新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第七章復(fù)數(shù)全套課時(shí)作業(yè)

7.1復(fù)數(shù)的概念7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)系的擴(kuò)充過程.2.理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.知識點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1.復(fù)數(shù)(1)定義：我們把形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2＝－1.(2)表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部.2.復(fù)數(shù)集(1)定義：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.(2)表示：通常用大寫字母C表示.知識點(diǎn)二復(fù)數(shù)的分類1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)b＝0，,虛數(shù)b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)a＝0，,非純虛數(shù)a≠0.))))2.復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系知識點(diǎn)三復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d，a＋bi＝0?a＝b＝0.1.若a，b為實(shí)數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù).(×)2.復(fù)數(shù)i的實(shí)部不存在，虛部為0.(×)3.bi是純虛數(shù).(×)4.如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.(√)一、復(fù)數(shù)的概念例1下列命題：①若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)；②若a，b∈R，且a>b，則a＋i>b＋i；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x＝±2；④實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集.其中正確的是()A.①B.②C.③D.④答案D解析對于復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，為純虛數(shù).對于①，若a＝－1，則(a＋1)i不是純虛數(shù)，即①錯(cuò)誤.兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，則②錯(cuò)誤.對于③，若x＝－2，則x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此時(shí)(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是純虛數(shù)，則③錯(cuò)誤.顯然，④正確.反思感悟復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)中，實(shí)數(shù)a和b分別叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.特別注意，b為復(fù)數(shù)的虛部而不是虛部的系數(shù)，b連同它的符號叫做復(fù)數(shù)的虛部.跟蹤訓(xùn)練1(多選)對于復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，下列說法不正確的是()A.若a＝0，則a＋bi為純虛數(shù)B.若a＋(b－1)i＝3－2i，則a＝3，b＝－2C.若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)D.i的平方等于1答案ABD解析對于A，當(dāng)a＝0時(shí)，a＋bi也可能為實(shí)數(shù)；對于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，則a＝3，b＝－1；對于D，i的平方為－1.所以ABD均錯(cuò)誤.二、復(fù)數(shù)的分類例2當(dāng)m為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z＝eq\f(m2－m－6,m＋3)＋(m2－2m－15)i.(1)是虛數(shù)；(2)是純虛數(shù).解(1)當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3≠0，,m2－2m－15≠0，))即m≠5且m≠－3時(shí)，z是虛數(shù).(2)當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m2－m－6,m＋3)＝0，,m2－2m－15≠0，))即m＝3或m＝－2時(shí)，z是純虛數(shù).延伸探究1.本例中條件不變，當(dāng)m為何值時(shí)，z為實(shí)數(shù)？解當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3≠0，,m2－2m－15＝0，))即m＝5時(shí)，z是實(shí)數(shù).2.已知z＝log2(1＋m)＋i(3－m)(m∈R)，若z是虛數(shù)，求m的取值范圍.解∵z是虛數(shù)，∴(3－m)≠0，且1＋m>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－m>0，,3－m≠1，,1＋m>0，))∴－1<m<2或2<m<3.∴m的取值范圍為(－1,2)∪(2,3).反思感悟解決復(fù)數(shù)分類問題的方法與步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn)式：解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部.(2)定條件：復(fù)數(shù)的分類問題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)即可.(3)下結(jié)論：設(shè)所給復(fù)數(shù)為z＝a＋bi(a，b∈R)，①z為實(shí)數(shù)?b＝0.②z為虛數(shù)?b≠0.③z為純虛數(shù)?a＝0且b≠0.跟蹤訓(xùn)練2若復(fù)數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()A.1B.2C.1或2D.－1答案B解析根據(jù)復(fù)數(shù)的分類知，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1或a＝2，,a≠1，))即a＝2.三、復(fù)數(shù)相等的充要條件例3若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求實(shí)數(shù)x，y的值.解由復(fù)數(shù)相等的充要條件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＝x＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(1,2).))延伸探究若關(guān)于x的方程3x2－eq\f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的值.解設(shè)方程的實(shí)根為x＝m，則原方程可變?yōu)?m2－eq\f(a,2)m－1＝(10－m－2m2)i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得a＝11或a＝－eq\f(71,5).反思感悟復(fù)數(shù)相等問題的解題技巧(1)必須是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等列方程組求解.(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，為應(yīng)用方程思想提供了條件，同時(shí)這也是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想的體現(xiàn).(3)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，可以比較大小，否則是不能比較大小的.跟蹤訓(xùn)練3復(fù)數(shù)z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，則m＝________.答案5解析因?yàn)閙∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由復(fù)數(shù)相等的充要條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋7＝m2－8，,m2－2＝4m＋3，))解得m＝5.1.在2＋eq\r(7)，eq\f(2,7)i,8＋5i，(1－eq\r(3))i,0.618這幾個(gè)數(shù)中，純虛數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.3答案C解析eq\f(2,7)i，(1－eq\r(3))i是純虛數(shù)，2＋eq\r(7)，0.618是實(shí)數(shù)，8＋5i是虛數(shù).2.已知復(fù)數(shù)z＝a2－(2－b)i的實(shí)部和虛部分別是2和3，則實(shí)數(shù)a，b的值分別是()A.eq\r(2)，1 B.eq\r(2)，5C.±eq\r(2)，5 D.±eq\r(2)，1答案C解析令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2，,－2＋b＝3，))得a＝±eq\r(2)，b＝5.3.(多選)若復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值可以為()A.－1 B.2C.1 D.－2答案AB解析因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i為實(shí)數(shù)，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.4.已知復(fù)數(shù)z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的實(shí)部大于虛部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________.