【數學】空間向量與立體幾何（知識清單 典型例題） 2023-2024學年高二（人教A版2019選擇性必修第一冊）

第一章空間向量與立體幾何（知識清單+典型例題）【知識導圖】【知識清單】考點一：空間向量的有關概念1．空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：空間向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.2．幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b【例1】(1)給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；②若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(A1C1,\s\up8(→))；④若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p.其中正確命題的序號是________．(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，頂點連接的向量中，與向量eq\o(AA′,\s\up8(→))相等的向量有________；與向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))相反的向量有________．(要求寫出所有適合條件的向量)(1)②③④(2)eq\o(BB′,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))，eq\o(DD′,\s\up8(→))eq\o(B′A′,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(C′D′,\s\up8(→))[(1)對于①，向量a與b的方向不一定相同或相反，故①錯；對于②，根據相反向量的定義知|a|＝|b|，故②正確；對于③，根據相等向量的定義知，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(A1C1,\s\up8(→))，故③正確；對于④，根據相等向量的定義知正確．(2)根據相等向量的定義知，與向量eq\o(AA′,\s\up8(→))相等的向量有eq\o(BB′,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))，eq\o(DD′,\s\up8(→)).與向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))相反的向量有eq\o(B′A′,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(C′D′,\s\up8(→)).]【規(guī)律方法】解答空間向量有關概念問題的關鍵點及注意點(1)關鍵點：緊緊抓住向量的兩個要素，即大小和方向．(2)注意點：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點說明了共線向量不具備傳遞性．②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1.③兩個向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同.若兩個向量模相等,方向相反,則它們?yōu)橄喾聪蛄?考點二：空間向量的線性運算(1)向量的加法、減法空間向量的運算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運算律①交換律：a＋b＝b＋a②結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空間向量的數乘運算①定義：實數λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算．當λ>0時，λa與向量a方向相同；當λ<0時，λa與向量a方向相反；當λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運算律a．結合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【例2】(1)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運算結果為向量eq\o(AC1,\s\up8(→))的有()①(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))；②(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→))；③(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))；④(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→)).A．1個B．2個C．3個D．4個(2)已知正四棱錐P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中點，求下列各式中x，y，z的值．①eq\o(OQ,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))＋yeq\o(PC,\s\up8(→))＋zeq\o(PA,\s\up8(→))；②eq\o(PA,\s\up8(→))＝xeq\o(PO,\s\up8(→))＋yeq\o(PQ,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→)).[思路探究](1)合理根據向量的三角形和平行四邊形法則，以及在平行六面體中，體對角線向量等于從同一起點出發(fā)的三條棱向量的和．如eq\o(AC1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→)).(2)根據數乘向量及三角形或平行四邊形法則求解．(1)D[對于①，(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))＝eq\o(AC1,\s\up8(→))；對于②，(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AD1,\s\up8(→))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AC1,\s\up8(→))；對于③，(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AB1,\s\up8(→))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AC1,\s\up8(→))；對于④，(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AB1,\s\up8(→))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AC1,\s\up8(→)).](2)[解]①如圖，∵eq\o(OQ,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\o(PO,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→)))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up8(→))，∴y＝z＝－eq\f(1,2).②∵O為AC的中點，Q為CD的中點，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))，eq\o(PC,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→))＝2eq\o(PQ,\s\up8(→))，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))－eq\o(PC,\s\up8(→))，eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\o(PD,\s\up8(→))，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))－2eq\o(PQ,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→))，∴x＝2，y＝－2.