北京市昌平區(qū)三年(2023-2022)九年級上學期期末數(shù)學試題匯編（4份打包 含解析）

第第頁北京市昌平區(qū)三年(2023-2022)九年級上學期期末數(shù)學試題匯編（4份打包含解析）北京市昌平區(qū)三年(2023-2022)九年級上學期期末數(shù)學試題匯編-02填空題知識點分類

一．列代數(shù)式（共1小題）

1．（2022秋昌平區(qū)期末）某快遞員負責為A，B，C，D，E五個小區(qū)取送快遞，每送一個快遞收益1元，每取一個快遞收益2元，某天5個小區(qū)需要取送快遞數(shù)量如表

小區(qū)需送快遞數(shù)量需取快遞數(shù)量

A156

B105

C85

D47

E134

（1）如果快遞員一個上午最多前往3個小區(qū)，且要求他最少送快遞30件，最少取快遞15件，寫出一種滿足條件的方案（寫出小區(qū)編號）；

（2）在（1）的條件下，如果快遞員想要在上午達到最大收益，寫出他的最優(yōu)方案（寫出小區(qū)編號）．

二．反比例函數(shù)的性質（共1小題）

2．（2023秋昌平區(qū)期末）已知反比例函數(shù)y＝的圖象分布在第二、四象限，則m的取值范圍是．

三．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征（共1小題）

3．（2023秋昌平區(qū)期末）點A（2，y1），B（3，y2）是反比例函數(shù)圖象上的兩點，那么y1，y2的大小關系是y1y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）

四．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共1小題）

4．（2022秋昌平區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x與雙曲線y＝交于A，B兩點．若點A，B的縱坐標分別為y1，y2，則y1+y2的值為．

五．二次函數(shù)的性質（共3小題）

5．（2023秋昌平區(qū)期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：

x…﹣2﹣1012…m…

y…04664…﹣6…

則這個二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝，m＝（m＞0）．

6．（2023秋昌平區(qū)期末）寫出一個開口向下，與y軸交于點（0，1）的拋物線的函數(shù)表達式：．

7．（2022秋昌平區(qū)期末）寫出一個開口向上，過（0，2）的拋物線的函數(shù)表達式．

六．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系（共1小題）

8．（2023秋昌平區(qū)期末）拋物線y＝﹣x2+2x+m交x軸于點A（a，0）和B（b，0）（點A在點B左側），拋物線的頂點為D，下列四個結論：

①拋物線過點（2，m）；

②當m＝0時，△ABD是等腰直角三角形；

③a+b＝4；

④拋物線上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2．

其中結論正確的序號是．

七．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征（共2小題）

9．（2023秋昌平區(qū)期末）點A（﹣1，y1），B（4，y2）是二次函數(shù)y＝（x﹣1）2圖象上的兩個點，則y1y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．

10．（2023秋昌平區(qū)期末）點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≥0）是y＝ax2（a≠0）圖象上的點，存在|x1﹣x2|＝1時，|y1﹣y2|＝1成立，寫出一個滿足條件a的值．

八．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共1小題）

11．（2023秋昌平區(qū)期末）請寫出一個開口向上且過點（0，﹣2）的拋物線表達式為．

九．三角形的面積（共1小題）

12．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，平行四邊形ABCD中，延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE，交CD于點F，若△DEF的面積為2，則△CBF的面積為．

一十．垂徑定理（共2小題）

13．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E，CD＝16，BE＝4，則CE＝，⊙O的半徑為．

14．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，若AB＝10，CD＝8，則OH的長度為．

一十一．垂徑定理的應用（共1小題）

15．（2022秋昌平區(qū)期末）我國古代著名數(shù)學著作《九章算術》總共收集了246個數(shù)學問題，這些問題的算法要比歐洲同類算法早1500年，其中有這樣一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學語言可以表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，CE＝1寸，AB＝10寸（注：1尺＝10寸），則可得直徑CD的長為寸”．

一十二．圓周角定理（共1小題）

16．（2022秋昌平區(qū)期末）如圖，△ABC中，AC＝AB，以AB為直徑作⊙O，交BC于D，交AC于E．若∠BAD＝25°，則∠EDC＝°．

一十三．直線與圓的位置關系（共1小題）

17．（2023秋昌平區(qū)期末）已知⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為4cm，那么直線l與⊙O的位置關系是．

一十四．切線的性質（共2小題）

18．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，C是優(yōu)弧AB上的一個動點，若∠P＝50°，則∠ACB＝°．

19．（2022秋昌平區(qū)期末）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，AC為⊙O的直徑，AC＝4，∠C＝60°，則PA＝．

一十五．三角形的內切圓與內心（共1小題）

20．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，已知∠A＝40°，連接OB，OC，DE，EF，則∠BOC＝°，∠DEF＝°．

一十六．正多邊形和圓（共1小題）

21．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，⊙O的半徑為6，則的長為．

一十七．弧長的計算（共2小題）

22．（2023秋昌平區(qū)期末）若扇形的圓心角為60°，半徑為2，則該扇形的弧長是（結果保留π）．

23．（2022秋昌平區(qū)期末）在半徑為1cm的圓中，60°的圓心角所對弧的弧長是cm．

一十八．解直角三角形（共1小題）

24．（2022秋昌平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝3，sinB＝，∠C＝45°，則AC的長為．

北京市昌平區(qū)三年(2023-2022)九年級上學期期末數(shù)學試題匯編-02填空題知識點分類

參考答案與試題解析

一．列代數(shù)式（共1小題）

1．（2022秋昌平區(qū)期末）某快遞員負責為A，B，C，D，E五個小區(qū)取送快遞，每送一個快遞收益1元，每取一個快遞收益2元，某天5個小區(qū)需要取送快遞數(shù)量如表

小區(qū)需送快遞數(shù)量需取快遞數(shù)量

A156

B105

C85

D47

E134

（1）如果快遞員一個上午最多前往3個小區(qū)，且要求他最少送快遞30件，最少取快遞15件，寫出一種滿足條件的方案ABC或ABE或ACE或ADE；（寫出小區(qū)編號）；

（2）在（1）的條件下，如果快遞員想要在上午達到最大收益，寫出他的最優(yōu)方案ABE（寫出小區(qū)編號）．

【答案】（1）ABC或ABE或ACE或ADE；

（2）ABE．

【解答】解：（1）如果是ABC三個小區(qū)，需送：15+10+8＝33＞30，需取：6+5+5＝16＞15，符合要求；

如果是ABE三個小區(qū)，需送：15+8+13＝38＞30，需取：6+5+4＝15，符合要求；

如果是ACE三個小區(qū)，需送：15+8+13＝36＞30，需?。?+5+4＝15，符合要求；

如果是ADE三個小區(qū)，需送：15+4+13＝32＞30，需?。?+7+4＝17＞15，符合要求；

故答案為：ABC或ABE或ACE或ADE；

（2）若選ABC，收益為：33+16×2＝65（元）；

若選ABE，收益為：38+15×2＝68元）；

若選ACE，收益為：36+15×2＝66元）；

若選ADE，收益為：32+17×2＝66（元）；

∵68＞66＞65，

故答案為：ABE．

二．反比例函數(shù)的性質（共1小題）

2．（2023秋昌平區(qū)期末）已知反比例函數(shù)y＝的圖象分布在第二、四象限，則m的取值范圍是m＜1．

【答案】見試題解答內容

【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象分布在第二、四象限，

∴m﹣1＜0．

解得m＜1．

故答案為：m＜1．

三．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征（共1小題）

3．（2023秋昌平區(qū)期末）點A（2，y1），B（3，y2）是反比例函數(shù)圖象上的兩點，那么y1，y2的大小關系是y1＜y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）

