函數(shù)圖像變換及應(yīng)用

上節(jié)課知識檢測一、基本內(nèi)容1．利用描點法作函數(shù)圖像其基本步驟是列表、描點、連線，具體為：2、會畫基本函數(shù)圖像（一次(兩點想x取0，，y取0（或X取1）)、反比例（三點（x取1/2、1,2）對稱軸、對稱中心）、二次(對稱軸\頂點\開口)、冪(四點x取0,1/2,1,2對稱)、指數(shù)(三點x取-1,0,1)、對數(shù)(三點Y-1,0,1)、對勾(兩部分相等時X值點)、三角(x取五點；對稱軸、對稱中心)）3.掌握畫圖像的基本方法：（1）描點法（2）圖像變換法．平移、伸縮、翻折（3）討論分段法(1)平移變換：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>0，右移a個單位),\s\do5(a<0，左移|a|個單位))y＝f(x－a)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(b>0，上移b個單位),\s\do5(b<0，下移|b|個單位))y＝f(x)＋b.(2)伸縮變換：y＝f(x)y＝f(ωx)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(A>1，伸為原來的A倍),\s\do5(0<A<1，縮為原來的A倍))y＝Af(x)．(3)對稱變換：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對稱),\s\do5())y＝－f(x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對稱),\s\do5())y＝f(－x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點對稱),\s\do5())y＝－f(－x)．(4)翻折變換：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖),\s\do5(將y軸右邊的圖像翻折到左邊去))y＝f(|x|)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(留下x軸上方圖),\s\do5(將x軸下方圖翻折上去))y＝|f(x)|.二、易錯點1．在解決函數(shù)圖像的變換問題時，要遵循“只能對函數(shù)關(guān)系式中的x，y變換”的原則，寫出每一次的變換所得圖像對應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯．2．明確一個函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱與兩個函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱的不同，前者也是自身對稱，且為偶函數(shù)，后者也是兩個不同函數(shù)的對稱關(guān)系．三、基本考點及例題考點一作圖像畫函數(shù)圖像的一般方法1、直接法．（1）描點法（2）經(jīng)驗法：當(dāng)函數(shù)表達式(或變形后的表達式)是熟悉的基本函數(shù)時，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征直接作出；2、圖像變換法．若函數(shù)圖像可由某個基本函數(shù)的圖像經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖像變換作出，但要注意變換順序．對不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響．3、分段函數(shù)：分別作出每段區(qū)間的圖像，注意：分段函數(shù)是一種特殊的函數(shù)，自變量在不同范圍內(nèi)取值時，對應(yīng)的解析式不同，但無論分段函數(shù)共有幾段，它始終是一個函數(shù)，而不是多個函數(shù)。典例1-1】分別畫出下列函數(shù)的圖像：(1)y＝2x；（2）；訓(xùn)練1-1-1】分別畫出下列函數(shù)的圖像：1)y＝x2－2x－1.；(2)y＝lgx典例1-2】、分別畫出下列函數(shù)的圖像：(1)y＝2x＋2；(2)y＝x2－2|x|－1.(3)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x<0，,2x－1，x≥0))解：(1)將y＝2x的圖像向左平移2個單位．圖像如圖（2）．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0.))圖像如圖訓(xùn)練3-1-2】．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈2，5].))(1)在如圖所示給定的直角坐標系內(nèi)畫出f(x)的圖像；(2)寫出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)由圖像指出當(dāng)x取什么值時f(x)有最值．10．解：(1)函數(shù)f(x)的圖像如圖所示．(2)由圖像可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－1,0]，[2,5]．(3)由圖像知當(dāng)x＝2時，f(x)min＝f(2)＝－1，當(dāng)x＝0時，f(x)max＝f(0)＝3.訓(xùn)練3-1-3】．(2014·福建卷)若函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，典例3-1-4】．(2014·山東卷)已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a＞0，a≠1)的圖象如圖，A．a(chǎn)＞1，c＞1B．a(chǎn)＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1，0＜c＜1解析由題圖可知，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，所以0＜a＜1.又當(dāng)x＝0時，y＞0，即logac＞0，所以0＜c＜1.答案D訓(xùn)練3-2-1】(2014·佛山一模)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,logx，x>1，))則y＝f(x＋1)的圖像大致是()解析：選B作出f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,logx，x>1))的圖像，如圖．再把f(x)的圖像向左平移一個單位，可得到y(tǒng)＝f(x＋1)的圖像．故選B.