答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(3，＋∞).5.已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，則實(shí)數(shù)x＝________，y＝________.答案11解析∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1舍.))1.知識清單：(1)數(shù)系的擴(kuò)充.(2)復(fù)數(shù)的概念.(3)復(fù)數(shù)的分類.(4)復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.方法歸納：方程思想.3.常見誤區(qū)：未化成z＝a＋bi的形式.1.設(shè)a，b∈R，“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析因?yàn)閍，b∈R，當(dāng)“a＝0”時(shí)，“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”不一定成立，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R.而當(dāng)“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”時(shí)，“a＝0”一定成立.所以a，b∈R，“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi是純虛數(shù)”的必要不充分條件.2.給出下列三個(gè)命題：①若z∈C，則z2≥0；②2i－1的虛部是2i；③2i的實(shí)部是0.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.3答案B解析①錯(cuò)誤，例如z＝i，則z2＝－1；②錯(cuò)誤，因?yàn)?i－1虛部是2；③正確，因?yàn)?i＝0＋2i.3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)是純虛數(shù)，則()A.a＝0或a＝2 B.a＝0C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2答案B解析因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是純虛數(shù)，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.4.若a，b∈R，i是虛數(shù)單位，a＋2019i＝2－bi，則a2＋bi等于()A.2019＋2i B.2019＋4iC.2＋2019i D.4－2019i答案D解析因?yàn)閍＋2019i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2019，即a＝2，b＝－2019，所以a2＋bi＝4－2019i.5.(多選)下列命題中錯(cuò)誤的有()A.若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y(tǒng)＝1B.純虛數(shù)集相對于復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集C.若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，則z1＝z2＝z3D.若實(shí)數(shù)a與ai對應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集一一對應(yīng)答案ABCD解析取x＝i，y＝－i，則x＋yi＝1＋i，但不滿足x＝y(tǒng)＝1，故A錯(cuò)；BC錯(cuò)；對于D，a＝0時(shí)，ai＝0，D錯(cuò).6.設(shè)m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則m＝________.答案－2解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－2＝0，,m2－1≠0，))得m＝－2.7.如果x－1＋yi與i－3x為相等復(fù)數(shù)，x，y為實(shí)數(shù)，則x＝________，y＝________.答案eq\f(1,4)1解析由復(fù)數(shù)相等可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－3x，,y＝1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝1.))8.如果(m2－1)＋(m2－2m)i>1則實(shí)數(shù)m的值為________.答案2解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2－1>1，))解得m＝2.9.實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)是實(shí)數(shù)；(2)是虛數(shù)；(3)是純虛數(shù)；(4)是0.解由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.(1)當(dāng)m2－2m－15＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，∴m＝5或－3.(2)當(dāng)m2－2m－15≠0時(shí)，復(fù)數(shù)z為虛數(shù)，∴m≠5且m≠－3.(3)當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－15≠0，,m2＋5m＋6＝0))時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，∴m＝－2.(4)當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－15＝0，,m2＋5m＋6＝0))時(shí)，復(fù)數(shù)z是0，∴m＝－3.10.分別求滿足下列條件的實(shí)數(shù)x，y的值.(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；(2)eq\f(x2－x－6,x＋1)＋(x2－2x－3)i＝0.解(1)∵x，y∈R，∴由復(fù)數(shù)相等的定義，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝x－y，,y＋1＝－x－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－2.))(2)∵x∈R，∴由復(fù)數(shù)相等的定義，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋1)＝0，,x2－2x－3＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3或x＝－2，且x≠－1，,x＝3或x＝－1，))∴x＝3.11.若sin2θ－1＋i(eq\r(2)cosθ＋1)是純虛數(shù)，則θ的值為()A.2kπ－eq\f(π,4)(k∈Z) B.2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)C.2kπ±eq\f(π,4)(k∈Z) D.eq\f(k,2)π＋eq\f(π,4)(k∈Z)答案B解析由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2θ－1＝0，,\r(2)cosθ＋1≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ＝kπ＋\f(π,4)，,θ≠2kπ±\f(3π,4)，))k∈Z，∴θ＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.12.已知關(guān)于x的方程(x2＋mx)＋2xi＝－2－2i(m∈R)有實(shí)數(shù)根n，且z＝m＋ni，則復(fù)數(shù)z等于()A.3＋i B.3－iC.－3－i D.－3＋i答案B解析由題意知(n2＋mn)＋2ni＝－2－2i，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2＋mn＋2＝0，,2n＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－1.))∴z＝3－i.13.已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i.則m＝1是z1＝z2的______________條件.答案充分不必要解析當(dāng)z1＝z2時(shí)，必有m2＋m＋1＝3且m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，顯然m＝1是z1＝z2的充分不必要條件.14.使不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立的實(shí)數(shù)m的取值集合是________.答案{3}解析由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m＝0，,m2－4m＋3＝0，,m2<10，))解得m＝3，所以所求的實(shí)數(shù)m的取值集合是{3}.15.若復(fù)數(shù)z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(4,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(3,5)))i是純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))的值為()A.7 B.－eq\f(1,7)C.－7 D.－7或－eq\f(1,7)答案C解析∵復(fù)數(shù)z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(4,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ－\f(3,5)))i是純虛數(shù)，∴cosθ－eq\f(4,5)＝0，sinθ－eq\f(3,5)≠0，∴sinθ＝－eq\f(3,5)，∴tanθ＝－eq\f(3,4)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(tanθ－1,1＋tanθ)＝eq\f(－\f(3,4)－1,1－\f(3,4))＝－7.16.已知復(fù)數(shù)z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sinθ＋(cosθ－2)i(其中i是虛數(shù)單位，m，λ，θ∈R).(1)若z1為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若z1＝z2，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.