【答案】＜．

【解答】解點A（2，y1），B（3，y2）是反比例函數(shù)圖象上的兩點，

∴y1＝﹣＝﹣3，y2＝﹣＝﹣2，

∴y1＜y2．

故答案為＜．

四．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共1小題）

4．（2022秋昌平區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x與雙曲線y＝交于A，B兩點．若點A，B的縱坐標分別為y1，y2，則y1+y2的值為0．

【答案】見試題解答內容

【解答】解：方法一、∵直線y＝x與雙曲線y＝交于A，B兩點，

∴聯(lián)立方程組得：，

解得：，，

∴y1+y2＝0，

方法二、∵直線y＝x與雙曲線y＝交于A，B兩點，

∴點A，點B關于原點對稱，

∴y1+y2＝0，

故答案為：0．

五．二次函數(shù)的性質（共3小題）

5．（2023秋昌平區(qū)期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：

x…﹣2﹣1012…m…

y…04664…﹣6…

則這個二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝，m＝4（m＞0）．

【答案】，4．

【解答】解：∵x＝0，y＝6；x＝1，y＝6，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝，

∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過點（0，6），

∴c＝6，

∵拋物線y＝ax2+bx+6過點（﹣1，4）和（1，6），

∴，

解得：，

∴二次函數(shù)的表達式為：y＝﹣x2+x+6，

把y＝﹣6代入得，﹣6＝﹣x2+x+6，

解得x＝4或x＝﹣3，

∵m＞2，

∴m＝4，

故答案為，4．

6．（2023秋昌平區(qū)期末）寫出一個開口向下，與y軸交于點（0，1）的拋物線的函數(shù)表達式：y＝﹣x2+1．

【答案】y＝﹣x2+1，（答案不唯一）．

【解答】解：設二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c，

∵該函數(shù)的圖象開口向下，

∴a＜0，可以取a＝﹣1，

∵當x＝0，y＝1，

∴c＝1，

∴滿足條件的一個函數(shù)為y＝﹣x2+1，

故答案為：y＝﹣x2+1，（答案不唯一）．

7．（2022秋昌平區(qū)期末）寫出一個開口向上，過（0，2）的拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)＝x2+2（本題答案不唯一）．

【答案】y＝x2+2（本題答案不唯一）．

【解答】解：一個開口向上，過（0，2）的拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2+2，

故答案為：y＝x2+2（本題答案不唯一）．

六．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系（共1小題）

8．（2023秋昌平區(qū)期末）拋物線y＝﹣x2+2x+m交x軸于點A（a，0）和B（b，0）（點A在點B左側），拋物線的頂點為D，下列四個結論：

①拋物線過點（2，m）；

②當m＝0時，△ABD是等腰直角三角形；

③a+b＝4；

④拋物線上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2．

其中結論正確的序號是①②④．

【答案】①②④．

【解答】解：①∵把x＝2代入y＝﹣x2+2x+m得，y＝m，

∴拋物線過點（2，m），

故①正確；

②當m＝0時，拋物線與x軸的兩個交點坐標分別為（0，0）、（2，0），

對稱軸為x＝1，

∴△ABD是等腰直角三角形，

故②正確；

③∵拋物線y＝﹣x2+2x+m交x軸于點A（a，0）和B（b，0）（點A在點B左側），

∴a、b是方程＝﹣x2+2x+m＝0的兩個根，

∴a+b＝﹣＝2，

故③錯誤；

④觀察二次函數(shù)圖象可知：

當x1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2．

故④正確．

故答案為：①②④．

七．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征（共2小題）

9．（2023秋昌平區(qū)期末）點A（﹣1，y1），B（4，y2）是二次函數(shù)y＝（x﹣1）2圖象上的兩個點，則y1＜y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．

【答案】＜．

【解答】解：把A（﹣1，y1）、B（4，y2）代入二次函數(shù)y＝（x﹣1）2得，

y1＝（﹣1﹣1）2＝4；y2＝（4﹣1）2＝9，

所以y1＜y2．

故答案為＜．

10．（2023秋昌平區(qū)期末）點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≥0）是y＝ax2（a≠0）圖象上的點，存在|x1﹣x2|＝1時，|y1﹣y2|＝1成立，寫出一個滿足條件a的值1（答案不唯一）．

【答案】1（答案不唯一）．

【解答】解：∵y＝ax2（a≠0），

∴對稱軸為y軸，

∵x1x2≥0，

∴x1、x2不在對稱軸的異側，

∵|x1﹣x2|＝1，

當x1＞x2＝0時，則x1＝1，

∴y1＝a，y2＝0，

∵|y1﹣y2|＝1，

∴a﹣0＝1，

∴a＝1，

故答案為：1（答案不唯一）．

八．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共1小題）

11．（2023秋昌平區(qū)期末）請寫出一個開口向上且過點（0，﹣2）的拋物線表達式為y＝x2﹣2．

【答案】y＝x2﹣2．

【解答】解：設拋物線的解析式為y＝x2+m，

把（0，﹣2）代入得m＝﹣2，

所以滿足條件的拋物線解析式為y＝x2﹣2．

故答案為y＝x2﹣2．

九．三角形的面積（共1小題）

12．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，平行四邊形ABCD中，延長AD至點E，使DE＝AD，連接BE，交CD于點F，若△DEF的面積為2，則△CBF的面積為8．

【答案】8．

【解答】解：設DE＝x，由DE＝AD，

則：AD＝2x，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AE∥BC，BC＝AD＝2x，

∴△BCF∽△EAF，

則＝＝，

∴＝（）2＝，

∵△DEF的面積為2，則△CBF的面積為8，

故答案為8．

一十．垂徑定理（共2小題）

13．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E，CD＝16，BE＝4，則CE＝8，⊙O的半徑為10．

【答案】8，10．

【解答】解：連接OC，

∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，

∴CE＝CD＝8，

設⊙O的半徑為r，則OC＝OB＝r，

∵OC2＝OE2+CE2，即r2＝82+（r﹣4）2

解得r＝10，

故答案為8，10．

14．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，若AB＝10，CD＝8，則OH的長度為3．

【答案】見試題解答內容

【解答】解：連接OC，

∵CD⊥AB，

∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，

∵直徑AB＝10，

∴OC＝5，

在Rt△OCH中，OH＝＝3，

故答案為：3．

一十一．垂徑定理的應用（共1小題）

15．（2022秋昌平區(qū)期末）我國古代著名數(shù)學著作《九章算術》總共收集了246個數(shù)學問題，這些問題的算法要比歐洲同類算法早1500年，其中有這樣一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學語言可以表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，CE＝1寸，AB＝10寸（注：1尺＝10寸），則可得直徑CD的長為26寸”．

【答案】26．

【解答】解：連接OA，設⊙O的半徑是r寸，

∵CD⊥AB，

∴AE＝BE＝5（寸），

∵OA2＝OE2+AE2，

∴r2＝（r﹣1）2+52，

∴r＝13，

∴CD＝2r＝26（寸），

故答案為：26．

一十二．圓周角定理（共1小題）

16．（2022秋昌平區(qū)期末）如圖，△ABC中，AC＝AB，以AB為直徑作⊙O，交BC于D，交AC于E．若∠BAD＝25°，則∠EDC＝50°．

【答案】50．

【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵AB＝AC，∠BAD＝25°，

∴∠BAC＝2∠BAD＝50°，

∵四邊形ABDE是⊙O的內接四邊形，

∴∠BAE+∠BDE＝180°，

∵∠EDC+∠BDE＝180°，

∴∠EDC＝∠BAE＝50°，

故答案為：50．

一十三．直線與圓的位置關系（共1小題）

17．（2023秋昌平區(qū)期末）已知⊙O的半徑為5cm，圓心O到直線l的距離為4cm，那么直線l與⊙O的位置關系是相交．

【答案】見試題解答內容

【解答】解：∴⊙O的半徑為5cm，如果圓心O到直線l的距離為4cm，

∴4＜5，

即d＜r，

∴直線l與⊙O的位置關系是相交．

故答案為：相交．

一十四．切線的性質（共2小題）

18．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，C是優(yōu)弧AB上的一個動點，若∠P＝50°，則∠ACB＝65°．

