第屆全國中學生物理競賽復賽試題及參考答案

第屆全國中學生物理比賽復賽試題及參照答案第屆全國中學生物理比賽復賽試題及參照答案第屆全國中學生物理比賽復賽試題及參照答案第30屆全國中學生物理比賽復賽考試一試題一、（15分）一半徑為R、內(nèi)側圓滑的半球面固定在地面上，張口水平且向上.一小滑塊在半球面內(nèi)側最高點處獲取沿球面的水平速度，其大小為v0(v00).求滑塊在整個運動過程中可能達到的最大速率.重力加快度大小為g.二、（20分）一長為2l的輕質(zhì)剛性細桿位于水平的圓滑桌面上，桿的兩頭分別固定一質(zhì)量為m的小物塊D和一質(zhì)量為m（為常數(shù)）的小物塊B，桿可繞經(jīng)過小物塊B所在端的豎直固定轉(zhuǎn)軸無摩擦地轉(zhuǎn)動.一質(zhì)量為m的小環(huán)C套在細桿上（C與桿密接），可沿桿滑動，環(huán)C與桿之間的摩擦可忽視.一輕質(zhì)彈簧原長為

l，勁度系數(shù)為

k，兩頭分別與小環(huán)

C和物塊

B相連.一質(zhì)量為

m的小滑塊

A在桌面上以垂直于桿的速度飛向物塊

D，并與之發(fā)生完滿彈性正碰，碰撞時間極短

.

碰撞

時滑塊

C恰巧靜止在距軸為r（

r>l

）處.若碰前滑塊A的速度為v0，求碰撞過程中軸遇到的作使勁的沖量；2.若碰后物塊D、C和桿恰巧做勻速轉(zhuǎn)動，求碰前滑塊A的速度v0應知足的條件.三、（25分）一質(zhì)量為m、長為L的勻質(zhì)細桿，可繞過其一端的圓滑水平軸O在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動.桿在水平狀態(tài)由靜止開始下擺，1.令m表示細桿質(zhì)量線密度.當桿以角速度繞過其一端的圓滑水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動時，其L轉(zhuǎn)動動能可表示為式中，k為待定的沒有單位的純常數(shù).已知在同一單位制下，兩物理量當且僅當其數(shù)值和單位都相等時才相等.由此求出、和的值.已知系統(tǒng)的動能等于系統(tǒng)的質(zhì)量所有集中在質(zhì)心時隨質(zhì)心一同運動的動能和系統(tǒng)在質(zhì)心系（隨質(zhì)心平動的參照系）中的動能之和，求常數(shù)k的值.3.試求當桿擺至與水平方向成角時在桿上距O點為r處的橫截面雙側部分的互相作使勁.重力加快度大小為g.提示：若是X(t)是t的函數(shù)，而Y(X(t))是X(t)的函數(shù)，則Y(X(t))對t的導數(shù)為比方，函數(shù)cos(t)對自變量t的導數(shù)為四、（20分）圖中所示的靜電機由一個半徑為R、與環(huán)境絕緣的張口（朝上）金屬球殼形的容器和一個帶電液滴產(chǎn)生器G構成.質(zhì)量為m、帶電量為q的球形液滴從G遲緩地自由掉下（所謂遲緩，意指在G和容器口之間總是只有一滴液滴）.液滴開始著落時相關于地面的高度為h.設液滴很小，容器足夠大，容器在達到最高電勢從行進入容器的液體還沒有充滿容器.忽視G的電荷對正在著落的液滴的影響.重力加快度大小為g.若容器初始電勢為零，求容器可達到的最高電勢Vmax.五、（25分）平行板電容器兩極板分別位于zd的平面2內(nèi)，電容器開初未被充電.整個裝置處于平均磁場中，磁感覺強度大小為B，方向沿x軸負方向，以以下圖.在電容器參照系S中只存在磁場；而在以沿y軸正方向的恒定速度(0,v,0)（這里(0,v,0)表示為沿x、y、z軸正方向的速度重量分別為0、v、0，以下近似）相關于電容器運動的參照系

S

中，可能既有電場

(Ex,Ey

,Ez

)又有磁場

(Bx,By,Bz).

試在非相對論情況下，從伽利略速度變換，求出在參照系

S

中電場

(Ex,Ey,Ez)

和磁場(Bx,By,Bz)的表達式

.

已知電荷量和作用在物體上的協(xié)力在伽利略變換下不變2.此刻讓介電常數(shù)為方向沿y軸正方向.