解(1)∵z1為純虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－m2＝0，,m－2≠0，))解得m＝－2.(2)由z1＝z2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－m2＝λ＋2sinθ，,m－2＝cosθ－2，))∴λ＝4－cos2θ－2sinθ＝sin2θ－2sinθ＋3＝(sinθ－1)2＋2.∵－1≤sinθ≤1，∴當(dāng)sinθ＝1時(shí)，λmin＝2，當(dāng)sinθ＝－1時(shí)，λmax＝6，∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[2,6].7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系.2.掌握實(shí)軸、虛軸、模、共軛復(fù)數(shù)等概念.3.掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法.知識點(diǎn)一復(fù)平面思考有些同學(xué)說：實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，這句話對嗎？答案不正確.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，原點(diǎn)對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0,0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z＝0＋0i＝0，表示的是實(shí)數(shù).知識點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b).2.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).知識點(diǎn)三復(fù)數(shù)的模1.定義：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對值.2.記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.3.公式：|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).知識點(diǎn)四共軛復(fù)數(shù)1.定義：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).2.表示：z的共軛復(fù)數(shù)用eq\x\to(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\x\to(z)＝a－bi.1.復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的.(√)2.復(fù)數(shù)的模一定是正實(shí)數(shù).(×)3.若|z1|＝|z2|，則z1＝z2.(×)4.兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，則它們的模相等.(√)一、復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的關(guān)系例1已知復(fù)數(shù)z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.當(dāng)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z滿足下列條件時(shí)，求a的值(或取值范圍).(1)在實(shí)軸上；(2)在第三象限.解(1)若z對應(yīng)的點(diǎn)Z在實(shí)軸上，則有2a－1＝0，解得a＝eq\f(1,2).(2)若z對應(yīng)的點(diǎn)Z在第三象限，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1<0，,2a－1<0，))解得－1<a<eq\f(1,2).故a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).反思感悟利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系解題的步驟(1)找對應(yīng)關(guān)系：復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)來表示，是解決此類問題的根據(jù).(2)列出方程：此類問題可建立復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解.跟蹤訓(xùn)練1在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的對應(yīng)點(diǎn)在虛軸上和實(shí)軸負(fù)半軸上，分別求復(fù)數(shù)z.解若復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點(diǎn)在虛軸上，則m2－m－2＝0，所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.若復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸負(fù)半軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2＝0，))所以m＝1，所以z＝－2.二、復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量的關(guān)系例2(1)已知M(1,3)，N(4，－1)，P(0,2)，Q(－4,0)，O為復(fù)平面的原點(diǎn)，試寫出eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))所表示的復(fù)數(shù)；(2)已知復(fù)數(shù)1，－1＋2i，－3i,6－7i，在復(fù)平面內(nèi)畫出這些復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量；(3)在復(fù)平面內(nèi)的長方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)中，點(diǎn)A，B，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù).解(1)eq\o(OM,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為1＋3i；eq\o(ON,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為4－i；eq\o(OP,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為2i；eq\o(OQ,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為－4.(2)設(shè)復(fù)數(shù)1對應(yīng)的向量為eq\o(OA,\s\up6(→))，其中A(1,0)；復(fù)數(shù)－1＋2i對應(yīng)的向量為eq\o(OB,\s\up6(→))，其中B(－1,2)；復(fù)數(shù)－3i對應(yīng)的向量為eq\o(OC,\s\up6(→))，其中C(0，－3)；復(fù)數(shù)6－7i對應(yīng)的向量為eq\o(OD,\s\up6(→))，其中D(6，－7).如圖所示.(3)記O為復(fù)平面的原點(diǎn)，由題意得eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,2)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2，－3).設(shè)eq\o(OD,\s\up6(→))＝(x，y)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－5，－5).由題意知，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝－5，,y－3＝－5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－2，))故點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3－2i.反思感悟復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的終點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù).反之復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)確定后，從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段，即為復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量.(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng)的問題時(shí)，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)為工具，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化.跟蹤訓(xùn)練2已知平面直角坐標(biāo)系中O是原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，那么向量eq\o(BA,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A.－5＋5i B.5－5iC.5＋5i D.－5－5i答案B解析向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別記作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)，可得向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3,2).由向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)，可得向量eq\o(BA,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－5i.三、復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用例3(1)設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|x＋yi|等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D.2答案B解析因?yàn)?1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y(tǒng)＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).