垂直于弦的直徑【市一等獎】

流程名校課堂學(xué)習(xí)目標預(yù)習(xí)反饋名校講壇課堂小結(jié)預(yù)習(xí)反饋24.1.2垂直于弦的直徑學(xué)目習(xí)標1．理解圓的對稱性．2．通過圓的軸對稱性質(zhì)的學(xué)習(xí)，理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)．3．能運用垂徑定理計算和證明實際問題．預(yù)反習(xí)饋1．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸，圓也是中心對稱圖形，對稱中心為圓心．2．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧，即知識點1垂徑定理例1

(教材補充例題)已知⊙O的半徑為5cm.(1)若圓心O到弦AB的距離為3cm，則弦AB的長為

8cm

；(2)若弦AB的長為8cm，則圓心O到AB的距離為

3cm

．【點撥】

(1)圓中已知半徑、弦長、弦心距三者中的任何兩個，即可求出另一個．(2)“已知弦的中點，連接圓心和中點構(gòu)造垂直”或“連接半徑，由半徑、半弦、弦心距構(gòu)造直角三角形”是常用的輔助線．名講校壇名講校壇例2

(例1的變式題)已知：如圖，線段AB與⊙O交于C，D兩點，且OA＝OB.求證：AC＝BD.證明：作OE⊥AB于E.則CE＝DE.∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.【點撥】過圓心作垂徑是圓中常用輔助線．【跟蹤訓(xùn)練1】

若⊙O的半徑OA＝5cm，弦AB＝8cm，點C是AB的中點，則OC的長為

3cm

.【跟蹤訓(xùn)練2】已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，E為垂足．若AE＝9，BE＝1，求CD的長．名講校壇【跟蹤訓(xùn)練3】

⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的動點，則線段OM的長的最小值為

3

，最大值為

5

．【點撥】當(dāng)OM與AB垂直時，OM最小(為什么)；當(dāng)M在A(或B)處時，OM最大．名講校壇名講校壇知識點2垂徑定理的實際應(yīng)用例3

(教材P82例2)趙州橋(如圖)是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37m，拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)．【思路點撥】解決此問題的關(guān)鍵是根據(jù)趙州橋的實物圖畫出幾何圖形．名講校壇【點撥】圓中已知半徑、弦長、弦心距或弓形高四者中的任何兩個，即可求出另一個．名講校壇【跟蹤訓(xùn)練4】

(教材P82例2的變式題)某公園的一石拱橋是圓弧形(劣弧)，其跨度為24米，拱的半徑為13米，則拱高為

8

米．鞏訓(xùn)固練1．在直徑是20cm的⊙O中，∠AOB的度數(shù)是60°，那么弦AB的弦心距是

5

__cm．【點撥】這里利用60°角構(gòu)造等邊三角形，從而得出弦長．3．如圖，AB為⊙O的直徑，E是中點，OE交BC于點D，BD＝3，AB＝10，則AC＝

8

．2．弓形的弦長為6cm，弓形的高為2cm，則這個弓形所在的圓的半徑為cm.4．(《名校課堂》24.1.2習(xí)題變式)⊙O的半徑是5，P是圓內(nèi)一點，且OP＝3，過點P最短弦的長為

8

，最長弦的長為

10

．【點撥】過點P最短弦即為與OP垂直的弦，最長弦即為直徑．鞏訓(xùn)固練5．(《名校課堂》24.1.2習(xí)題變式)已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．求證：AC＝BD.6．已知⊙O的直徑是50cm，⊙O的兩條平行弦AB＝40cm，CD＝48cm，求弦AB與CD之間的距離．【點撥】分情況討論：①AB，CD在點O兩側(cè)；②AB，