.的電中性液體（絕緣體）在平行板電容器兩極板之間勻速流動，流速大小為v，在相對液體靜止的參照系（即相關于電容器運動的參照系）S中，因為液體處在第1問所述的電場(Ex,Ey,Ez)中，其正負電荷會因電場力作用而發(fā)生相對挪動（即所謂極化效應），使得液體中出現(xiàn)附帶的靜電感覺電場，因此液體中總電場強度不再是(Ex,Ey,Ez)，而是0(Ex,Ey,Ez)，這里0是真空的介電常數(shù).這將致使在電容器參照系S中電場不再為零.試求電容器參照系S中電場的強度以及電容器上、下極板之間的電勢差.（結果用0、、v、B或（和）d表出.）六、（15分）溫度開關用厚度均為0.20mm的鋼片和青銅片作感溫元件；在溫度為20C時，將它們緊貼，兩頭焊接在一同，成為等長的平直雙金屬片.若鋼和青銅的線膨脹系數(shù)分別為1.0105/度和2.0105/度.當溫度高升到120C時，雙金屬片將自動彎成圓弧形，以以下圖.試求雙金屬片曲折的曲率半徑.(忽視加熱時金屬片厚度的變化.)七、（20分）一斜劈形透明介質(zhì)劈尖，尖角為，高為h.今以尖角極點為坐標原點，成立坐標系如圖(a)所示；劈尖斜面其實是由一系列微小臺階構成的，在圖(a)中看來，每一個小臺階的前側面與xz平面平行，上表面與yz平面平行.劈尖介質(zhì)的折射率n隨x而變化，n(x)1bx，此中常數(shù)b0.一束波長為的單色平行光沿

x軸正方向照耀劈尖；劈尖后擱置一薄凸面鏡，在劈尖與薄凸面鏡之間放一檔板，在檔板上刻有一系列與

z方向平行、沿

y方向擺列的透光狹縫，如圖

(b)所示.

入射光的波面（即與平行入射光芒垂直的平面）、劈尖底面、檔板平面都與

x軸垂直，透鏡主光軸為

x軸.

要求經(jīng)過各狹縫的透射光互相在透鏡焦點處獲取增強而形成亮紋

.