【答案】65．

【解答】解：連接OA、OB，

∵PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∵∠P＝50°，

∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，

∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°，

故答案為：65．

19．（2022秋昌平區(qū)期末）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，AC為⊙O的直徑，AC＝4，∠C＝60°，則PA＝2．

【答案】2．

【解答】解：連接OB，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ABC＝90°，

∴AB＝ACsinC＝4×＝2，

由圓周角定理得：∠AOB＝2∠C＝120°，

∵PA，PB分別與⊙O相切于點A，B，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA＝PB，

∴∠P＝360°﹣∠AOB﹣∠OAP﹣∠OBP＝60°，

∴△PAB為等邊三角形，

∴PA＝AB＝2，

故答案為：2．

一十五．三角形的內切圓與內心（共1小題）

20．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，已知∠A＝40°，連接OB，OC，DE，EF，則∠BOC＝110°，∠DEF＝70°．

【答案】110，70．

【解答】解：如圖，連接OD和OF，

∵⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，∠A＝40°，

∴OB，OC平分∠ABC，∠ACB，

∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB

＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）

＝180°﹣140°

＝110°，

∵OD⊥AB，OF⊥AC，

∴∠ADO＝∠AFO＝90°，

∴∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，

∴∠DEF＝DOF＝70°．

故答案為：110，70．

一十六．正多邊形和圓（共1小題）

21．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，⊙O的半徑為6，則的長為2π．

【答案】2π．

【解答】解：如圖，連接OA，OB．

由題意OA＝B＝6，∠AOB＝60°，

∴的長＝＝2π．

故答案為：2π．

一十七．弧長的計算（共2小題）

22．（2023秋昌平區(qū)期末）若扇形的圓心角為60°，半徑為2，則該扇形的弧長是π（結果保留π）．

【答案】π．

【解答】解：∵扇形的圓心角為60°，半徑為2，

∴扇形的弧長＝＝π．

故答案為：π．

23．（2022秋昌平區(qū)期末）在半徑為1cm的圓中，60°的圓心角所對弧的弧長是πcm．

【答案】π．

【解答】解：弧長為：＝π（cm）．

故答案為：π．

一十八．解直角三角形（共1小題）

24．（2022秋昌平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝3，sinB＝，∠C＝45°，則AC的長為2．

【答案】2．

【解答】解：過點A作AD⊥BC，垂足為D，

在Rt△ABD中，AB＝3，sinB＝，

∵AD＝ABsinB＝3×＝2，

在Rt△ADC中，∠C＝45°，

∴AC＝＝＝2，

故答案為：2．北京市昌平區(qū)三年(2023-2022)九年級上學期期末數(shù)學試題匯編-01選擇題知識點分類

一．坐標與圖形性質（共1小題）

1．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為2，與x軸，y軸的正半軸分別交于點A，B，點C（1，c），D（，d），E（e，1），P（m，n）均為上的點（點P不與點A，B重合），若m＜n＜m，則點P的位置為（）

A．在上B．在上C．在上D．在上

二．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征（共1小題）

2．（2023秋昌平區(qū)期末）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經過點A（2，3），則k的值為（）

A．3B．4C．5D．6

三．反比例函數(shù)的應用（共1小題）

3．（2022秋昌平區(qū)期末）為做好校園防疫工作，每日會對教室進行藥物噴灑消毒，藥物噴灑完成后，消毒藥物在教室內空氣中的濃度y（mg/m3）和時間t（min）滿足關系y＝（h≠0），已知測得當t＝10min時，藥物濃度y＝5mg/m3，則k的值為（）

A．50B．﹣50C．5D．15

四．二次函數(shù)的性質（共5小題）

4．（2023秋昌平區(qū)期末）拋物線y＝（x﹣3）2+1的頂點坐標是（）

A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）

5．（2023秋昌平區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+1，若點A（0，y1）和B（3，y2）在此函數(shù)圖象上，則y1與y2的大小關系是（）

A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y(tǒng)2D．無法確定

6．（2023秋昌平區(qū)期末）拋物線y＝x2﹣2的頂點坐標為（）

A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（2，0）

7．（2023秋昌平區(qū)期末）關于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+3，以下說法正確的是（）

A．當x＞﹣2時，y隨x增大而減小

B．當x＞﹣2時，y隨x增大而增大

C．當x＞2時，y隨x增大而減小

D．當x＞2時，y隨x增大而增大

8．（2022秋昌平區(qū)期末）關于四個函數(shù)y＝﹣2x2，y＝x2，y＝3x2，y＝﹣x2的共同點，下列說法正確的是（）

A．開口向上B．都有最低點

C．對稱軸是y軸D．y隨x增大而增大．

五．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共1小題）

9．（2022秋昌平區(qū)期末）怎樣平移拋物線y＝2x2就可以得到拋物線y＝2（x+1）2﹣1（）

A．左移1個單位長度、上移1個單位長度

B．左移1個單位長度、下移1個單位長度

C．右移1個單位長度、上移1個單位長度

D．右移1個單位長度、下移1個單位長度

六．方向角（共1小題）

10．（2023秋昌平區(qū)期末）小英家在學校的北偏東40度的位置上，那么學校在小英家的方向是（）

A．南偏東40度B．南偏西40度C．北偏東50度D．北偏西50度

七．圓周角定理（共2小題）

11．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（）

A．36°B．44°C．54°D．56°

12．（2022秋昌平區(qū)期末）如圖，AB是⊙O直徑，AB＝10，點C，D是圓上點，AC＝6，＝，點E是劣弧BD上的一點（不與B，D重合），則AE的長可能為（）

A．7B．8C．9D．10

八．點與圓的位置關系（共1小題）

13．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，點M坐標為（0，2），點A坐標為（2，0），以點M為圓心，MA為半徑作⊙M，與x軸的另一個交點為B，點C是⊙M上的一個動點，連接BC，AC，點D是AC的中點，連接OD，當線段OD取得最大值時，點D的坐標為（）

A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）

九．三角形的外接圓與外心（共1小題）

14．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BCA＝50°，則∠BAD＝（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

一十．切線的判定（共1小題）

15．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，以點P為圓心，以下列選項中的線段的長為半徑作圓，所得的圓與直線l相切的是（）

A．PAB．PBC．PCD．PD

一十一．正多邊形和圓（共2小題）

16．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，面積為18的正方形ABCD內接于⊙O，則⊙O的半徑為（）

A．B．C．3D．

17．（2022秋昌平區(qū)期末）我們都知道蜂巢是很多個正六邊形組合來的．正六邊形蜂巢的建筑結構密合度最高、用材最少、空間最大、也最為堅固、如圖，某蜂巢的房孔是邊長為6的正六邊形ABCDEF，若⊙O的內接正六邊形為正六邊形ABCDEF，則BF的長為（）

A．12B．C．D．

一十二．比例的性質（共3小題）

18．（2023秋昌平區(qū)期末）如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中正確的是（）

A．B．C．D．

19．（2023秋昌平區(qū)期末）已知3a＝4b（ab≠0），則下列各式正確的是（）

A．B．C．D．

20．（2022秋昌平區(qū)期末）O為一根輕質杠桿的支點，OA＝acm，OB＝bcm，A處掛著重4N的物體，若在B端施加一個豎直向上大小為3N的力，使杠桿在水平位置上保持靜止，則a和b需要滿足的關系是4a＝3b，那么下列比例式正確的是（）

