2021南模自招試題答案

沖刺17年自主招生之

2016年南模自招數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（每題5分）

1、已知9+丁2=25,x+y=7,則x—y=---------------

解析：（x+y）2=49nxy=12=（x-y）'=Inx-y=±l.

2、一堆水果因長期放置，含水量從97%下降至96%,那么這堆水果的總重量下降了

_________%.

解析：設(shè)總重量原有工，現(xiàn)有丁，則減少量為97%》一96%曠=》一丫=>3%=4），，所以下

降了”一）'=25%.

y

3+x<2x+a

{x-a<0C無解，則。的取值范圍是

解析：不等式組解得3-a<x<a，由無解得3-a\anaW

2

4、化簡:

解析：由題意得。<0，易有化簡得1-

X2+x+l2x2+x+4

=3的解為:

5,方程:________+__r^_______

X2+3X2+x+l

f+x+lx24-x+l+x2+3f+x+lx2+3

解析：方程變換為:+=3=>+=2,設(shè)

x2+3x2+x+lJC2+3f+x+l

x2+x+l，2

—z-------=A,則nlA+_=2nA=1nf+x+l=x+3=>x=2.

x2+3A

6、如圖已知等腰梯形A8CD中,AD//BC,AD-2,BC—8,E為AB中點(diǎn)，且

EDI.CD,則梯形的面積為

解析：輔助線如右圖，易得CH=3,FH

由射影有DH-^CH+FH,

所以?！?歷，面積為5互

7、當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)y=一〃一+1有最小值T，則實(shí)數(shù)m的值為

解析：分類討論，①相<一1,ymin=/(-I)=-1=；

②—1W/?W2,>min=f(m)=tn—=>m=>J2；

33

③加>2,y="2)=—lnm(舍)。綜上m=一_,r2.

min'5"

8、如圖，已知在8c中，。是斜邊AB的中點(diǎn)，AC=10,BC=5,將△AC。

沿直線8折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處,聯(lián)結(jié)BE,那么線段8后的長度等于

B

、D

A

(第8題圖)

E

解析：輔助線如右圖，由翻折有

CD1AE=>￡1ACF出AECF^ABAC

nEF=2忑nAE=4或

ED=DA=DB=NAEB=90°nBE函5.

二、解答題(每題10分)

9、如圖，已知A8L8C于點(diǎn)B,。。_1.8。于點(diǎn)。，AC、BD交于點(diǎn)、F.

(1)當(dāng)以AB為直徑。。與以CO為直徑。。2相切于點(diǎn)尸時(shí)，判斷△ABC和△OBC之間

的關(guān)系，說明理由,

解析：輔助線如圖，顯然尸、。1、。2三點(diǎn)共線,

BGorc

尸6,3。于6,易有—=_0乃D

GCO2FO2C'

BG.BPAB

過戶作PG_LBC于G,有

11GCPDCD

所以G與G共點(diǎn)，同理PG=bG,

BGc

所以P和口共點(diǎn)，所以△ABC'SAOBC,FP=0.

(2)若3C=AB+C。,以點(diǎn)P為圓心作。P,使0P與直線8C相切。判斷。P與以BC為

直徑的。0之間的位置關(guān)系，并說明理由。

解析：如圖，AB^a,CD=h,BC=a+b,由三平行模型有

1_1」_nPH=ab

~PH~AB(Da+b

BHPHh—a

nBH=an=

'~BC~~CD2

由勾股定理+nPO=-----------

2(a+

a+baha2+b2

圓心距d-r--------------------=-------------=PO,

n2a+b2g+b)

C

所以兩圓內(nèi)切

10、如果一條直線能把一個(gè)四邊形的面積分成兩個(gè)相等的部分，那么我們把這條直線叫做這

個(gè)四邊形的面積等分線。如圖直角坐標(biāo)平面內(nèi)有點(diǎn)4（1，0）、點(diǎn)8（7,0）和點(diǎn)P（3,4）.

（1）若四邊形ABC。為平行四邊形，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（。，4）,點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)。在

線段A8上，且直線尸。是四邊形A8CO的面積等分線時(shí)，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)（用含。的代

數(shù)式表示），并寫出a的取值范圍。

解析：由題：PC+Q8=6n。-3+7-尤0=6=>XQ=。-2，

.?.Q（a-2,0）（3。W9）

（2）若點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1，向,點(diǎn)C在直線y=x—7上，點(diǎn)p在線段C。上，點(diǎn)Q在線段

AB上，且直線PQ是四邊形ABCD的面積等分線時(shí)，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含k的代數(shù)式

表示），并寫出々的取值范圍。

解析：設(shè)C（a,a-7）,Q（b,0）,P到直線y=x-l的距離為

|3-4-7|=彳點(diǎn)=正（4-7）、4隹=4?！?8,

2

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