已知第一條狹縫位于

y=0處；物和像之間各光芒的光程相等.1.求其余各狹縫的

y坐標；2.試說明各狹縫互相等距擺列可否仍舊知足上述要求.h圖(a)圖(b)八、（20分）光子被電子散射時，若是初態(tài)電子擁有足夠的動能，致使于在散射過程中有能量從電子轉(zhuǎn)移到光子，則y求散射后光子的能量；求逆康普頓散射可以發(fā)生的條件；若是入射光子能量為2.00eV，電子能量為1.00′109eV，求散射后光子的能量.已知Oxme=0.51′106eV/c2.計算中有必需時可利用近似：如果x1，有1-x?1-1x.2第30屆全國中學生物理比賽復賽考試一試題答案1參照解答：以滑塊和地球為系統(tǒng)，它在整個運動過程中機械能守恒.滑塊沿半球面O內(nèi)側運動時，可將其速度v分解成緯線切向(水平方向)重量v及經(jīng)線切向重量v.設滑塊質(zhì)量為m，在某中間狀態(tài)時，滑塊位于半球面內(nèi)P側P處，P和球心O的連線與水平方向的夾角為.由機械能守恒得1mv02mgRsin1mv21mv2(1)222這里已取球心O處為重力勢能零點.以過O的豎直線為軸.球面對滑塊的支持力經(jīng)過該軸，力矩為零；重力相關于該軸的力矩也為零.因此在整個運動過程中，滑塊相關于軸的角動量守恒，故mv0RmvRcos.(2)由(1)式，最大速率應與的最大值相對應vmaxv(max).(3)而由(2)式，q不可以能達到π2.由(1)和(2)式，q的最大值應與v0相對應，即v(max)0.(4)[(4)式也可用下述方法獲取：由(1)、(2)式得2gRsinv02tan2v20.若sin0，由上式得sin2gR22.cosv0實質(zhì)上，sin=0也知足上式。由上式可知sinmax2gR22.cosmaxv0由(3)式有v2(max)2gRsinmaxv02tan2max0.(4’)]將v(max)0代入式(1)，并與式(2)聯(lián)立，得v02sin2max2gRsinmax1sin2max0.(5)以sinmax為未知量，方程(5)的一個根是sinq=0q=0，這表示初態(tài)，其速率為最小值，不是所，即求的解.于是sinmax0.約去sinmax，方程(5)變成2gRsin2maxv02sinmax2gR0.(6)其解為v02g2R2sinmax4gR116v041.(7)注意到此題中sin0，方程(6)的另一解不合題意，舍去.將(7)式代入(1)式得，當max時，v21v02v0416g2R2,(8)2考慮到(4)式有vmaxv21v02v0416g2R2.(9)2評分標準：此題15分.(1)式3分，(2)式3分，(3)式1分，(4)式3分，(5)式1分，(6)式1分，(7)式1分，(9)式2分.2參照解答：1.因為碰撞時間t很小，彈簧來不及伸縮碰撞已結束.設碰后A、C、D的速度分別為vA、vC、vD，明顯有vD2lvC.(1)r以A、B、C、D為系統(tǒng)，在碰撞過程中，系統(tǒng)相關于軸不受外力矩作用，其相關于軸的角動量守恒mvD2lmvCrmvA2lmv02l.(2)因為軸對系統(tǒng)的作使勁不做功，系統(tǒng)內(nèi)僅有彈力起作用，因此系統(tǒng)機械能守恒.又因為碰撞時間t很小，彈簧來不及伸縮碰撞已結束，因此不用考慮彈性勢能的變化.故12121212(3)2mvD2mvC2mvA2mv0.由(1)、(2)、(3)式解得vC4lr2v0,vD8l22v0,vAr22v0(4)2r8l2r8l2r8l[取代(3)式，可利用彈性碰撞特色v0vDvA.(3’)相同可解出(4).]設碰撞過程中D對A的作使勁為F1，對A用動量定理有22F1tmvAmv04lr,(5)222mv08lr方向與v0方向相反.于是，A對D的作使勁為F1的沖量為F1t4l2r2(6)8l2r22mv0方向與v0方向相同.以B、C、D為系統(tǒng)，設其質(zhì)心離轉(zhuǎn)軸的距離為x，則xmrm2l2lr.(7)(2)m2質(zhì)心在碰后瞬時的速度為vvCx(4l(2l2r)2v0.(8)r2)(8lr)軸與桿的作用時間也為t，設軸對桿的作使勁為F2，由質(zhì)心運動定理有F2tF1t2m4l(2lr)m0.(9)22v8lrv由此得Ftr(2lr)2m.(10)228lr方向與v0方向相同.因此，軸遇到桿的作使勁的沖量為Ftr(2lr)2m,(11)8l2r22v0方向與v0方向相反.注意：因彈簧處在拉伸狀態(tài)，碰前軸已遇到沿桿方向的作使勁；在碰撞過程中還有與向心力相關的力作用于軸.但有限大小的力在無量小的碰撞時間內(nèi)的沖量趨于零，已忽視.[取代(7)-(9)式，可利用關于系統(tǒng)的動量定理F2tF1tmvCmvD.][也可由對證心的角動量定理取代(7)-(9)式.]2.值得注意的是，(1)、(2)、(3)式是當碰撞時間極短、致使于彈簧來不及伸縮的條件下才成立的.若是彈簧的彈力恰巧供給滑塊C以速度vC4lr2v0繞過B的軸做勻速圓周運動的向心力，即8l2rkrmvC216l2rm2r(8l2r2)2v0(12)則彈簧總保持其長度不變，(1)、(2)、(3)式是成立的.