A．B．C．D．

一十三．特殊角的三角函數(shù)值（共2小題）

21．（2023秋昌平區(qū)期末）已知∠A為銳角，且sinA＝，那么∠A等于（）

A．15°B．30°C．45°D．60°

22．（2022秋昌平區(qū)期末）如圖，在一塊直角三角板ABC中，∠A＝30°，則sinA的值是（）

A．B．C．D．

一十四．解直角三角形（共1小題）

23．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則tan∠ACB的值為（）

A．B．C．D．

一十五．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共1小題）

24．（2022秋昌平區(qū)期末）為測樓房BC的高，在距樓房30米的A處，測得樓頂B的仰角為α，則樓房BC的高為（）

A．30tanα米B．米C．30sinα米D．米

北京市昌平區(qū)三年(2023-2022)九年級上學期期末數(shù)學試題匯編-01選擇題知識點分類

參考答案與試題解析

一．坐標與圖形性質（共1小題）

1．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為2，與x軸，y軸的正半軸分別交于點A，B，點C（1，c），D（，d），E（e，1），P（m，n）均為上的點（點P不與點A，B重合），若m＜n＜m，則點P的位置為（）

A．在上B．在上C．在上D．在上

【答案】B

【解答】解：如圖，過點C作CH⊥x軸于點H，過點D作DG⊥x軸于點G，過點E作EF⊥x軸于點F，

∵C（1，c），D（，d），E（e，1），

∴OH＝1，OG＝，EF＝1，

∵OC＝OD＝OE＝2，∠CHO＝∠DGO＝∠EFO＝90°，

∴c＝CH＝＝＝，

d＝DG＝＝＝，

e＝OF＝＝＝，

∴C（1，），D（，），E（，1），

由圖可知：隨著∠COH﹣﹣∠DOG﹣﹣∠EOF角度逐漸變小，點C、D、E的橫坐標逐漸增大，縱坐標逐漸減小，

∵m＜n＜m，

∴點P在上．

故選：B．

二．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征（共1小題）

2．（2023秋昌平區(qū)期末）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經過點A（2，3），則k的值為（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】D

【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經過點A（2，3），

∴3＝，

∴k＝6，

故選：D．

三．反比例函數(shù)的應用（共1小題）

3．（2022秋昌平區(qū)期末）為做好校園防疫工作，每日會對教室進行藥物噴灑消毒，藥物噴灑完成后，消毒藥物在教室內空氣中的濃度y（mg/m3）和時間t（min）滿足關系y＝（h≠0），已知測得當t＝10min時，藥物濃度y＝5mg/m3，則k的值為（）

A．50B．﹣50C．5D．15

【答案】A

【解答】解：把t＝10，y＝5代入y＝得：

5＝，

解得k＝50，

故選：A．

四．二次函數(shù)的性質（共5小題）

4．（2023秋昌平區(qū)期末）拋物線y＝（x﹣3）2+1的頂點坐標是（）

A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）

【答案】A

【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+1，

∴此函數(shù)的頂點坐標為（3，1），

故選：A．

5．（2023秋昌平區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+1，若點A（0，y1）和B（3，y2）在此函數(shù)圖象上，則y1與y2的大小關系是（）

A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y(tǒng)2D．無法確定

【答案】A

【解答】解：∵點A（0，y1）、B（3，y2）是二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+1圖象上的兩點，

∴y1＝5，y2＝2．

∴y1＞y2．

故選：A．

6．（2023秋昌平區(qū)期末）拋物線y＝x2﹣2的頂點坐標為（）

A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（2，0）

【答案】A

【解答】解：拋物線y＝x2﹣2是頂點式，

根據(jù)頂點式的坐標特點可知，

頂點坐標為（0，﹣2），

故選：A．

7．（2023秋昌平區(qū)期末）關于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+3，以下說法正確的是（）

A．當x＞﹣2時，y隨x增大而減小

B．當x＞﹣2時，y隨x增大而增大

C．當x＞2時，y隨x增大而減小

D．當x＞2時，y隨x增大而增大

【答案】C

【解答】解：∵拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣2）2+3，

∴該拋物線的對稱軸為直線x＝2，開口向下，

∴當x＜2時，y隨x增大而增大，當x＞2時，y隨x增大而減小，

故選：C．

8．（2022秋昌平區(qū)期末）關于四個函數(shù)y＝﹣2x2，y＝x2，y＝3x2，y＝﹣x2的共同點，下列說法正確的是（）

A．開口向上B．都有最低點

C．對稱軸是y軸D．y隨x增大而增大．

【答案】C

【解答】解：函數(shù)y＝﹣2x2的開口向下，有最高點，對稱軸是y軸，當x＞0時，y隨x的增大而減小，當x＜0時，y隨x的增大而增大；

函數(shù)y＝x2的開口向上，有最低點，對稱軸是y軸，當x＞0時，y隨x的增大而增大，當x＜0時，y隨x的增大而減小；

函數(shù)y＝3x2的開口向上，有最低點，對稱軸是y軸，當x＞0時，y隨x的增大而增大，當x＜0時，y隨x的增大而減?。?/p>

函數(shù)y＝﹣x2的開口向下，有最高點，對稱軸是y軸，當x＞0時，y隨x的增大而減小，當x＜0時，y隨x的增大而增大；

故選：C．

五．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共1小題）

9．（2022秋昌平區(qū)期末）怎樣平移拋物線y＝2x2就可以得到拋物線y＝2（x+1）2﹣1（）

A．左移1個單位長度、上移1個單位長度

B．左移1個單位長度、下移1個單位長度

C．右移1個單位長度、上移1個單位長度

D．右移1個單位長度、下移1個單位長度

【答案】B

【解答】解：將拋物線y＝2x2先向左平移一個單位，再向下平移一個單位得到拋物線y＝2（x+1）2﹣1，

故選：B．

六．方向角（共1小題）

10．（2023秋昌平區(qū)期末）小英家在學校的北偏東40度的位置上，那么學校在小英家的方向是（）

A．南偏東40度B．南偏西40度C．北偏東50度D．北偏西50度

【答案】B

【解答】解：小英家位于學校的東偏北40°，那么學校位于小英家的西偏南40°；

故選：B．

七．圓周角定理（共2小題）

11．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（）

A．36°B．44°C．54°D．56°

【答案】C

【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵＝，

∴∠ABD＝∠ACD＝36°，

∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣36°＝54°，

故選：C．

12．（2022秋昌平區(qū)期末）如圖，AB是⊙O直徑，AB＝10，點C，D是圓上點，AC＝6，＝，點E是劣弧BD上的一點（不與B，D重合），則AE的長可能為（）

A．7B．8C．9D．10

【答案】C

【解答】解：連接BC，AD，AE，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AB＝10，AC＝6，

∴BC＝＝＝8，

∵＝，

∴AD＝BC＝8，

∵點E是劣弧BD上的一點，

∴AD＜AE＜AB，

∴8＜AE＜10，

∴AE的長可能為9，

故選：C．

八．點與圓的位置關系（共1小題）

13．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，點M坐標為（0，2），點A坐標為（2，0），以點M為圓心，MA為半徑作⊙M，與x軸的另一個交點為B，點C是⊙M上的一個動點，連接BC，AC，點D是AC的中點，連接OD，當線段OD取得最大值時，點D的坐標為（）

A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）

【答案】C

【解答】解：∵OM⊥AB，

∴OA＝OB，

∵AD＝CD，

∴OD∥BC，OD＝BC，

∴當BC取得最大值時，線段OD取得最大值，如圖，

∵BC為直徑，

∴∠CAB＝90°，

∴CA⊥x軸，

∵OB＝OA＝OM，

∴∠ABC＝45°，

∵OD∥BC，

∴∠AOD＝45°，

∴△AOD是等腰直角三角形，

∴AD＝OA＝2，

∴D的坐標為（2，2），

故選：C．

九．三角形的外接圓與外心（共1小題）

14．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，若∠BCA＝50°，則∠BAD＝（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

