2020年考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析(完整版)

2020年考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析(完整版)2020年考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析（完整版）一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。1.$x\to+\infty$時(shí)，下列無窮小量中最高階是（）A.$\int_{x^2}^{et-1}dt$B.$\int_0^x\frac{3\ln(1+tdt)}{t}$C.$\int_0^x\frac{\sinx}{\sint^2}dt$D.$\int_0^x\frac{1-\cosx}{\sint^2}dt$2.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(-1,1)$內(nèi)有定義，且$\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$，則（）A.當(dāng)$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$，$f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)。B.當(dāng)$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$，$f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)。C.當(dāng)$f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)時(shí)，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$。D.當(dāng)$f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)時(shí)，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$。3.設(shè)函數(shù)$f(x,y)$在點(diǎn)$(0,0)$處可微，$f(0,0)=0,n=\begin{pmatrix}\frac{\partialf}{\partialx}(0,0)\\\frac{\partialf}{\partialy}(0,0)\\-1\end{pmatrix}$非零向量$d$與$n$垂直，則（）A.$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\cdot(x,y,f(x,y))$存在。B.$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\times(x,y,f(x,y))$存在。C.$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}|d\cdot(x,y,f(x,y))|$存在。D.$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}|d\times(x,y,f(x,y))|$存在。4.設(shè)$R$為冪級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$的收斂半徑，$r$是實(shí)數(shù)，則（）A.若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$發(fā)散，則$|r|\geqR$。B.若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$發(fā)散，則$|r|\leqR$。C.若$|r|\geqR$，則$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$發(fā)散。D.若$|r|\leqR$，則$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$發(fā)散。5.若矩陣$A$經(jīng)初等變換化成$B$，則（）A.存在矩陣$P$，使得$PA=B$。B.存在矩陣$P$，使得$BP=A$。C.存在矩陣$P$，使得$PB=A$。D.方程組$Ax=0$與$Bx=0$同解。6.已知直線$L_1:x-a_2y-b_2z=0$，$L_2:\begin{cases}x-a_3y-b_3z=0\\a_1x-y-b_1z=0\end{cases}$相交于一點(diǎn)，法向量$a_i=(a_{i1},a_{i2},a_{i3}),i=1,2,3$。則$a_1,a_2,a_3$（）A.可由$a_2\timesa_3$得到。B.可由$a_3\timesa_1$得到。C.可由$a_1\timesa_2$得到。D.不能同時(shí)為零向量。7.設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則$\exists\xi\in(a,b)$，使得（）A.$f''(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。B.$f''(\xi)=\frac{2}{b-a}\int_a^bf(x)dx-f\left(\frac{a+b}{2}\right)$。C.$f''(\xi)=\frac{2}{b-a}\int_a^bf''(x)dx-f'\left(\frac{a+b}{2}\right)$。D.$f''(\xi)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}$。8.設(shè)$f(x)$在$[0,1]$上二階可導(dǎo)，$f(0)=f(1)=0$，$f''(x)>0$，則$f(x)$在$(0,1)$內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.無限個(gè)。B.至少$2$個(gè)。C.至少$3$個(gè)。D.至少$4$個(gè)。2020年考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析（完整版）一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。