訓(xùn)練3-2-2】(2012·湖北高考)已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則y＝－f(2－(2)法一：由y＝f(x)的圖像知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0≤x≤1，,11<x≤2.))當(dāng)x∈[0,2]時，2－x∈[0,2]，所以f(2－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10≤x≤1，,2－x1<x≤2，))故y＝－f(2－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－10≤x≤1，,x－21<x≤2.))法二：當(dāng)x＝0時，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；當(dāng)x＝1時，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.觀察各選項，可知應(yīng)選B.[訓(xùn)練3-2-3](2013·福建高考)函數(shù)f(x)＝ln(x2[解析](1)f(x)＝ln(x2＋1)，x∈R，當(dāng)x＝0時，f(0)＝ln1＝0，即f(x)過點(0,0)，排除B，D.∵f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，故選A.考點四函數(shù)圖像的應(yīng)用函數(shù)圖像是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性.歸納起來圖像的應(yīng)用常見的命題角度有：1確定方程根的個數(shù)；2求參數(shù)的取值范圍；3求不等式的解集.應(yīng)用一確定方程根的個數(shù)典例4-1】．(2014·日照一模)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，))則函數(shù)y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點個數(shù)是________．解析：方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解為f(x)＝eq\f(1,2)或1.作出y＝f(x)的圖像，由圖像知零點的個數(shù)為5.答案：5訓(xùn)練4-1-1】（2013年高考湖南（文））函數(shù)f(x)=㏑x的圖像與函數(shù)g(x)=x2-4x+4的圖像的交點個數(shù)為______ （）A．0 B．1 C．2 D．3畫圖像【答案】C訓(xùn)練4-1-2】（2011高考）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)為A.3B.2C.1D.0畫圖，二次最低點在對數(shù)之下【答案】B應(yīng)用二求參數(shù)的取值范圍思路：1、先給參數(shù)一定值（如0））畫出圖像，再根據(jù)參數(shù)移動，確定參數(shù)（或相關(guān)式子）的范圍2、含參數(shù)方程問題可轉(zhuǎn)化兩函數(shù)交點（公共點問題）典例4-2-1】、若函數(shù)f(x)＝x2－ax－a在區(qū)間[0,2]上的最大值為1，則實數(shù)a討論,畫圖,答案：1訓(xùn)練4-2-1-1】.若loga<1,則a的取值范圍是分析：a>1,畫圖loga<0,滿足;0<a<1,畫圖y=1,y=logax,x=時a=；分析a變化時滿足的條件0<a<故0<a<或a>1訓(xùn)練4-2-1-2】.(2015·福建卷)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x＞2))(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析由題意f(x)的圖象如圖，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞1，,3＋loga2≥4，))∴1＜a≤2.答案(1，2]典例4-2-2】．已知函數(shù)f(x)＝2x，x∈R.當(dāng)m取何值時方程|f(x)－2|＝m有一個解解：令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，畫出F(x)的圖像如圖所示．由圖像看出，當(dāng)m＝0或m≥2時，函數(shù)F(x)與G(x)的圖像只有一個交點，原方程有一個解；當(dāng)0<m<2時，函數(shù)F(x)與G(x)的圖像有兩個交點，原方程有兩個解．訓(xùn)練4-2-2-1】(2015·洛陽模擬)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0，,lnx，x＞0))有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析當(dāng)x＞0時，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.因為函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，則當(dāng)x≤0時，函數(shù)f(x)＝2x－a有一個零點，令f(x)＝0得a＝2x，因為0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1，所以實數(shù)a的取值范圍是0＜a≤1.答案(0，1]訓(xùn)練4-2-2-2】.(2015·山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－1，x＜1，,2x，x≥1，))則滿足f(f(a))＝2f(a)的a取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B.[0，1]C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D.[1，＋∞)解析當(dāng)a＝2時，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝2滿足題意，排除A，B選項；當(dāng)a＝eq\f(2,3)時，f(a)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝3×eq\f(2,3)－1＝1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝eq\f(2,3)滿足題意，排除D選項，故答案為C.