【規(guī)律方法】1．空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果．2．利用數乘運算進行向量表示的技巧(1)數形結合：利用數乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉化為已知向量．(2)明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙運用中點性質．考點三：共線問題(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.【例3】(1)設e1，e2是空間兩個不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up8(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up8(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三點共線，實數k＝________.(2)如圖所示，已知四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，判斷eq\o(CE,\s\up8(→))與eq\o(MN,\s\up8(→))是否共線．[思路探究](1)根據向量共線的充要條件求解．(2)根據數乘向量及三角形法則，把eq\o(MN,\s\up8(→))表示成λeq\o(CE,\s\up8(→))的形式，再根據向量共線的充要條件求解．(1)1[eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2.設eq\o(AD,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，則7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝7,λk＝k＋6))，解得k＝1.](2)[解]法一：因為M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD，四邊形ABEF都是平行四邊形，所以eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(AF,\s\up8(→))＋eq\o(FN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AF,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up8(→)).又因為eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MC,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))＋eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(BN,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))－eq\o(AF,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up8(→))，以上兩式相加得eq\o(CE,\s\up8(→))＝2eq\o(MN,\s\up8(→))，所以eq\o(CE,\s\up8(→))∥eq\o(MN,\s\up8(→))，即eq\o(CE,\s\up8(→))與eq\o(MN,\s\up8(→))共線．法二：因為四邊形ABEF為平行四邊形，所以連接AE時，AE必過點N.∴eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AN,\s\up8(→))－2eq\o(AM,\s\up8(→))＝2(eq\o(AN,\s\up8(→))－eq\o(AM,\s\up8(→)))＝2eq\o(MN,\s\up8(→)).所以eq\o(CE,\s\up8(→))∥eq\o(MN,\s\up8(→))，即eq\o(CE,\s\up8(→))與eq\o(MN,\s\up8(→))共線．【規(guī)律方法】證明空間三點共線的三種思路對于空間三點P，A，B可通過證明下列結論來證明三點共線．(1)存在實數λ，使eq\o(PA,\s\up8(→))＝λeq\o(PB,\s\up8(→))成立．(2)對空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→))(t∈R)．(3)對空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))(x＋y＝1)．考點四：向量共面問題(1)定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點P位于平面ABC內的充要條件：存在有序實數對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或對空間任意一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).【例4】已知A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，若點M滿足eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→)).(1)判斷eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))三個向量是否共面；(2)判斷M是否在平面ABC內．[思路探究](1)根據向量共面的充要條件，即判斷是否eq\o(MA,\s\up8(→))＝xeq\o(MB,\s\up8(→))＋yeq\o(MC,\s\up8(→))；(2)根據(1)的結論，也可以利用eq\o(OM,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))中x＋y＋z是否等于1.[解](1)∵eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝3eq\o(OM,\s\up8(→))，∴eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→))＝(eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＋(eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))，∴eq\o(MA,\s\up8(→))＝eq\o(BM,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＝－eq\o(MB,\s\up8(→))－eq\o(MC,\s\up8(→))，∴向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))共面，而它們有共同的起點M，且A，B，C三點不共線，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC內．【規(guī)律方法】解決向量共面的策略1若已知點P在平面ABC內，則有EQ\o(AP,\s\up8(→))＝xEQ\o(AB,\s\up8(→))＋yEQ\o(AC,\s\up8(→))或EQ\o(OP,\s\up8(→))＝xEQ\o(OA,\s\up8(→))＋yEQ\o(OB,\s\up8(→))＋zEQ\o(OC,\s\up8(→))x＋y＋z＝1，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數法求出參數.2證明三個向量共面或四點共面，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示.考點五：空間向量的數量積運算1．空間向量的夾角(1)夾角的定義已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)夾角的范圍空間任意兩個向量的夾角θ的取值范圍是[0，π]．