1.求$\lim\limits_{x\to+\infty}$時(shí)，下列無窮小量中最高階的是（）A.$\int_{x^2}^{et-1}dt$B.$\int_0^x\frac{3\ln(1+tdt)}{t}$C.$\int_0^x\frac{\sinx}{\sint^2}dt$D.$\int_0^x\frac{1-\cosx}{\sint^2}dt$2.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(-1,1)$內(nèi)有定義，且$\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$，則（）A.當(dāng)$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$時(shí)，$f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)。B.當(dāng)$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$時(shí)，$f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)。C.當(dāng)$f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)時(shí)，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{|x|}=0$。D.當(dāng)$f(x)$在$x=0$處可導(dǎo)時(shí)，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^2}=0$。3.設(shè)函數(shù)$f(x,y)$在點(diǎn)$(0,0)$處可微，$f(0,0)=0,n=\begin{pmatrix}\frac{\partialf}{\partialx}(0,0)\\\frac{\partialf}{\partialy}(0,0)\\-1\end{pmatrix}$非零向量$d$與$n$垂直，則（）A.$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\cdot(x,y,f(x,y))$存在。B.$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}n\times(x,y,f(x,y))$存在。C.$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}|d\cdot(x,y,f(x,y))|$存在。D.$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}|d\times(x,y,f(x,y))|$存在。4.設(shè)$R$為冪級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$的收斂半徑，$r$是實(shí)數(shù)，則（）A.若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$發(fā)散，則$|r|\geqR$。B.若$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$發(fā)散，則$|r|\leqR$。C.若$|r|\geqR$，則$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$發(fā)散。D.若$|r|\leqR$，則$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nx^n$發(fā)散。5.若矩陣$A$經(jīng)初等變換化成$B$，則（）A.存在矩陣$P$，使得$PA=B$。B.存在矩陣$P$，使得$BP=A$。C.存在矩陣$P$，使得$PB=A$。D.方程組$Ax=0$與$Bx=0$同解。6.已知直線$L_1:x-a_2y-b_2z=0$，$L_2:\begin{cases}x-a_3y-b_3z=0\\a_1x-y-b_1z=0\end{cases}$相交于一點(diǎn)，法向量$a_i=(a_{i1},a_{i2},a_{i3}),i=1,2,3$。則$a_1,a_2,a_3$（）A.可由$a_2\timesa_3$得到。B.可由$a_3\timesa_1$得到。C.可由$a_1\timesa_2$得到。D.不能同時(shí)為零向量。7.設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則$\exists\xi\in(a,b)$，使得（）A.$f''(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。B.$f''(\xi)=\frac{2}{b-a}\int_a^bf(x)dx-f\left(\frac{a+b}{2}\right)$。C.$f''(\xi)=\frac{2}{b-a}\int_a^bf''(x)dx-f'\left(\frac{a+b}{2}\right)$。D.$f''(\xi)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}$。8.設(shè)$f(x)$在$[0,1]$上二階可導(dǎo)，$f(0)=f(1)=0$，$f''(x)>0$，則$f(x)$在$(0,1)$內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.無限個(gè)。B.至少$2$個(gè)。C.至少$3$個(gè)。D.至少$4$個(gè)。1.線性表示B.a可由a1,a3線性表示C.a3可由a1,a2線性表示D.a1,a2,a3線性無關(guān)2.設(shè)A,B,C為三個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/3,P(AB)=1/4,P(AC)=P(BC)=1/則12A,B,C中恰有一個(gè)事件發(fā)生的概率為3/4。3.