(2)已知復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復(fù)數(shù)z.解設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝eq\r(a2＋b2)，代入方程得a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝2＋8i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.))∴z＝－15＋8i.反思感悟復(fù)數(shù)模的計(jì)算(1)計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí)，應(yīng)先確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，再利用模長公式計(jì)算.雖然兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小.(2)設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用模的定義轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題求解.跟蹤訓(xùn)練3(1)已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列選項(xiàng)中正確的是()A.z1>z2 B.z1<z2C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|答案D解析|z1|＝|5＋3i|＝eq\r(52＋32)＝eq\r(34)，|z2|＝|5＋4i|＝eq\r(52＋42)＝eq\r(41).因?yàn)閑q\r(34)<eq\r(41)，所以|z1|<|z2|.(2)已知0<a<3，復(fù)數(shù)z＝a＋i(i是虛數(shù)單位)，則|z|的取值范圍是()A.(1，eq\r(10)) B.(1，eq\r(3))C.(1,3) D.(1,10)答案A解析0<a<3，復(fù)數(shù)z＝a＋i(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝eq\r(a2＋1)∈(1，eq\r(10)).復(fù)數(shù)模的幾何意義典例設(shè)z∈C，且滿足下列條件，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？(1)|z|<3；(2)|z|＝2.解(1)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝eq\r(x2＋y2).由題意知eq\r(x2＋y2)<3，x2＋y2<9.所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，3為半徑的圓面，不包括邊界.(2)根據(jù)模的幾何意義，|z|＝2表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2.所以滿足|z|＝2的點(diǎn)Z的集合為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓.[素養(yǎng)提升]復(fù)數(shù)模的幾何意義可以延伸為|z|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z與原點(diǎn)之間的距離，從而可以用數(shù)形結(jié)合解決有關(guān)的問題，考查直觀想象素養(yǎng).1.復(fù)數(shù)z＝－1－2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析z＝－1－2i對應(yīng)點(diǎn)Z(－1，－2)，位于第三象限.2.(多選)已知復(fù)數(shù)z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，則實(shí)數(shù)m的值可以為()A.1B.2C.3D.4答案AC解析依題意可得eq\r(m－32＋m－12)＝2，解得m＝1或3.3.已知z＝m－1＋(m＋2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(－1,2) B.(－2,1)C.(1，＋∞) D.(－∞，－2)答案B解析∵z＝m－1＋(m＋2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，∴m－1<0，m＋2>0，解得－2<m<1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－2,1).4.設(shè)復(fù)數(shù)z＝i，則z的共軛復(fù)數(shù)為______.答案－i1.知識清單：(1)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的對應(yīng)關(guān)系.(2)復(fù)數(shù)的模及幾何意義.(3)共軛復(fù)數(shù).2.方法歸納：待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：虛數(shù)不能比較大小，虛數(shù)的模可以比較大??；|z－(a＋bi)|表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)(a，b)的距離.1.已知復(fù)數(shù)z1＝2＋i，z2＝－i，則eq\f(|z1|,|z2|)等于()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(1,5)C.eq\r(5)D.5答案C解析依題意|z1|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，|z2|＝eq\r(－12)＝1，所以eq\f(|z1|,|z2|)＝eq\r(5).2.向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－4i，向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－5＋4i，則eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A.－10＋8i B.10－8iC.0 D.10＋8i答案C解析由復(fù)數(shù)的幾何意義，可得eq\o(OZ1,\s\up6(→))＝(5，－4)，eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(－5,4)，所以eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為0.3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A.4＋8i B.8＋2iC.2＋4i D.4＋i答案C解析因?yàn)閺?fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，所以A(6,5)，B(－2,3)，又C為線段AB的中點(diǎn)，所以C(2,4)，所以點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋4i.4.已知復(fù)數(shù)z＝a＋eq\r(3)i(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且|z|＝2，則復(fù)數(shù)z等于()A.－1＋eq\r(3)i B.1＋eq\r(3)iC.－1＋eq\r(3)i或1＋eq\r(3)i D.－2＋eq\r(3)i答案A解析因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，eq\r(a2＋\r(3)2)＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋eq\r(3)i.5.(多選)設(shè)z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限B.z一定不是純虛數(shù)C.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上方D.z一定是實(shí)數(shù)答案ABD解析2m2＋2m－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,2)))2－eq\f(3,2)，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)一定在實(shí)軸上方.6.復(fù)數(shù)z＝x－2＋(3－x)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________.答案(3，＋∞)解析∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2>0，,3－x<0，))解得x>3.7.若復(fù)數(shù)z＝(m－2)＋(m＋1)i為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，其中m∈R，則|z|＝________.答案3解析復(fù)數(shù)z＝(m－2)＋(m＋1)i為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝3.8.復(fù)數(shù)4＋3i與－2－5i分別表示向量eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)是________.答案－6－8i解析因?yàn)閺?fù)數(shù)4＋3i與－2－5i分別表示向量eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－2，－5)，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)是－6－8i.9.在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i.(1)如果點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，求向量eq\o(OB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)如果(1)中的點(diǎn)B關(guān)于虛軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，求點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù).解(1)設(shè)向量eq\o(OB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1，y1)，由題意可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1).根據(jù)對稱性可知，x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.(2)設(shè)點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x2，y2)，由對稱性可知，x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.10.設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤eq\r(2)，判斷復(fù)數(shù)w＝x＋y＋(x－y)i的對應(yīng)點(diǎn)的集合表示什么圖形，并求其面積.解|w|＝eq\r(x＋y2＋x－y2)＝eq\r(2x2＋y2)＝eq\r(2)|z|，而1≤|z|≤eq\r(2)，故eq\r(2)≤|w|≤2.所以w對應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)為圓心，半徑為eq\r(2)和2的圓所夾圓環(huán)內(nèi)點(diǎn)的集合(含內(nèi)外圓周)，其面積S＝π[22－(eq\r(2))2]＝2π.11.已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)a－ai在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析若復(fù)數(shù)z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是純虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a－4＝0，,a－4≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4或a＝－1，,a≠4，))即a＝－1，則復(fù)數(shù)a－ai＝－1＋i對應(yīng)的點(diǎn)為(－1,1)，位于第二象限.12.在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3－eq\r(3)i對應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)eq\f(π,3)，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A.2eq\r(3) B.－2eq\r(3)iC.eq\r(3)－3i D.3＋eq\r(3)i答案B解析復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為(3，－eq\r(3))，對應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)eq\f(π,3)，則對應(yīng)的點(diǎn)為(0，－2eq\r(3))，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2eq\r(3)i.13.設(shè)A，B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則復(fù)數(shù)z＝(cosB－tanA)＋itanB對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析因?yàn)锳，B為銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，所以A＋B>eq\f(π,2)，即A>eq\f(π,2)－B，sinA>cosB，cosB－tanA＝cosB－eq\f(sinA,cosA)<cosB－sinA<0，又tanB>0，所以點(diǎn)(cosB－tanA，tanB)在第二象限，故選B.14.若復(fù)數(shù)3－5i,1－i和－2＋ai在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)a的值為________.答案5解析由點(diǎn)(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共線可知a＝5.15.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2－3|z|＋2＝0，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是()A.一個(gè)圓 B.兩個(gè)圓C.兩點(diǎn) D.線段答案B解析由|z|2－3|z|＋2＝0，得(|z|－1)·(|z|－2)＝0，所以|z|＝1或|z|＝2.由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)圓.16.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(OZ1,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3＋4i，eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2a＋i(a∈R).若eq\o(OZ1,\s\up6(→))與eq\o(OZ2,\s\up6(→))共線，求a的值.解因?yàn)閑q\o(OZ1,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3＋4i，eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2a＋i，所以eq\o(OZ1,\s\up6(→))＝(－3,4)，eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(2a,1).因?yàn)閑q\o(OZ1,\s\up6(→))與eq\o(OZ2,\s\up6(→))共線，所以存在實(shí)數(shù)k使eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝keq\o(OZ1,\s\up6(→))，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝－3k，,1＝4k，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,4)，,a＝－\f(3,8).))即a的值為－eq\f(3,8).7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則.2.理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題.知識點(diǎn)一復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則1.設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則(1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2.對任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝z2＋z1；(2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).知識點(diǎn)二復(fù)數(shù)加減法的幾何意義如圖，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)向量分別為eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))與復(fù)數(shù)z1＋z2對應(yīng)，向量eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))與復(fù)數(shù)z1－z2對應(yīng).思考類比絕對值|x－x0|的幾何意義，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？答案|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z到點(diǎn)Z0的距離.1.兩個(gè)虛數(shù)的和或差可能是實(shí)數(shù).(√)2.在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加法時(shí)，實(shí)部與實(shí)部相加得實(shí)部，虛部與虛部相加得虛部.(√)3.復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相加減后結(jié)果只能是實(shí)數(shù).(×)4.復(fù)數(shù)的加法不可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加的情形.(×)一、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算例1(1)計(jì)算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)設(shè)z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.解(1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.(2)因?yàn)閦1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋x＝5，,2－y＝－6，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝8，))所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.反思感悟解決復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的思路兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)，就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相加(減)，虛部相加(減).復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算.當(dāng)多個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)時(shí)，可將這些復(fù)數(shù)的所有實(shí)部相加(減)，所有虛部相加(減).跟蹤訓(xùn)練1復(fù)數(shù)(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)對應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析復(fù)數(shù)(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其對應(yīng)的點(diǎn)為(9,1)，在第一象限.