特別地，當θ＝0時，兩向量同向共線；當θ＝π時，兩向量反向共線，所以若a∥b，則〈a，b〉＝0或π；當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，兩向量垂直，記作a⊥b.2．空間向量的數量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數量積為0.(2)常用結論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數量積的運算律數乘向量與數量積的結合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c3．投影向量(1)投影向量在空間，向量a向向量b投影，可以先將它們平移到同一個平面內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，則向量c稱為向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉eq\f(a,|a|).(2)向量a在平面β上的投影向量向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))，則向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，eq\o(A′B′,\s\up8(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．[提醒](1)兩個向量的數量積是數量，而不是向量，它可以是正數、負數或零；(2)向量數量積的運算不滿足消去律、作商和乘法的結合律，即a·b＝a·c?b＝c，a·b＝k?b＝eq\f(k,a)，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．【例5】(1)如圖，三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))等于()A．－2B．2C．－2eq\r(3)D．2eq\r(3)(2)在四面體OABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G為△ABC的重心，求eq\o(OG,\s\up8(→))·(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))的值．(1)A[∵eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·(eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0－2×2×cos60°＝－2.](2)[解]eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)[(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＋(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))]＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→)).∴eq\o(OG,\s\up8(→))·(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(OB,\s\up8(→))＋\f(1,3)\o(OC,\s\up8(→))＋\f(1,3)\o(OA,\s\up8(→))))·(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))2＝eq\f(1,3)×22＋eq\f(1,3)×32＋eq\f(1,3)×12＝eq\f(14,3).【規(guī)律方法】在幾何體中求空間向量的數量積的步驟1首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.2利用向量的運算律將數量積展開，轉化成已知模和夾角的向量的數量積.3根據向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模.4代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.考點六：利用數量積證明空間垂直關系【例6】已知空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC.[思路探究]首先把向量eq\o(OG,\s\up8(→))和eq\o(BC,\s\up8(→))均用eq\o(OA,\s\up8(→))、eq\o(OB,\s\up8(→))、eq\o(OC,\s\up8(→))表示出來，通過證明eq\o(OG,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0來證得OG⊥BC.[證明]連接ON，設∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又設eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|.又eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OM,\s\up8(→))＋eq\o(ON,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up8(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up8(→))＋\o(OC,\s\up8(→))))＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝c－b.∴eq\o(OG,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)·(c－b)＝eq\f(1,4)(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝eq\f(1,4)(|a|2·cosθ－|a|2·cosθ－|a|2＋|a|2)＝0.∴eq\o(OG,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，即OG⊥BC.【規(guī)律方法】用向量法證明垂直關系的步驟(1)把幾何問題轉化為向量問題；(2)用已知向量表示所證向量；(3)結合數量積公式和運算律證明數量積為0；(4)將向量問題回歸到幾何問題．考點7：夾角問題【例7】(1)已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，則向量a與b之間的夾角〈a，b〉為()A．30° B．45°C．60° D．以上都不對(2)如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求異面直線OA與BC的夾角的余弦值．[思路探究](1)根據題意，構造△ABC，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝c，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝a，根據△ABC三邊之長，利用余弦定理求出向量a與b之間的夾角即可．(2)求異面直線OA與BC所成的角，首先來求eq\o(OA,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))的夾角，但要注意異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，而向量夾角的取值范圍為[0，π]，注意角度的轉化．