函數(shù)單調性、奇偶性、對稱性、周期性解析

函數(shù)單調性、奇偶性、對稱性、周期性解析一、函數(shù)的單調性1．單調函數(shù)與嚴格單調函數(shù)設為定義在上的函數(shù)，若對任何，當時，總有(ⅰ)，則稱為上的增函數(shù)，特別當且僅當嚴格不等式成立時稱為上的嚴格單調遞增函數(shù)。(ⅱ)，則稱為上的減函數(shù)，特別當且僅當嚴格不等式成立時稱為上的嚴格單調遞減函數(shù)。2．函數(shù)單調的充要條件★若為區(qū)間上的單調遞增函數(shù)，、為區(qū)間內(nèi)兩任意值，那么有：或★若為區(qū)間上的單調遞減函數(shù)，、為區(qū)間內(nèi)兩任意值，那么有：或3．函數(shù)單調性的判斷(證明)(1)作差法(定義法)(2)作商法4復合函數(shù)的單調性的判定對于函數(shù)和，如果函數(shù)在區(qū)間上具有單調性，當時，且函數(shù)在區(qū)間上也具有單調性，則復合函數(shù)在區(qū)間具有單調性。5．由單調函數(shù)的四則運算所得到的函數(shù)的單調性的判斷對于兩個單調函數(shù)和，若它們的定義域分別為和，且：(1)當和具有相同的增減性時，函數(shù)、的增減性與(或)相同，、的增減性不能確定；(2)當和具有相異的增減性時，我們假設為增函數(shù)，為減函數(shù)，那么：①、的增減性不能確定；②、為增函數(shù)，為減函數(shù)。二、函數(shù)的奇偶性1.奇偶性的定義如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個，都有，則稱函數(shù)為偶函數(shù)；如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個，都有，則稱函數(shù)為奇函數(shù)。2.奇偶性的幾何意義具有奇偶性的函數(shù)的定義域關于原點對稱，奇函數(shù)的圖像關于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關于軸對稱。3.函數(shù)奇偶性的判斷(證明)(1)比較與的關系；(2)（）與的關系；(3)與的關系4.由具有奇偶性的函數(shù)的四則運算所得到的函數(shù)的奇偶性的判斷對于兩個具有奇偶性的函數(shù)和，若它們的定義域分別為和，且：(1)當和具有相同的奇偶性時，假設為奇函數(shù)，那么：①函數(shù)、也為奇函數(shù)；②、為偶函數(shù)；(2)當和具有相異的奇偶性時，那么：①、的奇偶性不能確定；②、、為奇函數(shù)。8.如果函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且最小正周期為T，那么9.如果函數(shù)所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期，如果函數(shù)的最小正周期為T則函數(shù)的最小正周期為，如果是周期函數(shù)，那么的定義域無界10.關于函數(shù)的周期性的幾個重要性質：（1）如果是R上的周期函數(shù)，且一個周期為T，那么（2）函數(shù)圖像關于軸對稱（3）函數(shù)圖像關于中心對稱（4）函數(shù)圖像關于軸對稱，關于中心對稱（5）或或或,則的周期T=2a