二、復(fù)數(shù)加減法的幾何意義例2如圖所示，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O，A，C分別表示0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)；(2)對角線eq\o(CA,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)；(3)對角線eq\o(OB,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù).解(1)因?yàn)閑q\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.(2)因?yàn)閑q\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以對角線eq\o(CA,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因?yàn)閑q\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以對角線eq\o(OB,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.反思感悟復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)關(guān)系的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)是與以原點(diǎn)為起點(diǎn)，Z(a，b)為終點(diǎn)的向量一一對應(yīng)的.(2)一個(gè)向量可以平移，其對應(yīng)的復(fù)數(shù)不變，但是其起點(diǎn)與終點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)可能改變.跟蹤訓(xùn)練2已知平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3＋2i與1＋4i，兩對角線AC與BD相交于點(diǎn)O.求：(1)eq\o(AD,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù).解(1)因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，于是eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即eq\o(AD,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－2＋2i.(2)因?yàn)閑q\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即eq\o(DB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5.三、復(fù)數(shù)模的綜合問題例3如果復(fù)數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A.1B.eq\f(1,2)C.2D.eq\r(5)答案A解析設(shè)復(fù)數(shù)z，－i，i，－1－i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z，Z1，Z2，Z3，因?yàn)閨z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以點(diǎn)Z的集合為線段Z1Z2.所以Z點(diǎn)在線段Z1Z2上移動，|Z1Z3|min＝1，所以|z＋i＋1|min＝1.反思感悟|z1－z2|表示復(fù)平面內(nèi)z1，z2對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離.利用此性質(zhì)，可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離問題，從而進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解.跟蹤訓(xùn)練3△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，復(fù)數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應(yīng)的點(diǎn)是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心答案A解析由復(fù)數(shù)模及復(fù)數(shù)減法運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合條件可知復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點(diǎn)P到△ABC的頂點(diǎn)A，B，C的距離相等，∴P為△ABC的外心.1.復(fù)數(shù)(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A.－1＋i B.1－iC.i D.－i答案A解析原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i.2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，則復(fù)數(shù)z＝z2－z1對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z對應(yīng)的點(diǎn)為(－1，－3)，位于第三象限.3.若復(fù)數(shù)z滿足z＋(3－4i)＝1，則z的虛部是()A.－2B.4C.3D.－4答案B解析∵z＋(3－4i)＝1，∴z＝－2＋4i，故z的虛部是4.4.已知復(fù)數(shù)z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2為純虛數(shù)，則a＝________.答案－1解析∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)為純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,a2＋a－6≠0，))解得a＝－1.5.設(shè)平行四邊形ABCD在復(fù)平面內(nèi)，A為原點(diǎn)，B，D兩點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3＋2i和2－4i，則點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是__________.答案5－2i解析設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為E，則E點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－1))，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x，y)，則x＝5，y＝－2，故點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5－2i.1.知識清單：(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算法則.(2)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義.(3)復(fù)平面上兩點(diǎn)間的距離公式.2.方法歸納：類比、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：忽視模的幾何意義.1.已知z＋5－6i＝3＋4i，則復(fù)數(shù)z為()A.－4＋20i B.－2＋10iC.－8＋20i D.－2＋20i答案B解析z＝3＋4i－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i.2.復(fù)數(shù)(3＋mi)－(2＋i)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.m<eq\f(2,3) B.m<1C.eq\f(2,3)<m<1 D.m>1答案B解析∵(3＋mi)－(2＋i)＝3＋mi－2－i＝1＋(m－1)i，∴m－1<0，∴m<1.3.若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則a的值為()A.3B.2C.1D.－1答案D解析z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，∴1＋a＝0，∴a＝－1.4.如果一個(gè)復(fù)數(shù)與它的模的和為5＋eq\r(3)i，那么這個(gè)復(fù)數(shù)是()A.eq\f(11,5) B.eq\r(3)iC.eq\f(11,5)＋eq\r(3)i D.eq\f(11,5)＋2eq\r(3)i答案C解析設(shè)這個(gè)復(fù)數(shù)為a＋bi(a，b∈R)，則|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).由題意知a＋bi＋eq\r(a2＋b2)＝5＋eq\r(3)i，即a＋eq\r(a2＋b2)＋bi＝5＋eq\r(3)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝5，,b＝\r(3)，))解得a＝eq\f(11,5)，b＝eq\r(3).∴所求復(fù)數(shù)為eq\f(11,5)＋eq\r(3)i.5.在平行四邊形ABCD中，若A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對角線AC的長度為()A.eq\r(5)B.5C.2eq\r(5)D.10答案B解析依題意，eq\o(AC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的長度為|－3－4i|＝5.6.已知復(fù)數(shù)z滿足z＋(1＋2i)＝5－i，則z＝________.答案4－3i解析z＝(5－i)－(1＋2i)＝4－3i.7.已知|z|＝4，且z＋2i是實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)z＝________.答案±2eq\r(3)－2i解析因?yàn)閦＋2i是實(shí)數(shù)，可設(shè)z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，所以a2＝12，所以a＝±2eq\r(3)，所以z＝±2eq\r(3)－2i.8.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋i，則z＝________.