題型專練06-新高考開放性試題（解析版）

新高考開放性試題題型專練061．“悅跑圈”是一款基于社交型的跑步應(yīng)用，用戶通過該平臺(tái)可查看自己某時(shí)間段的運(yùn)動(dòng)情況，某人根據(jù)年月至年月期間每月跑步的里程（單位：十公里）的數(shù)據(jù)繪制了下面的折線圖，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A．月跑步里程逐月增加B．月跑步里程最大值出現(xiàn)在月C．月跑步里程的中位數(shù)為月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)D．月至月的月跑步里程相對(duì)于月至月波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)【答案】BCD【解析】根據(jù)折線圖，判斷A，B，D選項(xiàng)的正確性，判斷出中位數(shù)所在的月份，由此判斷C選項(xiàng)的正確性．根據(jù)折線圖可知，月跑步里程下降了，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤．根據(jù)折線圖可知，月的跑步里程最大，故B選項(xiàng)正確．一共個(gè)月份，里程中間的是從小到大的第個(gè)，根據(jù)折線圖可知，跑步里程的中位數(shù)為月份對(duì)應(yīng)的里程數(shù)，故C選項(xiàng)正確．根據(jù)折線圖可知，月至月的月跑步里程相對(duì)于月至月波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)，故D選項(xiàng)正確．綜上所述，正確的選項(xiàng)為BCD．故選：BCD2．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，C，D分別為A，B在l上的射影，且，M為AB中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．為等腰直角三角形C．直線AB的斜率為 D．的面積為4【答案】AC【解析】A．根據(jù)拋物線性質(zhì)，結(jié)合角度之間的關(guān)系，求解出的度數(shù)；B．利用拋物線的焦半徑結(jié)合，判斷為等腰直角三角形的可能性；C．根據(jù)，設(shè)出直線方程完成直線斜率的求解；D．取直線的方程，聯(lián)立拋物線方程求解出的值，根據(jù)求解出三角形面積．過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，，設(shè)，如下圖所示：A．因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以平分，同理可知平分，所以，故結(jié)論正確；B．假設(shè)為等腰直角三角形，所以，所以四點(diǎn)共圓且圓的半徑為，又因?yàn)椋?，所以，所以，所以，顯然不成立，故結(jié)論錯(cuò)誤；C．設(shè)直線的方程為，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以直線的斜率為，故結(jié)論正確；D．取，由上可知，所以，所以，故結(jié)論錯(cuò)誤．故選：AC．3．已知等比數(shù)列中，滿足，則（）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列中，仍成等比數(shù)列【答案】AC【解析】根據(jù)題意求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出數(shù)列，，的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列類型，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，可求出，即可判斷選項(xiàng)的真假．等比數(shù)列中，，所以，．于是，，，故數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列．因?yàn)椋圆怀傻缺葦?shù)列．故選：AC．4．正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為的中點(diǎn)．則（）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為 D．點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等【答案】BC【解析】利用向量法判斷異面直線所成角；利用面面平行證明線面平行；作出正方體的截面為等腰梯形，求其面積即可；利用等體積法處理點(diǎn)到平面的距離．對(duì)選項(xiàng)A：（方法一）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、．從而，，從而，所以與直線不垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；（方法二）取的中點(diǎn)，連接，則為直線在平面內(nèi)的射影，與不垂直，從而與也不垂直，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)為，連接、，則，，易證，從而，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，連接，，易知四邊形為平面截正方體所得的截面四邊形（如圖所示），且，，所以，而，從而選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：（方法一）由于，而，而，，所以，即，點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到平面的距離的二倍．