由(12)式得碰前滑塊A的速度v0應知足的條件v0(8l2r2)kr4lmr(13)可見，為了使碰撞后系統(tǒng)能保持勻速轉(zhuǎn)動，碰前滑塊A的速度大小v0應知足(13)式.評分標準：此題20分.第1問16分，(1)式1分，(2)式2分，(3)式2分，(4)式2分，(5)式2分，(6)式1分，(7)式1分，(8)式1分，(9)式2分，(10)式1分，(11)式1分；第2問4分，(12)式2分，(13)式2分.3參照解答：1.當桿以角速度繞過其一端的圓滑水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動時，其動能是獨立變量、和L的函數(shù)，按題意可表示為EkkL(1)式中，k為待定常數(shù)（單位為1）.令長度、質(zhì)量和時間的單位分別為[L]、[M]和[T]（它們可視為互相獨立的基本單位），則、、L和Ek的單位分別為[][M][L]1,[][T]1,(2)[L][L],22[Ek][M][L][T]在一般情況下，若[q]表示物理量q的單位，則物理量q可寫為q(q)[q](3)式中，(q)表示物理量q在取單位[q]時的數(shù)值.這樣，(1)式可寫為(Ek)[Ek]k()()(L)[][][L](4)在由(2)表示的同一單位制下，上式即(Ek)k()()(L)(5)[Ek][][][L](6)將(2)中第四式代入(6)式得[M][L]22[M][L][T](7)[T](2)式并未規(guī)定基本單位[L]、[M]和[T]的絕對大小，因此(7)式關于隨意大小的[L]、[M]和[T]均成立，于是1,2,3(8)因此Ekk2L3(9)由題意，桿的動能為EkEk,cEk,r(10)此中，1mvc21(L)L2Ek,c(11)222注意到，桿在質(zhì)心系中的運動可視為兩根長度為L的桿過其公共端（即質(zhì)心）的圓滑水平軸在鉛直平面2內(nèi)轉(zhuǎn)動，因此，桿在質(zhì)心系中的動能Ek,r為L3Ek,r2Ek(,2k2L(12),)22將(9)、(11)、(12)式代入(10)式得1L22L3k2L3L2k(13)222由此解得k1(14)6于是Ek=1lw2L3.(15)6以細桿與地球為系統(tǒng)，下擺過程中機械能守恒EkmgLsin(16)2由(15)、(16)式得w=3gsinq(17).L以在桿上距O點為r處的橫截面外側長為Lr的那一段為研究對象，該段質(zhì)量為Lr，其質(zhì)心速度為vcrLrLr(18)22.設另一段對該段的切向力為T(以增大的方向為正方向)，法向(即與截面相垂直的方向)力為N(以指向O點方向為正向)，由質(zhì)心運動定理得TLrgcosLrat(19)NLrgsinLran(20)式中，at為質(zhì)心的切向加快度的大小dcLrdLrdd3Lrgcos(21)at2dt2ddt4Ldt而an為質(zhì)心的法向加快度的大小an2Lr3Lrgsin(22)22L.由(19)、(20)、(21)、(22)式解得Lr3rL(23)T4L2mgcosLr5L3r(24)N2mgsin2L評分標準：此題25分.第1問5分，(2)式1分，(6)式2分，(7)式1分，(8)式1分；第2問7分，(10)式1分，(11)式2分，(12)式2分，(14)式2分；不依靠第1問的結果，用其余方法正確得出此問結果的，相同給分；第3問13分，(16)式1分，(17)式1分，(18)式1分，(19)式2分，(20)式2分，(21)式2分，(22)式2分，(23)式1分，(24)式1分；不依靠第1、2問的結果，用其余方法正確得出此問結果的，相同給分.4參照解答：設在某一時辰球殼形容器的電量為Q.以液滴和容器為系統(tǒng)，考慮從一滴液滴從帶電液滴產(chǎn)生器G出口自由著落到容器口的過程.依據(jù)能量守恒有mghQq122mgRQq(1)kRmvk.h2R式中，v為液滴在容器口的速率，k是靜電力常量.由此得液滴的動能為1mv2mg(h2R)kQq(h2R).(2)2(hR)R從上式可以看出，跟著容器電量Q的增添，落下的液滴在容器口的速率v不停變??；當液滴在容器口的速率為零時，不可以進入容器，容器的電量停止增添，容器達到最高電勢.設容器的最大電量為Qmax，則有mg(h2R)Qmaxq(h2R)0.(3)kR)R(h由此得Qmaxmg(hR)R(4)kq.容器的最高電勢為VmaxkQmax(5)R由(4)和(5)式得Vmaxmg(hR)(6)q評分標準：此題20分.(1)式6分，(2)式2分，(3)式4分，(4)式2分，(5)式3分，(6)式3分.5參照解答：1.一個帶電量為q的點電荷在電容器參照系S中的速度為(ux,uy,uz)，在運動的參照系S中的速度為(ux,uy,uz).在參照系S中只存在磁場(Bx,By,Bz)(B,0,0)，因此這個點電荷在參照系S中所受磁場的作使勁為Fx0,FyquzB,(1)FzquyB在參照系S中可能既有電場(E,E,E)又有磁場(B,B,B)，因此點電荷q在S參照系中所受電場xyzxyz和磁場的作使勁的協(xié)力為Fxq(ExFyq(EyFzq(Ez兩參照系中電荷、協(xié)力和速度的變換關系為

