． D．都不對變式1．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O外一點，PO交⊙O于點C，連接BC，PA.若∠P=36°，且PA與⊙O相切，則此時∠B等于（

）A．27° B．32° C．36° D．54°變式2．（2021·福建南平·九年級階段練習）如圖，點為上一點，點為延長線上一點，切于點，連接．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．變式3．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線．若，則∠ACB的大小為（

）A． B． C． D．◎考點題型7切線長定理切線長定義：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．例．（2022·河南安陽·九年級期末）如圖，P為⊙外的一點，PA，PB分別切⊙于點A，B，CD切⊙于點E，且分別交PA，PB于點C，D，若，則的周長為（

）A．5 B．7 C．8 D．10變式1．（2022·浙江·金華市第九中學九年級階段練習）如圖，PA和PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，點D在AB上，點E，F(xiàn)分別在線段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若∠P＝α，則∠EDF的度數(shù)為（

）A．90°﹣α B．α C．2α D．90°﹣α變式2．（2021·全國·九年級課時練習）如圖，已知、是的兩條切線，、為切點，連接交于，交于，連接、，則圖中等腰三角形、直角三角形的個數(shù)分別為（

）A．1，2 B．2，2C．2，6 D．1，6變式3．（2022·山東德州·九年級期末）如圖，AB、AC為⊙O的切線，B和C是切點，延長OB到點D，使BD＝OB，連接AD，若∠DAC＝78°，則∠ADO等于（

）A．70° B．64° C．62° D．51°◎考點題型8三角形內(nèi)切圓概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形．內(nèi)心和外心的區(qū)別：外接圓圓心：三角形三邊垂直平分線的交點。作法：做三角形三邊垂直平分線，取交點即為外接圓圓心。性質：外接圓圓心到三角形三個頂點距離相等。內(nèi)切圓圓心：三角形三個內(nèi)角平分線的交點。作法：做三角形三角的角平分線，取交點即為內(nèi)接圓圓心。性質：內(nèi)接圓圓心到三角形三邊距離相離。直角三角形三邊和內(nèi)切圓半徑之間的關系：例．（2021·全國·九年級課時練習）若的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為，則其內(nèi)切圓的面積與的面積比為（

）A． B． C． D．變式1．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，O是正方形ABCD的對角線BD上一點，⊙O與邊AB，BC都相切，點E，F(xiàn)分別在AD，DC上，現(xiàn)將△DEF沿著EF對折，折痕EF與⊙O相切，此時點D恰好落在圓心O處．若DE=2，則正方形ABCD的邊長是（）A．3 B．4C． D．變式2．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，中，，是內(nèi)心，則等于（A．120° B．130° C．150° D．160°變式3．（2019·湖北武漢·三模）在Rt△ABC中，CD為斜邊AB上的高，AC=3，BC=4，分別用r、r1、r2、表示△ABC，△ACD，△BCD內(nèi)切圓的半徑，則()A．r+r1+r2= B．r+r1+r2=C．r﹣r1﹣r2=﹣ D．r﹣r1﹣r2=﹣◎考點題型9圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形概念：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形。這個圓叫做這個多邊形的外接圓。性質：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，一個外角等于其內(nèi)對角．例．（2022·廣西梧州·九年級期末）若四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A：∠C＝1：2，則∠C＝（

）A．120° B．130° C．140° D．150°變式1．（2022·安徽合肥·九年級期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠AOB=40°，BC∥OA，則∠ADC的度數(shù)為(

)A．60° B．65° C．70° D．75°變式2．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠C=120°．若AD=2，則AB的長為（）A． B．2 C．2 D．4變式3．（2021·全國·九年級專題練習）若一個正方形的周長為24，則該正方形的邊心距為（

）A． B．3 C． D．◎考點題型10圓和圓的位置關系設的半徑分別為（其中），兩圓圓心距為，則兩圓位置關系如下表：位置關系圖形定義性質及判定外離兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部．兩圓外離外切兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點之外，每個圓上的點都在另一個圓的外部．兩圓外切相交兩個圓有兩個公共點．兩圓相交內(nèi)切兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點之外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部．兩圓內(nèi)切內(nèi)含兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部，兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一種特例．兩圓內(nèi)含【說明】圓和圓的位置關系，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒有公共點，它包括外離與內(nèi)含兩種情況；相切兩圓只有一個公共點，它包括內(nèi)切與外切兩種情況．【圓和圓的位置關系小結】例．（2021·全國·九年級單元測試）已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為3和4cm，且O1O2=8cm，則⊙O1與⊙O2的位置關系是（

）A．外離 B．相交 C．相切 D．內(nèi)含變式1．（2022·上?！ひ荒＃┮阎c，，如果⊙A的半徑為2，⊙B的半徑為7，那么⊙A與⊙B的位置關系（

）A．內(nèi)切 B．外