設(shè)x1,x2,…,xn為來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中P(X=0)=P(X=1)=1/2，分布函數(shù)，則利用中心極限定理可得P(∑xi≤55)的近似值為1-Φ(1)。4.lim(x→0)(ex-1ln(1+x))/x=1/25.設(shè)y=ln(t+t+1)，則d2y/dx2=1/(t+1)^26.若函數(shù)f(x)滿足f''(x)+af'(x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m,f'(0)=n，則f(x)=e^(-a/2)x(mcos(sqrt(a)/2*x)+nsin(sqrt(a)/2*x))7.設(shè)函數(shù)f(x,y)=xy?^2f/?x?y，則∫∫f(x,y)dxdy=∫x^2/2+y^2/2f(x,y)dxdy8.行列式|a-11/a1|=-a9.lim(x→∞)∫e^-tdt/x=010.設(shè)x=t+1，則d^2y/dx^2=2/(x-1)^311.若函數(shù)f(x)滿足f''(x)+af'(x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m,f'(0)=n，則f(x)=e^(-a/2)x(mcos(sqrt(a)/2*x)+nsin(sqrt(a)/2*x))12.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1(x+1)a(n+1)=n+a1+a2+...+an(x|<1)，則∑an/(1-x)=1/(1-x)13.行列式|sinxsin2xsin3x|=-2sin3x14.Cov(X,Y)=015.求偏導(dǎo)數(shù)，令其為0，解方程組得極值點(diǎn)為(8,4)，代入原函數(shù)得最大值為24。16.用格林公式計(jì)算，得I=4π/3。17.用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=1時(shí)，∑an/(1-x)收斂，設(shè)∑an/(1-x)收斂，則∑an+1/(1-x)也收斂，且∑an+1/(1-x)=(n+1)a1+a2+...+an+1/(1-x)，故∑an/(1-x)收斂，且和函數(shù)為1/(1-x)。18.用格林公式計(jì)算，得∫∫zf(x,y)dxdy=16π/3，故∫∫f(x,y)dxdy=8π/3。1.題目不清晰，無法進(jìn)行修改。2.題目不清晰，無法進(jìn)行修改。3.題目不清晰，無法進(jìn)行修改。4.證明：若對(duì)任意的x∈(0,2),|f'(x)|≤M，則M≤max{|f(x)|}。又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以f(x)在[0,2]上連續(xù)。根據(jù)介值定理，存在x∈(0,2)，使得f'(x)=k，其中k為介于f'(0)和f'(2)之間的一個(gè)數(shù)。因?yàn)閨f'(x)|≥|k|，所以M≥|k|。綜上，M=|k|，即M為f'(x)在[0,2]上的最大值。5.(1)由于正交變換不改變二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，所以二次型f(x1,x2)=x1^2+4x1x2+4x2^2經(jīng)過正交變換化為二次型2g(y1,y2)=ay1^2+4y1y2+by2^2。根據(jù)二次型的定義，二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為A=(aij)，其中aij為二次型中的系數(shù)。所以a=2，b=4。(2)由于正交變換的矩陣為正交矩陣，所以Q^-1=Q^T。設(shè)正交矩陣Q為[ab;cd]，則Q^TQ=I，其中I為單位矩陣。根據(jù)矩陣乘法，有a^2+c^2=1，b^2+d^2=1，ab+cd=0。又因?yàn)镼為正交矩陣，所以det(Q)=1，即ad-bc=1。解以上方程組可得a=d=±1/√2，b=-c=±1/√2。故Q為以下四個(gè)矩陣之一：[1/√21/√2;-1/√21/√2]，[-1/√21/√2;1/√21/√2]，[1/√2-1/√2;1/√21/√2]，[-1/√2-1/√2;-1/√21/√2]。6.(1)由于向量α不是A的特征向量，所以α與Aα線性無關(guān)。因此，P=(αAα)的秩為2，所以P為可逆矩陣。(2)由于A2α+Aα-6α=0，所以A2α=-Aα+6α。將A2α代入二次式f(x)=x^TAx中，得f(α)=α^TAα=-α^TAα+6α^Tα=-2α^TAα+6。由于P^-1=(1/2α-1/2Aα)，所以P^-1AP=(1/2α-1/2Aα)A(αAα)(1/2α-1/2Aα)^-1=1/2(αAα-AαAα)。由于α與Aα線性無關(guān)，所以αAα-AαAα≠0。因此，P^-1AP的特征值不全相等，所以A不相似于對(duì)角矩陣。7.(1)由于X1與X2均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以它們的聯(lián)合分布函數(shù)為F(X1,X2)=1/4π∫∫e^(-x1^2/2-x2^2/2)dx1dx2。由于Y=X3X1+(1-X3)X2，所以Y的分布函數(shù)為F(Y≤y)=P(X3X1+(1-X3)X2≤y)=1/4π∫∫∫e^(-x1^2/2-x2^2/2)dx1dx2dx3，其中積分區(qū)域?yàn)閤3x1+(1-x3)x2≤y。將x1表示為y/(x3+(1-x3)x2/x1)，代入積分式中，得F(Y≤y)=1/2π∫∫e^(-y^2/(2(x3+(1-x3)x2/x1)^2))x2/(x3+(1-x3)x2/x1)dx1dx2。將x2表示為z=x2/(x3+(1-x3)x2/x1)，代入積分式中，得F(Y≤y)=1/2π∫∫e^(-y^2/(2(x3+(1-x3)x2/x1)^2))dx1dz。對(duì)x1積分，得F(Y≤y)=1/2∫e^(-y^2/(2(x3+(1-x3)z)^2))dz。令t=y/(x3+(1-x3)z)，則z=(y-tx3)/(t(1-x3))，dx3=(y-tx3)^2/(t^2(1-x3)^2)dt，代入積分式中，得F(Y≤y)=1/2∫(0,1)∫(0,∞)e^(-y^2/(2(x3+(1-x3)z)^2))(y-tx3)/(t(1-x3))^2dx3dt。對(duì)dx3積分，得F(Y≤y)=1/2∫(0,1)(-e^(-y^2/(2(x3+(1-x3)z)^2)))/(y(1-x3)