【答案】B

【解答】解：∵AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，

∴點A，B，C，D在⊙O上，

∵∠BCA＝50°，

∴∠ADB＝∠BCA＝50°，

∵AD是△ABC的外接圓⊙O的直徑，

∴∠ABD＝90°，

∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°，

故選：B．

一十．切線的判定（共1小題）

15．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，以點P為圓心，以下列選項中的線段的長為半徑作圓，所得的圓與直線l相切的是（）

A．PAB．PBC．PCD．PD

【答案】B

【解答】解：∵PB⊥l于B，

∴以點P為圓心，PB為半徑的圓與直線l相切．

故選：B．

一十一．正多邊形和圓（共2小題）

16．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，面積為18的正方形ABCD內接于⊙O，則⊙O的半徑為（）

A．B．C．3D．

【答案】C

【解答】解：如圖，連接OA，OB，則OA＝OB，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠AOB＝90°，

∴△OAB是等腰直角三角形，

∵正方形ABCD的面積是18，

∴AB＝＝3，

∴OA＝OB＝AB＝3，

故選：C．

17．（2022秋昌平區(qū)期末）我們都知道蜂巢是很多個正六邊形組合來的．正六邊形蜂巢的建筑結構密合度最高、用材最少、空間最大、也最為堅固、如圖，某蜂巢的房孔是邊長為6的正六邊形ABCDEF，若⊙O的內接正六邊形為正六邊形ABCDEF，則BF的長為（）

A．12B．C．D．

【答案】C

【解答】解：如圖，連接OA、OB，

∵六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，

∴AB＝AF＝6，∠AOB＝＝60°，

∴OA⊥BF，

∴BG＝FG，

在Rt△BOG中，∠O＝60°，OB＝6，

∴BG＝OB＝3，

∴BF＝2BG＝6，

故選：C．

一十二．比例的性質（共3小題）

18．（2023秋昌平區(qū)期末）如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解答】解：A、由比例的性質，得4x＝3y與3x＝4y不一致，故A不符合題意；

B、由比例的性質，得xy＝12與3x＝4y不一致，故B不符合題意；

C、由比例的性質，得4x＝3y與3x＝4y不一致，故C不符合題意；

D、由比例的性質，得3x＝4y與3x＝4y一致，故D符合題意；

故選：D．

19．（2023秋昌平區(qū)期末）已知3a＝4b（ab≠0），則下列各式正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解答】解：A、由＝可得3a＝4b，故選項正確；

B、由＝可得4a＝3b，故選項錯誤；

C、由＝可得4a＝3b，故選項錯誤；

D、由＝可得ab＝3×4＝12，故選項錯誤．

故選：A．

20．（2022秋昌平區(qū)期末）O為一根輕質杠桿的支點，OA＝acm，OB＝bcm，A處掛著重4N的物體，若在B端施加一個豎直向上大小為3N的力，使杠桿在水平位置上保持靜止，則a和b需要滿足的關系是4a＝3b，那么下列比例式正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解答】解：A．由得出4b＝3a，故A不符合題意；

B．由得出4b＝3a，故B不符合題意；

C．由得出4b＝3a，故C不符合題意；

D．由得出4a＝3b，故D符合題意；

故選：D．

一十三．特殊角的三角函數(shù)值（共2小題）

21．（2023秋昌平區(qū)期末）已知∠A為銳角，且sinA＝，那么∠A等于（）

A．15°B．30°C．45°D．60°

【答案】B

【解答】解：∵sinA＝，∠A為銳角，

∴∠A＝30°．

故選：B．

22．（2022秋昌平區(qū)期末）如圖，在一塊直角三角板ABC中，∠A＝30°，則sinA的值是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，

∴sinA＝，

故選：B．

一十四．解直角三角形（共1小題）

23．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則tan∠ACB的值為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解答】解：如圖，連接BT．

在Rt△BTC中，∠BTC＝90°，BT＝，CT＝2，

∴tan∠ACB＝＝＝，

故選：D．

一十五．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共1小題）

24．（2022秋昌平區(qū)期末）為測樓房BC的高，在距樓房30米的A處，測得樓頂B的仰角為α，則樓房BC的高為（）

A．30tanα米B．米C．30sinα米D．米

【答案】A

【解答】解：在Rt△ABC中，有∠BAC＝α，AC＝30．

∴BC＝30tanα．

故選：A．北京市昌平區(qū)三年(2023-2022)九年級上學期期末數(shù)學試題匯編-03解答題（基礎題）知識點分類

一．實數(shù)的運算（共2小題）

1．（2023秋昌平區(qū)期末）計算：tan60°+cos245°﹣sin30°．

2．（2022秋昌平區(qū)期末）計算：tan30°+2cos45°﹣sin260°．

二．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共1小題）

3．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（a，2）是一次函數(shù)y＝x﹣1的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象的交點．

（1）求反比例函數(shù)y＝（k≠0）的表達式；

（2）過點P（n，0）且垂直于x軸的直線與一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象的交點分別為M，N，當S△OPM＞S△OPN時，直接寫出n的取值范圍．

三．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系（共2小題）

4．（2023秋昌平區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3與y軸交于點A，將點A向右平移2個單位長度，得到點B，點B在拋物線上．

（1）①直接寫出拋物線的對稱軸是；

②用含a的代數(shù)式表示b；

（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．若拋物線與x軸交于P、Q兩點，該拋物線在P、Q之間的部分與線段PQ所圍成的區(qū)域（不包括邊界）恰有七個整點，結合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．

5．（2023秋昌平區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，點（1，m）和點（3，n）在二次函數(shù)y＝x2+bx的圖象上．

（1）當m＝﹣3時．

①求這個二次函數(shù)的頂點坐標；

②若點（﹣1，y1），（a，y2）在二次函數(shù)的圖象上，且y2＞y1，則a的取值范圍是；

（2）當mn＜0時，求b的取值范圍．

四．圓周角定理（共1小題）

6．（2022秋昌平區(qū)期末）我們在課上證明圓周角定理時，需要討論圓心與圓周角的三種不同位置分別證明，下面給出了情形（1）的證明過程，請你在情形（2）和情形（3）中選擇其一證明即可．

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．已知：如圖，在⊙O中，弧AB所對的圓周角是∠ACB，圓心角是∠AOB．求證：∠ACB＝∠AOB．

情形（1）

證明：如圖（1），當圓心O在∠ACB的邊上時，

∵OC＝OB，

∴∠C＝∠B．

∵∠AOB是△OBC中∠COB的外角，

∴∠AOB＝∠C+∠B．

∴∠AOB＝2∠C．

即∠C＝∠AOB．

請你選擇情形（2）或情形（3），并證明．

五．切線的判定與性質（共1小題）

7．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點C，D是⊙O上的點，AD平分∠BAC，過點D作AC的垂線，垂足為點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）延長AB交ED的延長線于點F，若⊙O半徑的長為3，tan∠AFE＝，求CE的長．

六．相似三角形的判定與性質（共2小題）

8．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，點D在AC上且AD＝3，DE⊥AB于點E，求AE的長．

9．（2022秋昌平區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，點P在邊AD．上，PD＝2AP，連接CP并延長，交BA的延長線于點E，連接BD交CP于點Q．

（1）寫出圖中兩對相似的三角形（相似比不為1）；

（2）求的值．

七．特殊角的三角函數(shù)值（共1小題）

10．（2023秋昌平區(qū)期末）計算：2sin60°+tan45°﹣cos30°tan60°．

八．解直角三角形（共1小題）

11．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AD⊥BC于點D且tan∠CAD＝，求BC的長．

九．解直角三角形的應用（共1小題）

12．（2023秋昌平區(qū)期末）居庸關位于距北京市區(qū)50余公里外的昌平區(qū)境內，是京北長城沿線上的著名古關城，有“天下第一雄關”的美譽．某校數(shù)學社團的同學們使用皮尺和測角儀等工具，測量南關主城門上城樓頂端距地面的高度，下表是小強填寫的實踐活動報告的部分內容：請你幫他計算出城樓的高度AD．（結果精確到0.1m，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）