從而D錯(cuò)誤．（方法二）假設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，即平面將平分，則平面必過的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，易知不是的中點(diǎn)，故假設(shè)不成立，從而選項(xiàng)D錯(cuò)誤．5．已知曲線則為了得到曲線C1，首先要把C2上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)榈皆瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右至少平移個(gè)單位長(zhǎng)度；（本題所填數(shù)字要求為正數(shù)）【答案】2，【解析】y＝cosx＝sin（x+），把C2上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)榈皆瓉淼?倍得到y(tǒng)＝sin（x+），∵sin（x+）＝sin（x++），∴此時(shí)再把得到的曲線向右至少平移個(gè)單位即可，故答案為：2，．6．已知二次函數(shù)f（x）＝ax2+bx+1，一次函數(shù)g（x）＝x﹣1，不等式f（x）≤g（x）的解集為[1，2]，則ab＝；記函數(shù)h（x）＝，則h（x）的最小值是．【答案】﹣2；0【解析】已知二次函數(shù)f（x）＝ax2+bx+1，一次函數(shù)g（x）＝x﹣1，不等式f（x）≤g（x）的解集為[1，2]，∴ax2+（b﹣1）x+2＝0的兩根為1和2，∴，∴，∴ab＝1．∴，函數(shù)圖象如下圖：由圖知h（x）的最小值在x＝1處取得為0．故答案為：﹣2；0．7．（2020?濟(jì)寧模擬）現(xiàn)給出兩個(gè)條件：①，②．從中選出一個(gè)條件補(bǔ)充在下面的問題中，并以此為依據(jù)求解問題：在中，，，分別為內(nèi)角，，所對(duì)的邊，①②，（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求面積的最大值．【解析】選擇條件：①，（Ⅰ）由余弦定理可得，整理可得，可得，，．（Ⅱ），，由余弦定理，可得，，可得，，即面積的最大值為．選擇條件：②．（Ⅰ）由題意可得，，，可得，，．（Ⅱ），，由余弦定理，可得，，可得，，即面積的最大值為．8．（2020?濰坊模擬）現(xiàn)在給出三個(gè)條件：①；②；③．試從中選出兩個(gè)條件，補(bǔ)充在下面的問題中，使其能夠確定，并以此為依據(jù)，求的面積．在中，、、分別是角、、的對(duì)邊，①，，且滿足，求的面積（選出一種可行的方案解答，若選出多個(gè)方案分別解答，則按第一個(gè)解答記分）【解析】選①③因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，由余弦定理可得，，解可得，，，故．故答案為：①③?．（2020?臨朐縣模擬）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，若問題中的存在，求出的值；若不存在，說明理由．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，是否存在，使得對(duì)任意，恒成立？【解析】選擇③．?dāng)?shù)列的首項(xiàng)，公差．．設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，解得．．．，（1），（2），（3），時(shí)，．因此存在正整數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立．10．（2020?北京模擬）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的正整數(shù)存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，是等比數(shù)列，4，，，．是否存在，使得且？【解析】選擇①，又，，．則，，，．解得，，．．．假設(shè)存在使得且．則，，化為：，解得．故答案為：4．11．在①；②這兩個(gè)條件中任選-一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題．在中，角的對(duì)邊分別為，已知，．（1）求；（2）如圖，為邊上一點(diǎn)，，求的面積【解析】若選擇條件①，則答案為：（1）在中，由正弦定理得，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以．?）解法1：設(shè)，易知在中由余弦定理得：，解得．所以在中，，所以，所以，所以解法2：因?yàn)椋?，因?yàn)樗?，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，又，所以所以若選擇條件②，則答案為：（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，則，所以．（2）同選擇①12．（2020?漳州模擬）已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知垂直于x軸的直線l1交E于A、B兩點(diǎn)，垂直于y軸的直線l2交E于C、D兩點(diǎn)，l1與l2的交點(diǎn)為P，且|AB|＝|CD|，間：是否存在兩定點(diǎn)M，N，使得||PM|﹣|PN||為定值？