高二數(shù)學(xué)人教A版選修一3.1.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程練習(xí)含解析

第第頁(yè)高二數(shù)學(xué)人教A版選修一3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（練習(xí)）（含解析）3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、單選題

1.橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為()

A.B.C.D.

2.是橢圓上一點(diǎn)，且，則()

A.B.C.D.

3.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.B.

C.D.

4.焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.B.C.D.

5.橢圓和具有()

A.相同的離心率．B.相同的焦點(diǎn)．C.相同的頂點(diǎn)．D.相同的長(zhǎng)、短軸．

6.已知橢圓的左焦點(diǎn)是，右焦點(diǎn)是，點(diǎn)在橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在軸上，那么：()

A.：B.：C.：D.：

7.如圖，橢圓的上頂點(diǎn)、左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)分別為、、，中心為，其離心率為，則()

A.B.C.D.

8.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)．若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()

A.B.C.D.

9.與圓：內(nèi)切且與圓：外切的動(dòng)圓圓心的軌跡為()

A.圓B.線段C.橢圓D.雙曲線

二、填空題

10.橢圓的焦距為，則．

11.橢圓兩焦點(diǎn)之間的距離為．

12.設(shè)，為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限．若為等腰三角形，則的坐標(biāo)為_(kāi)_____．

13.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是．

14.已知點(diǎn)在橢圓方程上，點(diǎn)坐標(biāo)為，則的取值范圍為．

15.設(shè)是橢圓的長(zhǎng)軸，若把分成等分，依次過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作的垂線，交橢圓的上半部分于、、．為橢圓的左焦點(diǎn)，則的值．

三、解答題

16.本小題分

已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，

若為等邊三角形，求的離心率；

如果存在點(diǎn)，使得，且的面積等于，求的值和的取值范圍．

17.本小題分

求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的概念的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

由橢圓的定義直接求解即可．

【解答】

解：因?yàn)椋?/p>

所以橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為．

故選B．

2.【答案】

【解析】

【分析】

利用橢圓的定義即可求出．

本題考查橢圓的定義，熟練掌握橢圓的定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

【解答】

解：由橢圓的方程為，可化為，

．

是橢圓上一點(diǎn)，

根據(jù)橢圓的定義可得：，

．

故選A．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，解題時(shí)注意該橢圓的焦點(diǎn)在軸上．根據(jù)題意，由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，進(jìn)而可得的值，由橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式可得答案．

【解答】

解：根據(jù)題意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

則其焦點(diǎn)在軸上，且，

則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，

故選B．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的方程，屬于基礎(chǔ)題．

利用橢圓的性質(zhì)，可得，即可得橢圓的方程．

【解答】

解：由題可設(shè)橢圓方程為，

所以，，，

故橢圓方程為：．

故答案選：．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的離心率，橢圓的基本性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

依次求出兩個(gè)橢圓的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、長(zhǎng)軸與短軸的長(zhǎng)，兩個(gè)曲線的離心率，即可得出答案．

【解答】

解：若，

橢圓的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，

離心率為；

橢圓的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，

離心率為，

所以兩個(gè)橢圓的離心率相同．

同理可得當(dāng)時(shí)，兩個(gè)橢圓的離心率相同．

故選A．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查橢圓的定義，屬于一般題．

先根據(jù)比例線段可推斷出垂直于軸，根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦距，進(jìn)而設(shè)，根據(jù)勾股定理求得和得出答案．

【解答】

解：是的中點(diǎn)，

平行軸，即垂直于軸，

，

，

設(shè)，根據(jù)橢圓定義可知，

，解得：，

，，

：：．

故選：．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的性質(zhì)，是中檔題．

先用，，表示出，，再利用離心率即可求．

【解答】

解：由題意，橢圓的上頂點(diǎn)、左頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)分別為、、，中心為，其離心率為，