答案eq\f(3,4)＋i解析設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝eq\r(x2＋y2).∴x＋yi＋eq\r(x2＋y2)＝2＋i.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(x2＋y2)＝2，,y＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,4)，,y＝1.))∴z＝eq\f(3,4)＋i.9.計(jì)算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)i))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2i))；(2)(3＋2i)＋(eq\r(3)－2)i；(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i).解(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2))i＝eq\f(5,2)－eq\f(5,2)i；(2)(3＋2i)＋(eq\r(3)－2)i＝3＋(2＋eq\r(3)－2)i＝3＋eq\r(3)i；(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|＝1＋2i＋i－1＋5＝5＋3i；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.10.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)－3－i與5＋i對應(yīng)的向量分別是eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))，其中O是原點(diǎn)，求向量eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)及A，B兩點(diǎn)之間的距離.解因?yàn)閺?fù)數(shù)－3－i與5＋i對應(yīng)的向量分別是eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))，其中O是原點(diǎn)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－3，－1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(5,1)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，所以向量eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2，又eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，所以eq\o(BA,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－8－2i，A，B兩點(diǎn)之間的距離|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|－8－2i|＝eq\r(－82＋－22)＝2eq\r(17).11.在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A，B，C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋3i，－i，2＋i，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，則點(diǎn)D表示的復(fù)數(shù)是()A.1－3i B.－3－iC.3＋5i D.5＋3i答案C解析∵點(diǎn)A，B，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋3i，－i,2＋i，∴eq\o(BC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋2i.設(shè)D(x，y)，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴(x－1，y－3)＝(2,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝2，,y－3＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5.))∴點(diǎn)D表示的復(fù)數(shù)為3＋5i.12.復(fù)數(shù)z1＝1＋icosθ，z2＝sinθ－i，則|z1－z2|的最大值為()A.3－2eq\r(2) B.eq\r(2)－1C.3＋2eq\r(2) D.eq\r(2)＋1答案D解析|z1－z2|＝|(1－sinθ)＋(cosθ＋1)i|＝eq\r(1－sinθ2＋1＋cosθ2)＝eq\r(3＋2cosθ－sinθ)＝eq\r(3＋2\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))).∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))))max＝1，∴|z1－z2|max＝eq\r(3＋2\r(2))＝eq\r(2)＋1.13.A，B分別是復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對應(yīng)的兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則△AOB為________.答案直角三角形解析由復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義可知，當(dāng)|z1＋z2|＝|z1－z2|時(shí)，∠AOB＝90°.14.在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么eq\o(BC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為________.答案4－4i解析因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－2＋i,3＋2i,1＋5i，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.15.若復(fù)數(shù)z滿足z－1＝cosθ＋isinθ，則|z|的最小值為______，|z|的最大值為______.答案02解析∵|z－1|＝1，∴復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以(1,0)為圓心，1為半徑的圓，∴|z|的最小值為0，最大值為2.16.已知復(fù)平面內(nèi)平行四邊形ABCD，A點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i，向量eq\o(BA,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i，向量eq\o(BC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i.(1)求點(diǎn)C，D對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)求平行四邊形ABCD的面積.解(1)∵向量eq\o(BA,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i，向量eq\o(BC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，∴向量eq\o(AC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，∴點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴向量eq\o(AD,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3－i，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3，－1).設(shè)D(x，y)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝3，,y－1＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝0.))∴點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5.(2)∵eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB，∴cosB＝eq\f(\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(3－2,\r(5)×\r(10))＝eq\f(1,5\r(2))＝eq\f(\r(2),10).∴sinB＝eq\f(7\r(2),10).∵S?ABCD＝|eq\o(BA,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|sinB＝eq\r(5)×eq\r(10)×eq\f(7\r(2),10)＝7，故平行四邊形ABCD的面積為7.7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算.2.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律.知識點(diǎn)一復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律1.復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3∈C，有交換律z1z2＝z2z1結(jié)合律(z1z2)z3＝z1(z2z3)乘法對加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3思考|z|2＝z2，正確嗎？答案不正確.例如，|i|2＝1，而i2＝－1.知識點(diǎn)二復(fù)數(shù)除法的法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).1.(1＋i)(2＋i)＝________.答案1＋3i解析依題意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i2＋3i＝1＋3i.2.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(1－3i,1－i)＝________.答案2－i解析eq\f(1－3i,1－i)＝eq\f(1－3i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.3.