題目測量城樓頂端到地面的高度

測量目標示意圖

相關數(shù)據(jù)BM＝1.6m，BC＝13m，∠ABC＝35°，∠ACE＝45°

北京市昌平區(qū)三年(2023-2022)九年級上學期期末數(shù)學試題匯編-03解答題（基礎題）知識點分類

參考答案與試題解析

一．實數(shù)的運算（共2小題）

1．（2023秋昌平區(qū)期末）計算：tan60°+cos245°﹣sin30°．

【答案】見試題解答內容

【解答】解：tan60°+cos245°﹣sin30°

＝×+﹣

＝3+﹣

＝3．

2．（2022秋昌平區(qū)期末）計算：tan30°+2cos45°﹣sin260°．

【答案】+．

【解答】解：原式＝×+2×﹣（）2

＝1+﹣

＝+．

二．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共1小題）

3．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A（a，2）是一次函數(shù)y＝x﹣1的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象的交點．

（1）求反比例函數(shù)y＝（k≠0）的表達式；

（2）過點P（n，0）且垂直于x軸的直線與一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象的交點分別為M，N，當S△OPM＞S△OPN時，直接寫出n的取值范圍．

【答案】（1）；

（2）n＜﹣2或n＞3．

【解答】解：（1）把A（a，2）代入y＝x﹣1，

得，a﹣1＝2，解得a＝3，

∴點A坐標為（3，2）．

把A（3，2）代入，

得，2＝，解得k＝6．

所以反比例函數(shù)表達式為．；

（2）一次函數(shù)y＝x﹣1的圖象與的圖象相交于點（3，2）和（﹣2，﹣3）．

觀察函數(shù)圖象可知：過點P（n，0）且垂直于x軸的直線與一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象的交點分別為M，N，當S△OPM＞S△OPN時，PM＞PN，

則n的取值范圍是n＜﹣2或n＞3．

三．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系（共2小題）

4．（2023秋昌平區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3與y軸交于點A，將點A向右平移2個單位長度，得到點B，點B在拋物線上．

（1）①直接寫出拋物線的對稱軸是直線x＝1；

②用含a的代數(shù)式表示b；

（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．若拋物線與x軸交于P、Q兩點，該拋物線在P、Q之間的部分與線段PQ所圍成的區(qū)域（不包括邊界）恰有七個整點，結合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．

【答案】（1）①直線x＝1；②b＝﹣2a．

（2）10＜a≤11或﹣1≤a≤．

【解答】解：（1）①∵A與B關于對稱軸x＝1對稱，

∴拋物線對稱軸為直線x＝1，

故答案為直線x＝1；

②∵拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交于點A，

∴A（0，c），

點A向右平移2個單位長度，得到點B（2，c），

∵點B在拋物線上，

∴4a+2b+c＝c，

∴b＝﹣2a．

（2）由題可知：A（0，3）B（2，3），

①若a＞0時，如圖1，在P、Q之間的部分與線段PQ所圍成的區(qū)域（不包括邊界）內的七個整點為（1，﹣1），（1，﹣2），（1，﹣3），（1，﹣4），（1，﹣5），（1，﹣6），（1，﹣7），

∵x＝1時，y＝a+b+3＝﹣a+3，

∴頂點為（1，﹣a+3），

∴﹣8≤﹣a+3＜﹣7，

∴10＜a≤11；

②若a＜0時，如圖2，在P、Q之間的部分與線段PQ所圍成的區(qū)域（不包括邊界）內的七個整點為（0，1），（0，2），（2，1），（2，2），（1，1），（1，2），（1，3），

當x＝﹣1時，y＝3a+3，

∵恰有7個整數(shù)點

∴，

∴﹣1≤a≤，

綜上，a的取值范圍是10＜a≤11或﹣1≤a≤．

5．（2023秋昌平區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，點（1，m）和點（3，n）在二次函數(shù)y＝x2+bx的圖象上．

（1）當m＝﹣3時．

①求這個二次函數(shù)的頂點坐標；

②若點（﹣1，y1），（a，y2）在二次函數(shù)的圖象上，且y2＞y1，則a的取值范圍是a＜﹣1或a＞5；

（2）當mn＜0時，求b的取值范圍．

【答案】（1）（2，﹣4）；

（2）a＜﹣1或a＞5；

（3）﹣3＜b＜﹣1．

【解答】解：（1）當m＝﹣3時．

①把點（1，﹣3）代入y＝x2+bx，得b＝﹣4，

二次函數(shù)表達式為y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，

所以頂點坐標為（2，﹣4）；

②∵拋物線y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4．

∴開口向上，對稱軸為直線x＝2，

∴點（﹣1，y1）關于直線x＝2的對稱點為（5，y1），

∵點（﹣1，y1），（a，y2）在二次函數(shù)的圖象上，且y2＞y1，

∴a＜﹣1或a＞5，

故答案為：a＜﹣1或a＞5；

（2）將點（1，m），（3，n）代入y＝x2+bx，可得m＝1+b，n＝9+3b．

當mn＜0時，有兩種情況：

①若把m＝1+b，n＝9+3b代入可得此時不等式組無解．

②若把m＝1+b，n＝9+3b代入可得解得﹣3＜b＜﹣1．

所以﹣3＜b＜﹣1．

四．圓周角定理（共1小題）

6．（2022秋昌平區(qū)期末）我們在課上證明圓周角定理時，需要討論圓心與圓周角的三種不同位置分別證明，下面給出了情形（1）的證明過程，請你在情形（2）和情形（3）中選擇其一證明即可．

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．已知：如圖，在⊙O中，弧AB所對的圓周角是∠ACB，圓心角是∠AOB．求證：∠ACB＝∠AOB．

情形（1）

證明：如圖（1），當圓心O在∠ACB的邊上時，

∵OC＝OB，

∴∠C＝∠B．

∵∠AOB是△OBC中∠COB的外角，

∴∠AOB＝∠C+∠B．

∴∠AOB＝2∠C．

即∠C＝∠AOB．

請你選擇情形（2）或情形（3），并證明．

【答案】證明過程見解答．

【解答】證明：如圖（2）：連接CO并延長交⊙O于點D，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∵∠AOD＝∠A+∠ACO，

∴∠AOD＝2∠ACO，

∵OB＝OC，

∴∠B＝∠OCB，

∵∠BOD＝∠B+∠OCB，

∴∠BOD＝2∠OCB，

∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD

＝2∠ACO+2∠OCB

＝2∠ACB；

∴∠ACB＝∠AOB，

如圖（3）：連接CO并延長交⊙O于點E，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∵∠AOE＝∠A+∠ACO，

∴∠AOE＝2∠ACO，

∵OB＝OC，

∴∠B＝∠OCB，

∵∠BOE＝∠B+∠OCB，

∴∠BOE＝2∠OCB，

∴∠AOB＝∠BOE﹣AOE

＝2∠OCB﹣2∠ACO

＝2∠ACB；

∴∠ACB＝∠AOB．

五．切線的判定與性質（共1小題）

7．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點C，D是⊙O上的點，AD平分∠BAC，過點D作AC的垂線，垂足為點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）延長AB交ED的延長線于點F，若⊙O半徑的長為3，tan∠AFE＝，求CE的長．

【答案】見試題解答內容

【解答】（1）證明：連接OD．

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD＝∠DAE，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠ODA＝∠DAE，

∴OD∥AE，

∵AC⊥DE，

∴OD⊥DE，

∵OD是⊙O半徑，

∴DE是⊙O的切線．

（2）解：連接BC，交OD于點M．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵∠AED＝∠ODE＝90°，