(1)D[∵a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，∴以這三個向量首尾相連組成△ABC；令eq\o(AB,\s\up8(→))＝c，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝a，則△ABC三邊之長分別為BC＝2，CA＝3，AB＝4；由余弦定理，得：cos∠BCA＝eq\f(BC2＋CA2－AB2,2BC·CA)＝eq\f(22＋32－42,2×2×3)＝－eq\f(1,4)，又向量eq\o(BC,\s\up8(→))和eq\o(CA,\s\up8(→))是首尾相連，∴這兩個向量的夾角是180°－∠BCA，∴cos〈a，b〉＝eq\f(1,4)，即向量a與b之間的夾角〈a，b〉不是特殊角．](2)[解]∵eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝|eq\o(OA,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉－|eq\o(OA,\s\up8(→))|·|eq\o(AB,\s\up8(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2).∴cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(OA,\s\up8(→))·\o(BC,\s\up8(→)),|\o(OA,\s\up8(→))|·|\o(BC,\s\up8(→))|)＝eq\f(24－16\r(2),8×5)＝eq\f(3－2\r(2),5)，∴異面直線OA與BC的夾角的余弦值為eq\f(3－2\r(2),5).【規(guī)律方法】利用向量數量積求夾角問題的思路(1)求兩個向量的夾角有兩種方法：①結合圖形，平移向量，利用空間向量夾角的定義來求，但要注意向量夾角的范圍；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求出cos〈a，b〉的值，最后確定〈a，b〉的值．(2)求兩條異面直線所成的角，步驟如下：①根據題設條件在所求的異面直線上取兩個向量(即直線的方向向量)；②將異面直線所成角的問題轉化為向量夾角問題；③利用數量積求向量夾角的余弦值或角的大小；④異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量數量積求向量夾角的余弦值時應將余弦值加上絕對值，從而求出異面直線所成的角的大?。}型八：距離問題【例8】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿著它的對角線AC將△ACD折起，使AB與CD成60°角，求此時B，D間的距離．[思路探究]eq\x(\o(BD,\s\up8(→))＝\o(BA,\s\up8(→))＋\o(AC,\s\up8(→))＋\o(CD,\s\up8(→)))→eq\x(|\o(BD,\s\up8(→))|2)注意對〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉的討論，再求出B，D間距離．[解]∵∠ACD＝90°，∴eq\o(AC,\s\up8(→))·CD＝0，同理可得eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→))＝0.∵AB與CD成60°角，∴〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉＝60°或〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉＝120°.又eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))，∴|eq\o(BD,\s\up8(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up8(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up8(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up8(→))|2＋2eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＋2eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＋2eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝3＋2×1×1×cos〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉．∴當〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉＝60°時，|eq\o(BD,\s\up8(→))|2＝4，此時B，D間的距離為2；當〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉＝120°時，|eq\o(BD,\s\up8(→))|2＝2，此時B，D間的距離為eq\r(2).【規(guī)律方法】求兩點間的距離或線段長的方法(1)將相應線段用向量表示，通過向量運算來求對應向量的模．(2)因為a·a＝|a|2，所以|a|＝eq\r(a·a)，這是利用向量解決距離問題的基本公式．另外，該公式還可以推廣為|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).(3)可用|a·e|＝|a||cosθ|(e為單位向量，θ為a，e的夾角)來求一個向量在另一個向量所在直線上的投影．考點九：基底的判斷空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底．【例9】(1)設x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個基底，給出下列向量組：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作為空間一個基底的向量組有()A．1個B．2個C．3個D．4個(2)已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且eq\o(OA,\s\up8(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up8(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up8(→))＝e1＋e2－e3，試判斷{eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))}能否作為空間的一個基底．(1)C[如圖所示，令a＝eq\o(AB,\s\up8(→))，b＝eq\o(AA1,\s\up8(→))，c＝eq\o(AD,\s\up8(→))，則x＝eq\o(AB1,\s\up8(→))，y＝eq\o(AD1,\s\up8(→))，z＝eq\o(AC,\s\up8(→))，a＋b＋c＝eq\o(AC1,\s\up8(→)).由于A，B1，C，D1四點不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故選C.](2)[解]假設eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))共面，由向量共面的充要條件知，存在實數x，y，使eq\o(OA,\s\up8(→))＝xeq\o(OB,\s\up8(→))＋yeq\o(OC,\s\up8(→))成立，∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3∵{e1，e2，e3}是空間的一個基底，∴e1，e2，e3不共面．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－3x＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程組無解．即不存在實數x，y使得eq\o(OA,\s\up8(→))＝xeq\o(OB,\s\up8(→))＋yeq\o(OC,\s\up8(→))，所以eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))不共面．所以{eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))}能作為空間的一個基底．【規(guī)律方法】基底判斷的基本思路及方法(1)基本思路：判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構成基底；若不共面，則能構成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構成基底．