答案C典例4-2-3】（2010全國卷1理數(shù)）(15)直線與曲線有四個交點，則的取值范圍是.解：交點---方程根---分參---畫圖，訓(xùn)練4-2-3-1】．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，x>m，,x2＋4x＋2，x≤m))的圖象與直線y＝x恰有三個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－1]B．[－1，2)C．[－1，2]D．[2，＋∞)解析法一特值法，令m＝2，排除C，D，令m＝0，排除A，故選B.法二令x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，所以三個解必須為－1，－2和2，所以有－1≤m<2.故選B.答案B訓(xùn)練4-2-3-2】．【2012高考真題天津理14】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是_________.討論去絕對值并畫圖,直線過定點(0,-2),注:動直線要么過定點,要么平行【答案】或訓(xùn)練4-2-3-3】．對實數(shù)a和b，定義運算“?”：a?b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a－b≤1，,b，a－b>1.))設(shè)函數(shù)eq\a\vs4\al(fx＝)(x2－2)?(x－1)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的圖像與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是()A．(－1,1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1,2]C．(－∞，－2)∪(1,2] D．[－2，－1]解析：選B∵a?b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a－b≤1，,b，a－b>1，))∴函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2，－1≤x≤2，,x－1，x<－1或x>2.))結(jié)合圖像可知，當(dāng)c∈(－2，－1]∪(1,2]時，函數(shù)f(x)與y＝c的圖像有兩個公共點，∴c的取值范圍是(－2，－1]∪(1,2]．應(yīng)用三求不等式的解集典例4-3】、求不等式中x的取值范圍。解：當(dāng)a>1時，函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)在R上是減函數(shù)，所以。訓(xùn)練4-3-1】．函數(shù)f(x)是定義在[－4,4]上的偶函數(shù)，其在[0,4]上的圖像如圖所示，那么不等式eq\f(fx,cosx)<0的解集為________．解析：在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上y＝cosx>0，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))上y＝cosx<0.由f(x)的圖像知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))上eq\f(fx,cosx)<0，因為f(x)為偶函數(shù)，y＝cosx也是偶函數(shù)，所以y＝eq\f(fx,cosx)為偶函數(shù)，所以eq\f(fx,cosx)<0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))訓(xùn)練4-3-2】.(2015·北京卷)如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A.{x|－1＜x≤0}B.{x|－1≤x≤1}C.{x|－1＜x≤1}D.{x|－1＜x≤2}解析如圖，由圖知：f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1<x≤1}.答案C作業(yè)1、(1)(2015·安徽卷)函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋b,（x＋c）2)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()A.a>0，b>0，c<0B.a<0，b>0，c>0C.a<0，b>0，c<0D.a<0，b<0，c<0解析(1)函數(shù)定義域為{x|x≠－c}，結(jié)合圖象知－c＞0，∴c＜0；令x＝0，得f(0)＝eq\f(b,c2)，又由圖象知f(0)＞0，∴b＞0；令f(x)＝0，得x＝－eq\f(b,a)，結(jié)合圖象知－eq\f(b,a)＞0，∴a＜0.故選C.2、(2015·成都診斷)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，規(guī)定：當(dāng)|f(x)|≥g(x)時，h(x)＝|f(x)|；當(dāng)|f(x)|＜g(x)時，h(x)＝－g(x)，則h(x)()A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，無最小值C.有最小值－1，無最大值D.有最大值－1，無最小值解析由題意得，利用平移變化的知識畫出函數(shù)|f(x)|，g(x)的圖象如圖，而h(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|f（x）|，|f（x）|≥g（x），,－g（x），|f（x）|＜g（x），))故h(x)有最小值－1，無最大值.答案C3、.(2015·福建卷)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x＞2))(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析由題意f(x)的圖象如圖，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞1，,3＋loga2≥4，))∴1＜a≤2.答案(1，2]4.函數(shù)f(x)＝log2x－eq\f(1,x)的零點所在的區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.(1，2) D.(2，3)解析函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù).feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(