∴∠ACB＝∠AED＝∠ODE＝90°，

∴四邊形CEDM是矩形，

∴CE＝MD，CM∥DE，

∴∠F＝∠ABC，

在Rt△OBM中，OB＝3，tan∠ABC＝，

設OM＝3x，BM＝4x，

∴（3x）2+（4x）2＝32，

解得x＝，負值舍去，

∴OM＝

∴CE＝MD＝3﹣＝．

六．相似三角形的判定與性質（共2小題）

8．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，點D在AC上且AD＝3，DE⊥AB于點E，求AE的長．

【答案】．

【解答】解：∵DE⊥AB于點E，∠C＝90°，

∴∠AED＝∠C＝90°，

∵∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∵AB＝5，AD＝3，AC＝4，

∴，

∴AE＝．

9．（2022秋昌平區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，點P在邊AD．上，PD＝2AP，連接CP并延長，交BA的延長線于點E，連接BD交CP于點Q．

（1）寫出圖中兩對相似的三角形（相似比不為1）△EAP∽△EBC，△EBQ∽△CDQ；

（2）求的值．

【答案】（1）△EAP∽△EBC，△EBQ∽△CDQ；

（2）＝．

【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴△EAP∽△EBC，△EBQ∽△CDQ；

故答案為：△EAP∽△EBC，△EBQ∽△CDQ（答案不唯一）；

（2）∵△EAP∽△EBC，

∴＝，

∵PD＝2AP，AD＝BC，

∴＝＝，

∵AB＝CD，

∴＝＝，

∴＝．

七．特殊角的三角函數(shù)值（共1小題）

10．（2023秋昌平區(qū)期末）計算：2sin60°+tan45°﹣cos30°tan60°．

【答案】．

【解答】解：2sin60°+tan45°﹣cos30°tan60°

＝

＝+1﹣

＝．

八．解直角三角形（共1小題）

11．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AD⊥BC于點D且tan∠CAD＝，求BC的長．

【答案】2+1．

【解答】解：∵AD⊥BC于點D，

∴△ABD，△ADC為直角三角形．

∵Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝4，

∴AD＝2，BD＝．

∵Rt△ADC中，tan∠CAD＝，AD＝2，

∴tan∠CAD＝．

∴CD＝1．

∴BC＝+1．

九．解直角三角形的應用（共1小題）

12．（2023秋昌平區(qū)期末）居庸關位于距北京市區(qū)50余公里外的昌平區(qū)境內，是京北長城沿線上的著名古關城，有“天下第一雄關”的美譽．某校數(shù)學社團的同學們使用皮尺和測角儀等工具，測量南關主城門上城樓頂端距地面的高度，下表是小強填寫的實踐活動報告的部分內容：請你幫他計算出城樓的高度AD．（結果精確到0.1m，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）

題目測量城樓頂端到地面的高度

測量目標示意圖

相關數(shù)據(jù)BM＝1.6m，BC＝13m，∠ABC＝35°，∠ACE＝45°

【答案】31.9．

【解答】解：根據(jù)題意，得BM＝ED＝1.6m，∠AEC＝90°，

設AE為xm，在Rt△ACE中，

∵∠ACE＝45°，

∴∠CAE＝45°，

∴AE＝CE，

在Rt△ABE中，

∵tan∠ABE＝，

又∵∠ABE＝35°，

∴tan35°＝，

解得x≈30.3，

∴AD＝AE+ED≈30.3+1.6≈31.9（m），

答：城樓頂端距地面約為31.9m．北京市昌平區(qū)三年(2023-2022)九年級上學期期末數(shù)學試題匯編-03解答題（提升題）知識點分類

一．一次函數(shù)綜合題（共1小題）

1．（2023秋昌平區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，對于點P，O，Q給出如下定義：若OQ＜PO＜PQ且PO≤2，我們稱點P是線段OQ的“潛力點”．已知點O（0，0），Q（1，0）．

（1）在P1（0，﹣1），P2（，），P3（﹣1，1）中是線段OQ的“潛力點”是；

（2）若點P在直線y＝x上，且為線段OQ的“潛力點”，求點P橫坐標的取值范圍；

（3）直線y＝2x+b與x軸交于點M，與y軸交于點N，當線段MN上存在線段OQ的“潛力點”時，直接寫出b的取值范圍．

二．二次函數(shù)的性質（共2小題）

2．（2022秋昌平區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．

（1）求二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3圖象的頂點坐標；

（2）在平面直角坐標系xOy中，畫出二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象；

（3）結合圖象直接寫出自變量0≤x≤3時，函數(shù)的最大值和最小值．

3．（2022秋昌平區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣1，y1），B（3a，y2），C（2，y3）（點B，C不重合）在拋物線y＝x2﹣2x（a≠0）上．

（1）當a＝1時，求二次函數(shù)的頂點坐標；

（2）①若y2＝y(tǒng)3，則a的值為；

②已知二次函數(shù)的對稱軸為t，當y1＞y3＞y2時，求t的取值范圍．

三．拋物線與x軸的交點（共2小題）

4．（2023秋昌平區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．

（1）寫出該二次函數(shù)圖象的對稱軸及頂點坐標，再描點畫圖；

（2）結合函數(shù)圖象，直接寫出y＜0時x的取值范圍．

5．（2023秋昌平區(qū)期末）已知：二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3．

（1）求出二次函數(shù)圖象的頂點坐標及與x軸交點坐標；

（2）在坐標系中畫出圖象，并結合圖象直接寫出y＜0時，自變量x的取值范圍．

四．二次函數(shù)的應用（共2小題）

6．（2023秋昌平區(qū)期末）隨著冬季的到來，干果是這個季節(jié)少不了的營養(yǎng)主角，某超市購進一批干果，分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售，每袋成本20元．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y（袋）與銷售單價x（元）之間的關系可近似地看作一次函數(shù)：y＝﹣2x+80（20≤x≤40），設每天獲得的利潤為w（元）．

（1）求出w與x的關系式；

（2）當銷售單價定為多少元時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

7．（2022秋昌平區(qū)期末）小張在學校進行定點M處投籃練習，籃球運行的路徑是拋物線，籃球在小張頭正上方出手，籃球架上籃圈中心的高度是3.05米，當球運行的水平距離為x米時，球心距離地面的高度為y米，現(xiàn)測量第一次投籃數(shù)據(jù)如下：

x/m0246…

y/m1.833.43…

請你解決以下問題：

（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑曲線連接；

（2）若小昊在小張正前方1米處，沿正上方跳起想要阻止小張投籃（手的最大高度不小于球心高度算為成功阻止），他跳起時能摸到的最大高度為2.4米，請問小昊能否阻止此次投籃？并說明理由；

（3）第二次在定點M處投籃，籃球出手后運行的軌跡也是拋物線，并且與第一次拋物線的形狀相同，籃球出手時和達到最高點時，球的位置恰好都在第一次的正上方，當籃球運行的水平距離是6.5米時恰好進球（恰好進球時籃圈中心與球心重合），問小張第二次籃球剛出手比第一次籃球剛出手時的高度高多少米？

五．三角形綜合題（共2小題）

8．（2023秋昌平區(qū)期末）已知∠POQ＝120°，點A，B分別在OP，OQ上，OA＜OB，連接AB，在AB上方作等邊△ABC，點D是BO延長線上一點，且AB＝AD，連接AD．

（1）補全圖形；

（2）連接OC，求證：∠COP＝∠COQ；

（3）連接CD，CD交OP于點F，請你寫出一個∠DAB的值，使CD＝OB+OC一定成立，并證明．

9．（2022秋昌平區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，AD＝AC，連接CD，點E是CB上一點，CE＝DB，過點E作CD的垂線分別交CD，AB于F，G．

（1）依題意補全圖形；

（2）∠BCD＝α，求∠CAB的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?/p>

（3）用等式表示線段AG，AC，BC之間的數(shù)量關系，并證明．

六．切線的判定與性質（共2小題）

10．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，AB⊥CD于點E，P是AB延長線上一點，且∠BCP＝∠BCD．