②假設a＝λb＋μc，運用空間向量基本定理，建立λ，μ的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無解，則不共面，能作為基底．考點十：用基底表示向量【例10】如圖，四棱錐P-OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OC,\s\up8(→))＝b，eq\o(OP,\s\up8(→))＝c，E，F分別是PC，PB的中點，試用a，b，c表示：eq\o(BF,\s\up8(→))，eq\o(BE,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))，eq\o(EF,\s\up8(→)).[思路探究]eq\x(\a\al(利用圖形尋找待求向,量與a，b，c的關系))→eq\x(\a\al(利利用向量運,算進行分拆))→eq\x(\a\al(直至向量用,a，b，c表示))[解]連接BO(圖略)，則eq\o(BF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BO,\s\up8(→))＋eq\o(OP,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CO,\s\up8(→))＋eq\o(OP,\s\up8(→)))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))＋eq\o(PE,\s\up8(→))＝eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OP,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PO,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a.【規(guī)律方法】基向量的選擇和使用方法(1)盡可能選擇具有垂直關系的，從同一起點出發(fā)的三個向量作為基底．(2)用基向量表示一個向量時，如果此向量的起點是從基底的公共點出發(fā)的，一般考慮加法，否則考慮減法；如果此向量與一個易求的向量共線，可用數乘．考點十一：正交分解在立體幾何中的應用正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底．常用{i，j，k}表示．(2)正交分解把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．【例11】如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側棱AA1長為b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求異面直線BD1和AC所成角的余弦值．[思路探究]eq\x(取基底{\o(AB,\s\up8(→))，\o(AD,\s\up8(→))，\o(AA1,\s\up8(→))})→eq\x(用基底表示向量\o(BD1,\s\up8(→))和\o(AC,\s\up8(→)))→eq\x(求|\o(BD1,\s\up8(→))|，|\o(AC,\s\up8(→))|和\o(BD1,\s\up8(→))·\o(AC,\s\up8(→)))→eq\x(求\o(BD1,\s\up8(→))與\o(AC,\s\up8(→))的夾角余弦值)→eq\x(得異面直線所成角的余弦值)[解]{eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))}可以作為空間的一個基底，且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝a，|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝a，|eq\o(AA1,\s\up8(→))|＝b，〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))〉＝90°，〈eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))〉＝120°，〈eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))〉＝120°.又eq\o(BD1,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))，∴|eq\o(BD1,\s\up8(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up8(→))|2＋|eq\o(AA1,\s\up8(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up8(→))|2＋2eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AA1,\s\up8(→))－2eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))－2eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝a2＋b2＋a2＋2abcos120°－0－2abcos120°＝2a2＋b2，|eq\o(AC,\s\up8(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＋|eq\o(AD,\s\up8(→))|2＝2a2，∴|eq\o(BD1,\s\up8(→))|＝eq\r(2a2＋b2)，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝eq\r(2)a.∴eq\o(BD1,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝(eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))·(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋|eq\o(AD,\s\up8(→))|2＋eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))－|eq\o(AB,\s\up8(→))|2－eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＝0＋a2＋abcos120°＋abcos120°－a2－0＝－ab.∴|cos〈eq\o(BD1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉|＝eq\f(|\o(BD1,\s\up8(→))·\o(AC,\s\up8(→))|,|\o(BD1,\s\up8(→))||\o(AC,\s\up8(→))|)＝eq\f(|－ab|,\r(2a2＋b2)·\r(2)a)＝eq\f(b,\r(4a2＋2b2)).∴異面直線BD1和AC所成角的余弦值為eq\f(b,\r(4a2＋2b2)).【規(guī)律方法】基向量法解決長度、垂直及夾角問題的步驟(1)設出基向量．(2)用基向量表示出直線的方向向量．(3)用|a|＝eq\r(a·a)求長度，用a·b＝0?a⊥b，用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求夾角．(4)轉化為線段長度，兩直線垂直及夾角問題．考點十二：求空間點的坐標1．空間直角坐標系空間直角坐標系在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了空間直角坐標系坐標軸x軸、y軸、z軸坐標原點點O坐標向量i，j，k坐標平面Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面右手直角坐標系在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸正方向，食指指向y軸正方向，如果中指指向z軸正方向，則稱坐標系為右手直角坐標系2.空間向量的坐標表示空間直角坐標系中A點坐標在空間直角坐標系中，i，j，k為坐標向量，對空間任一點A，對應一個向量eq\o(OA,\s\up8(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up8(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up8(→))＝xi＋yj＋zk，則(x，y，z)叫做點A在空間直角坐標系中的坐標．