uyBzuxBzuxBy

uzBy),uzBx),(2)uyBx)qq,(Fx,Fy,Fz)(Fx,Fy,Fz),(3)(ux,uy,uz)(ux,uy,uz)(0,v,0)由(1)、(2)、(3)式可知電磁場在兩參照系中的電場強度和磁感覺強度知足Ex(uyv)BzuzBy0,EyuxBzuzBxuzB,(4)EzuxBy(uyv)BxuyB它們關于隨意的(x,uy,z)都成立，故uu(Ex,Ey,Ez)(0,0,vB),(5)(Bx,By,Bz)(B,0,0)可見兩參照系中的磁場相同，但在運動的參照系S中卻出現(xiàn)了沿z方向的勻強電場.2.此刻，電中性液體在平行板電容器兩極板之間以速度(0,v,0)勻速運動.電容器參照系S中的磁場會在液體參照系S中產(chǎn)生由(5)式中第一個方程給出的電場.這個電場會把液體極化，使得液體中的電場為(Ex,Ey,Ez)0(0,0,vB).(6)為了求出電容器參照系S中的電場，我們再次考慮電磁場的電場強度和磁感覺強度在兩個參照系之間的變換，從液體參照系S中的電場和磁場來確立電容器參照系S中的電場和磁場.考慮一帶電量為q的點電荷在兩參照系中所受的電場和磁場的作使勁.在液體參照系S中，這力(Fx,Fy,Fz)如(2)式所示.它在電容器參照系S中的形式為Fxq(ExuyBzuzBy),Fyq(EyuxBzuzBx),(7)Fzq(EzuxByuyBx)利用兩參照系中電荷、協(xié)力和速度的變換關系(3)以及(6)式，可得ExuyBzuzBy0,EyuxBzuzBxuzB,(8)EzuxByuyBx0vBv)B(uy關于隨意的(ux,uy,uz)都成立，故(Ex,Ey,Ez)(0,0,(01)vB),(9)(Bx,By,Bz)(B,0,0)可見，在電容器參照系S中的磁場仍為本來的磁場，現(xiàn)因為運動液體的極化，也存在電場，電場強度如(9)中第一式所示.注意到(9)式所示的電場為平均電場，由它產(chǎn)生的電容器上、下極板之間的電勢差為VEzd.(10)由(9)式中第一式和(10)式得V10vBd.(11)評分標準：此題25分.第1問12分，(1)式1分，(2)式3分，(3)式3分，(4)式3分，(5)式2分；第2問13分，(6)式1分，(7)式3分，(8)式3分，(9)式2分，(10)式2分，(11)式2分.6參照解答：設彎成的圓弧半徑為r，金屬片原長為l，圓弧所對的圓心角為，鋼和青銅的線膨脹系數(shù)分別為1和2，鋼片和青銅片溫度由T120C高升到T2120C時的伸長量分別為l1和l2.關于鋼片(rd)ll1(1)2?l1l1(T2T1)(2)式中，d0.20mm.關于青銅片(rd)ll2(3)2?l2l2(T2T1)(4)聯(lián)立以上各式得r

2(2(

12)(T2T1)d2.0102mm(5)21)(T2T1)評分標準：此題15分.(1)式3分，(2)式3分，(3)式3分，(4)式3分，(5)式3分.7參照解答：1.考慮射到劈尖上某y值處的光芒，計算該光芒由x0到xh之間的光程y.將該光芒在介質(zhì)中的光程記為1，在空氣中的光程記為2.介質(zhì)的折射率是不平均的，光入射到介質(zhì)表面時，在x0處，該處介質(zhì)的折射率n01；射到x處時，該處介質(zhì)的折射率nx1bx.因折射率隨x線性增添，光芒從x0處射到xh1（h1是劈尖上y值處光芒在劈尖中流傳的距離）處的光程1與光經(jīng)過折射率等于平均折射率n111(1)n0nh111bh11bh1222的平均介質(zhì)的光程相同，即1nh1h11bh12(2)2忽視透過劈尖斜面相鄰小臺階連結處的光芒（事實上，可經(jīng)過選擇臺階的尺度和檔板上狹縫的地點來避開這些光芒的影響），光芒透過劈尖后其流傳方向保持不變，因此有2hh1(3)于是y12h1bh12.(4)2由幾何關系有h1ytan.(5)故yhby2tan2.(6)2從介質(zhì)出來的光經(jīng)過狹縫后仍平行于x軸，狹縫的y值應與對應介質(zhì)的y值相同，這些平行光芒匯聚在透鏡焦點處.關于y0處，由上式得d(0)=h.(7)y處與y0處的光芒的光程差為yb22.(8)0ytan2因為物像之間各光芒的光程相等，故平行光芒之間的光程差在經(jīng)過透鏡前和匯聚在透鏡焦點處時保持不變；因此(8)式在透鏡焦點處也成立.為使光芒經(jīng)透鏡匯聚后在焦點處互相增強，要求兩束光的光程差為波長的整數(shù)倍，即b22,k1,2,3,.(9)ytank2由此得y2kcotAk,A2cot.(10)bb除了位于y=0處的狹縫外，其余各狹縫對應的y坐標挨次為A,2A,3A,4A,.(11)2.各束光在焦點處互相增強，其實不要