（1）求證：CP是⊙O的切線；

（2）連接DO并延長，交AC于點F，交⊙O于點G，連接GC．若⊙O的半徑為5，OE＝3，求GC和OF的長．

11．（2022秋昌平區(qū)期末）已知：如圖，⊙O過正方形ABCD的頂點A，B，且與CD邊相切于點E．點F是BC與⊙O的交點，連接OB，OF，

AF，點G是AB延長線上一點，連接FG，且∠G+∠BOF＝90°．

（1）求證：FG是⊙O的切線；

（2）如果正方形邊長為2，求BG的長．

七．圓的綜合題（共2小題）

12．（2023秋昌平區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：若點P在圖形M上，點Q在圖形N上，如果PQ兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N的“近距離”，記為d（M，N）．特別地，當圖形M與圖形N有公共點時，d（M，N）＝0．

已知A（﹣4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，﹣4）．

（1）d（點A，點C）＝，d（點A，線段BD）＝；

（2）⊙O半徑為r，

①當r＝1時，求⊙O與正方形ABCD的“近距離”d（⊙O，正方形ABCD）；

②若d（⊙O，正方形ABCD）＝1，則r＝．

（3）M為x軸上一點，⊙M的半徑為1，⊙M與正方形ABCD的“近距離”d（⊙M，正方形ABCD）＜1，請直接寫出圓心M的橫坐標m的取值范圍．

13．（2022秋昌平區(qū)期末）已知：對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙O，⊙O的半徑為4，交x軸于點A，B，對于點P給出如下定義：過點C的直線與⊙O交于點M，N，點P為線段MN的中點，我們把這樣的點P叫做關于MN的“折弦點”．

（1）若C（﹣2，0）．

①點P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，2）中是關于MN的“折弦點”的是；

②若直線y＝kx+（k≠0）．上只存在一個關于MN的“折弦點”，求k的值；

（2）點C在線段AB上，直線y＝x+b上存在關于MN的“折弦點”，直接寫出b的取值范圍．

八．作圖—復雜作圖（共2小題）

14．（2023秋昌平區(qū)期末）下面是小東設計的“過圓外一點作這個圓的切線”的尺規(guī)作圖過程．

已知：⊙O及⊙O外一點P．

求作：直線PA和直線PB，使PA切⊙O于點A，PB切⊙O于點B．

作法：如圖，

①作射線PO，與⊙O交于點M和點N；

②以點P為圓心，以PO為半徑作⊙P；

③以點O為圓心，以⊙O的直徑MN為半徑作圓，與⊙P交于點E和點F，連接OE和OF，分別與⊙O交于點A和點B；

④作直線PA和直線PB．

所以直線PA和PB就是所求作的直線．

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明．

證明：連接PE和PF，

∵OE＝MN，OA＝OM＝MN，

∴點A是OE的中點．

∵PO＝PE，

∴PA⊥OA于點A（填推理的依據(jù)）．

同理PB⊥OB于點B．

∵OA，OB為⊙O的半徑，

∴PA，PB是⊙O的切線．（）（填推理的依據(jù)）．

15．（2023秋昌平區(qū)期末）已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB＝AC．

求作：一點P，使得∠APC＝∠BAC．

作法：①以點A為圓心，AB長為半徑畫圓；

②以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交⊙A于點C，D兩點；

③連接DA并延長交⊙A于點P．

點P即為所求．

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明：

證明：連接PC，BD．

∵AB＝AC，

∴點C在⊙A上．

∵BC＝BD，

∴∠＝∠．

∴∠BAC＝∠CAD．

∵點D，P在⊙A上，

∴∠CPD＝∠CAD．（）（填推理的依據(jù)）

∴∠APC＝∠BAC．

九．作圖-軸對稱變換（共1小題）

16．（2023秋昌平區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D是線段BC上的動點（BD＞CD），作射線AD，點B關于射線AD的對稱點為E，作直線CE，交射線AD于點F．連接AE，BF．

（1）依題意補全圖形，直接寫出∠AFE的度數(shù)；

（2）用等式表示線段AF，CF，BF之間的數(shù)量關系，并證明．

一十．相似三角形的判定與性質（共1小題）

17．（2023秋昌平區(qū)期末）如圖，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD．

（1）求證：△ABC∽△ACD；

（2）若AB＝2，AC＝3，求AD的長．

一十一．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共1小題）

18．（2023秋昌平區(qū)期末）某校九年級數(shù)學興趣小組的同學進行社會實踐活動時，想利用所學的解直角三角形的知識測昌平中心公園的仿古建筑“弘文閣”AB的高度．他們先在點C處用高1.5米的測角儀CE測得“弘文閣”頂A的仰角為30°，然后向“弘文閣”的方向前進18m到達D處，在點D處測得“弘文閣”頂A的仰角為50°．求“弘文閣”AB的高（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：tan50°≈1.19，tan40°≈0.84，≈1.73）．

北京市昌平區(qū)三年(2023-2022)九年級上學期期末數(shù)學試題匯編-03解答題（提升題）知識點分類

參考答案與試題解析

一．一次函數(shù)綜合題（共1小題）

1．（2023秋昌平區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，對于點P，O，Q給出如下定義：若OQ＜PO＜PQ且PO≤2，我們稱點P是線段OQ的“潛力點”．已知點O（0，0），Q（1，0）．

（1）在P1（0，﹣1），P2（，），P3（﹣1，1）中是線段OQ的“潛力點”是P3；

（2）若點P在直線y＝x上，且為線段OQ的“潛力點”，求點P橫坐標的取值范圍；

（3）直線y＝2x+b與x軸交于點M，與y軸交于點N，當線段MN上存在線段OQ的“潛力點”時，直接寫出b的取值范圍．

【答案】（1）P3．

（2）﹣≤xp＜﹣．

（3）1＜b≤或＜b＜﹣1．

【解答】解：（1）在坐標系中找到P1（0，﹣1），P2（，），P3（﹣1，1）三點，如圖，

根據(jù)“潛力點”的定義，可知P3是線段OQ的潛力點．

故答案為：P3；

（2）∵點P為線段OQ的“潛力點”，

∴OQ＜PO＜PQ且PO≤2，

∵OQ＜PO，

∴點P在以O為圓心，1為半徑的圓外．

∵PO＜PQ，

∴點P在線段OQ垂直平分線的左側．

∵PO≤2，

∴點P在以O為圓心，2為半徑的圓上或圓內．

又∵點P在直線y＝x上，

∴點P在如圖所示的線段AB上（不包含點B）．

由題意可知△BOC和△AOD是等腰三角形

∴BC＝AD＝

∴﹣≤xp＜﹣．

（3）如圖①，當直線MN與半徑長為2的圓相切時，開始有“潛力點”，且點E是“潛力點”；

過點O作OE⊥MN，

則OE＝2，ME＝1，

∴OM＝，

則b＝ON＝2；

點N繼續(xù)當下運動，如圖②，當點N與點（0，1）重合時，開始沒有“潛力點”，且點N不是“潛力點”；

此時b＝1；

如圖③，當點N與（0，﹣1），重合時，開始有“潛力點”，且點N不是“潛力點”；

此時b＝﹣1；

如圖④，當線段MN過點G時，開始沒有“潛力點”，且點G不是“潛力點”；

此時G（，﹣），

∴2×+b＝，

∴b＝﹣﹣1．

綜上所示，b的取值范圍為：1＜b≤或＜b＜﹣1．

二．二次函數(shù)的性質（共2小題）

2．（2022秋昌平區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．

（1）求二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3圖象的頂點坐標；

（2）在平面直角坐標系xOy中，畫出二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象；

（3）結合圖象直接寫出自變量0≤x≤3時，函數(shù)的最大值和最小值．

【答