若存在，求出M，N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）由題意得，c＝1，橢圓的兩焦點(diǎn)為（1，0）和（﹣1，0），因?yàn)辄c(diǎn)（﹣1，22）在橢圓C所以根據(jù)橢圓定義可得：2a所以a=2，所以b2＝a2﹣c2＝1所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)A（x1，y1），B（x1，﹣y1），C（x2，y2），D（﹣x2，y2），則P（x1，y2），x122+y12=1，x2消去x2，y1，得2y所以點(diǎn)P在雙曲線T：2y2因?yàn)門的兩個(gè)焦點(diǎn)為M（0，102），所以存在兩定點(diǎn)M（0，102使得||PM|﹣|PN||為定值2．13．（2019秋?湖南期末）已知函數(shù)f（x）=lnx+1-（1）求a的取值范圍．（2）求f（x）的極大值與極小值之和的取值范圍．（3）若m∈（0，12），n【解析】（1）f′（x）=1x-1-a因?yàn)閒（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2．所以x2﹣x+a＝0有兩個(gè)不同的正根，故0＜（2）因?yàn)閤1x2＝a，x1+x2＝1，不妨設(shè)x1＜x2，所以f（x）極小值＝f（x1），f（x）極大值＝f（x2），所以以f（x）極小值+f（x）極大值＝f（x1）+f（x2）＝lnx1x2+2（1﹣2a）+a（x1+x2）x1x2-令t（a）＝lna﹣4a+2，則t′（a）=1a所以t（a）在（0，14）上單調(diào)遞增，所以t（a）＜t（14）＝1﹣2ln即f（x）的極大值與極小值之和的取值范圍是（﹣∞，1﹣2ln2）．（3）由（2）知x1x2＝a，x1+x2＝1．因?yàn)閙∈（0，1所以f（x）min＝f（x1），f（x）max＝f（x2），所以[f（m）﹣f（n）]min＝f（x1）﹣f（x2）＝lnx1x2+x2﹣x因?yàn)閤1＝1﹣x2，所以[f（m）﹣f（n）]min＝ln1-x2x2+2（x2﹣1）＝ln（1﹣x2）﹣lnx2+4x2﹣令h（x）＝ln（1﹣x）﹣lnx+4x﹣2，（12則h′（x）=1x-所以h（x）在（12，1）上單調(diào)遞減，h故f（m）﹣f（n）沒有最小值．14．（2020?漳州模擬）某省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生從政治、化學(xué)、生物、地理四門中選兩科，按照等級(jí)賦分計(jì)入高考成績(jī)，等級(jí)賦分規(guī)則如下：從2021年夏季高考開始，高考政治、化學(xué)、生物、地理四門等級(jí)考試科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為15%，35%，35%，13%，2%，等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A到E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到[86，100]、[71，85]、[56，70]、[41，55]、[30，40]五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)分，等級(jí)轉(zhuǎn)換分滿分為100分，具體轉(zhuǎn)換區(qū)間如表：等級(jí)ABCDE比例15%35%35%13%2%賦分區(qū)間[86，100][71，85][56，70][41，55][30，40]而等比例轉(zhuǎn)換法是通過公式計(jì)算：Y2其中Y1，Y2分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，T1，T2分別表示等級(jí)分區(qū)間的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示轉(zhuǎn)換分，當(dāng)原始分為Y1，Y2時(shí)，等級(jí)分分別為T1，T2．假設(shè)小南的化學(xué)考試成績(jī)信息如表：考生科目考試成績(jī)成績(jī)等級(jí)原始分區(qū)間等級(jí)分區(qū)間化學(xué)75分B等級(jí)[69，84][71，85]設(shè)小南轉(zhuǎn)換后的等級(jí)成績(jī)?yōu)門，根據(jù)公式得：84-7576-69=85-TT-71，所以T＝76已知某年級(jí)學(xué)生有100人選了化學(xué)，以半期考試成績(jī)?yōu)樵汲煽?jī)轉(zhuǎn)換本年級(jí)的化學(xué)等級(jí)成績(jī)，其中化學(xué)成績(jī)獲得A等級(jí)的學(xué)生原始成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表：成績(jī)95939190888785人數(shù)1232322（1）從化學(xué)成績(jī)獲得A等級(jí)的學(xué)生中任取2名．求恰好有1名同學(xué)的等級(jí)成績(jī)不小于96分的概率；（2）從化學(xué)成績(jī)獲得A等級(jí)的學(xué)生中任取5名，設(shè)5名學(xué)生中等級(jí)成績(jī)不小于96分人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望