復(fù)數(shù)z＝i(－2－i)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在第________象限.答案四解析因?yàn)閦＝i(－2－i)＝1－2i，所以復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.4.已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(5i,1＋2i)(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝________.答案eq\r(5)解析|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5i,1＋2i)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5i1－2i,5)))＝|i＋2|＝eq\r(5).一、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算例1計(jì)算下列各題.(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.反思感悟(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法①首先按多項(xiàng)式的乘法展開.②再將i2換成－1.③然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算.(2)常用公式①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R).②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R).③(1±i)2＝±2i.跟蹤訓(xùn)練1(1)計(jì)算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于()A.2－13i B.13＋2iC.13－13i D.－13－2i答案D解析(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.(2)若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，1) B.(－∞，－1)C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)答案B解析因?yàn)閦＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(a＋1,1－a)，又此點(diǎn)在第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,1－a>0，))解得a<－1.二、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算例2(1)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別是eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，則復(fù)數(shù)eq\f(z1,z2)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析由復(fù)數(shù)的幾何意義知，z1＝－2－i，z2＝i，所以eq\f(z1,z2)＝eq\f(－2－i,i)＝－1＋2i，對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.(2)計(jì)算：eq\f(1＋i7,1－i)＋eq\f(1－i7,1＋i)－eq\f(3－4i2＋2i3,4＋3i).解原式＝[(1＋i)2]3·eq\f(1＋i,1－i)＋[(1－i)2]3·eq\f(1－i,1＋i)－eq\f(83－4i1＋i3,3－4ii)＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－eq\f(8·2i1＋i,i)＝8＋8－16－16i＝－16i.反思感悟(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算步驟①首先將除式寫為分式.②再將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù).③然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算，并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.(2)常用公式①eq\f(1,i)＝－i；②eq\f(1＋i,1－i)＝i；③eq\f(1－i,1＋i)＝－i.跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1＋z,1－z)＝i，則|z|等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D.2答案A解析由eq\f(1＋z,1－z)＝i得1＋z＝i(1－z)，即z＝eq\f(－1＋i,1＋i)＝eq\f(－1＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(－1－i2,2)＝i，|z|＝1.(2)計(jì)算：①eq\f(7＋i,3＋4i)；②eq\f(－1＋i2＋i,－i).解①eq\f(7＋i,3＋4i)＝eq\f(7＋i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(25－25i,25)＝1－i.②eq\f(－1＋i2＋i,－i)＝eq\f(－3＋i,－i)＝eq\f(－3＋i·i,－i·i)＝－1－3i.三、在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程例3在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程x2＋6x＋10＝0.解因?yàn)閤2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1，所以(x＋3)2＝－1，又因?yàn)閕2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，所以x＋3＝±i，即x＝－3±i.反思感悟當(dāng)一元二次方程中Δ<0時(shí)，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有兩根且互為共軛復(fù)數(shù).跟蹤訓(xùn)練3已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c為實(shí)數(shù))的一個(gè)根.(1)求b，c的值；(2)試判斷1－i是不是方程的根.解(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c為實(shí)數(shù)，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝0，,2＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝2.))(2)由(1)知方程為x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左邊得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右邊，即方程式成立.∴1－i是方程的根.1.若a，b∈R，i為虛數(shù)單位，且(a＋i)i＝b＋i，則()A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1C.a＝－1，b＝－1 D.a＝1，b＝－1答案D解析∵(a＋i)i＝ai－1＝b＋i，∴a＝1，b＝－1.2.復(fù)數(shù)(1＋i)2(2＋3i)的值為()A.6－4i B.－6－4iC.6＋4i D.－6＋4i答案D解析(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)eq\f(i,1＋i)＋(1＋eq\r(3)i)2對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析eq\f(i,1＋i)＋(1＋eq\r(3)i)2＝eq\f(1,2)i＋eq\f(1,2)＋1－3＋2eq\r(3)i＝－eq\f(3,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2\r(3)))i，對應(yīng)點(diǎn)在第二象限.4.(1＋i)2－eq\f(2－i,2＋i)＝________.答案－eq\f(3,5)＋eq\f(14,5)i解析(1＋i)2－eq\f(2－i,2＋i)＝2i－eq\f(2－i2,5)＝－eq\f(3,5)＋eq\f(14,5)i.5.方程x2＋3＝0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解為x＝________.答案±eq\r(3)i1.知識清單：(1)復(fù)數(shù)的乘法及運(yùn)算律.(2)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算.(3)復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算.(4)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程.2.方法歸納：分母實(shí)數(shù)化；配方法解方程；求根公式法.3.常見誤區(qū)：分母實(shí)數(shù)化時(shí)忽視i2＝－1造成運(yùn)算錯(cuò)誤.1.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝i(－2＋i)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案C解析z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝i(－2＋i)的點(diǎn)位于第三象限.2.若z(1＋i)＝2i，則z等于()A.－1－i B.－1＋iC.1－i D.1＋i答案D解析z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝1＋i.3.設(shè)z＝eq\f(3－i,1＋2i)，則|z|等于()A.2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D.1答案C解析z＝eq\f(3－i,1＋2i)＝eq\f(3－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1,5)－eq\f(7,5)i，所以|z|＝eq\r(2).4.(1＋i)20－(1－i)20的值是()A.－1024B.1024C.0D.512答案C解析∵(1＋i)2＝2i，∴(1＋i)4＝－4，又(1－i)2＝－2i，∴(1－i)4＝－4，∴(1＋i)20－(1－