則，，

所以．

故選A．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查與橢圓相關(guān)的范圍問(wèn)題，屬于中檔題。

若點(diǎn)在橢圓上，由橢圓的定義可得，即，可得由，可得，可得又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以，可得實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解答】

解：由題知橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)左焦點(diǎn)為，

由橢圓的定義可得，即，

可得．

由可得，

解得，所以．

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以，

所以，解得或．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

故選A．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了圓與圓的位置關(guān)系及判定和橢圓的概念，屬于中檔題．

設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為，利用圓與圓的位置關(guān)系得，，再利用橢圓的概念得結(jié)論．

【解答】

解：圓：可化為，

所以圓的圓心坐標(biāo)，半徑，

圓：可化為，

所以圓的圓心坐標(biāo)，半徑，

設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為，

由題意可得：，，

于是，

故動(dòng)圓圓心的軌跡為橢圓．

故選C．

10.【答案】或

【解析】

【分析】

本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．

根據(jù)題意可得，，分橢圓焦點(diǎn)在軸上和軸上進(jìn)行討論即可得解．

【解答】

解：由題意可得焦距，，

當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，有，則，

當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，有，則，

所以的取值為或．

故答案為：或．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的性質(zhì)，關(guān)鍵是依據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，由橢圓的方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得兩焦點(diǎn)之間的距離，即可得答案．

【解答】

解：根據(jù)題意，橢圓的方程為：，

其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

則兩焦點(diǎn)之間的距離為，

故答案為：．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查橢圓的方程，考查分類討論思想方法，屬于中檔題．

設(shè)，，，求得橢圓的，，，由于為上一點(diǎn)且在第一象限，可得，為等腰三角形，可能或，分類討論即可得出的坐標(biāo)．

【解答】

解：設(shè)，，

由橢圓：可得，，，，

則取，

由于為上一點(diǎn)且在第一象限，可得，

為等腰三角形，可能或，

所以

解得

所以

故答案為

13.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查橢圓的定義和方程、性質(zhì)，注意運(yùn)用三角形的中位線定理、余弦定理，屬于中檔題．

求得橢圓的，，，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，運(yùn)用三角形的中位線定理和橢圓定理求得各邊長(zhǎng)，利用余弦定理求的余弦值，進(jìn)而可求該角的正切值，即為直線的斜率．

【解答】

解：橢圓的，，，

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，

線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，

連接，可得，

中，，，，

由余弦定理得

，

，

，即直線的斜率為．

故答案為．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查距離的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用配方法求解．

設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，利用橢圓的方程，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用配方法，即可求得結(jié)論．

【解答】

解：設(shè)，則，

又在橢圓，

，其中，

關(guān)于的二次函數(shù)，開(kāi)口向上，它的對(duì)稱軸是，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，

可知：當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值．

所以，的取值范圍是，

故答案為：

15.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查橢圓的定義，橢圓的性質(zhì)和幾何意義，屬于中檔題．

由題意可知當(dāng)時(shí)有：，其中、，由橢圓定義可知：，，根據(jù)橢圓性質(zhì)則，，即可求得答案．

【解答】

解：是橢圓的左焦點(diǎn)，不妨令右焦點(diǎn)為，

分別連接點(diǎn)與，，九個(gè)點(diǎn)，

根據(jù)對(duì)稱性易知當(dāng)時(shí)有：，其中、，

由橢圓定義可知：，，

，

即，

又，

．

故答案為．

16.【答案】解：連接，由為等邊三角形可知在中，

，，，于是，

故曲線的離心率．

由題意可知，滿足條件的點(diǎn)存在當(dāng)且僅當(dāng)：

，，，

即

由及得，又由知，故，

由得，所以，

從而，故，

當(dāng)，時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)．

所以，的取值范圍為．

【解析】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)，逐一分析解答即可．

根據(jù)為等邊三角形，可得在中，，再根據(jù)直角三角形和橢圓定義可得；