記作A(x，y，z)，其中x叫點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z叫做點A的豎坐標在空間直角坐標系中，給定向量a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，則(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系中的坐標，簡記作a＝(x，y，z)【例12】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N為棱CC1的中點，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．(1)求點A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐標；(2)求點N的坐標．[思路探究]將各個點在坐標上的射影求出，即可寫出空間各點的坐標．[解](1)顯然D(0,0,0)，因為點A在x軸的正半軸上，且|AD|＝3，所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)．因為點B在坐標平面xOy內，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，與B的坐標相比，點B1的坐標中只有豎坐標不同，|BB1|＝|AA1|＝5，則B1(3,4,5)．(2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)，則C1C的中點N為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋0,2)，\f(4＋4,2)，\f(0＋5,2)))，即Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，\f(5,2))).【規(guī)律方法】坐標軸上或坐標平面上點的坐標的特點x軸上(x,0,0)xOy平面上(x，y,0)y軸上(0，y,0)yOz平面上(0，y，z)z軸上(0,0，z)xOz平面上(x,0，z)坐標原點(0,0,0)考點十三：求對稱點的坐標【例13】在空間直角坐標系中，點P(－2,1,4)．(1)求點P關于x軸的對稱點的坐標；(2)求點P關于xOy平面的對稱點的坐標；(3)求點P關于點M(2，－1，－4)的對稱點的坐標．[思路探究]求對稱點的坐標，可以過該點向對稱平面或對稱軸作垂線并延長，使得垂足為所作線段的中點，再根據有關性質即可寫出對稱點坐標．[解](1)由于點P關于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?，所以對稱點為P1(－2，－1，－4)．(2)由于點P關于xOy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾担詫ΨQ點為P2(－2,1，－4)．(3)設對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3的中點．由中點坐標公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．【規(guī)律方法】1．求對稱點的坐標可按以下規(guī)律寫出：“關于誰對稱誰不變，其余的符號均相反．”在空間直角坐標系中，任一點P(a，b，c)的幾種特殊的對稱點的坐標如下：對稱軸或對稱中心對稱點坐標P(a，b，c)x軸(a，－b，－c)y軸(－a，b，－c)z軸(－a，－b，c)xOy平面(a，b，－c)yOz平面(－a，b，c)xOz平面(a，－b，c)坐標原點(－a，－b，－c)2.在空間直角坐標系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則線段AB的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))).考點十四：空間向量的坐標表示【例14】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點，試建立恰當的坐標系求向量eq\o(BN,\s\up8(→))，eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐標．[思路探究]以點C為原點，分別以eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CC1,\s\up8(→))的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，然后，把BN，eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(A1B,\s\up8(→))分別用eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CC1,\s\up8(→))表示出來，再寫出它們的坐標．[解]法一：由題意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以點C為原點，分別以CA，CB，CC1的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系C-xyz，如圖所示．∴eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up8(→))，∴eq\o(BN,\s\up8(→))的坐標為(1，－1,1)，而eq\o(BA1,\s\up8(→))＝eq\o(CA1,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))，∴eq\o(BA1,\s\up8(→))的坐標為(1，－1,2)．又∵eq\o(A1B,\s\up8(→))＝－eq\o(BA1,\s\up8(→))，∴eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐標為(－1,1，－2)．法二：建系同法一，則B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，∴eq\o(BN,\s\up8(→))＝(1，－1,1)，eq\o(BA1,\s\up8(→))＝(1，－1,2)，eq\o(A1B,\s\up8(→))＝(－1,1，－2)．【規(guī)律方法】用坐標表示空間向量的步驟考點十五：空間向量的坐標運算1．空間向量運算的坐標表示設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空間向量的坐標運算法則如下表所示：運算坐標表示加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數乘λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b32.空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標表示設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則平行(a∥b)a∥b(b≠0)?a＝λb?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝λb1，,a2＝λb2，λ∈R,a3＝λb3))垂直(a⊥b)a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)模|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))3．向量的坐標及兩點間的距離公式在空間直角坐標系中，設A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則(1)eq\o(AB,\s\up8(→))＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；(2)dAB＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(a2－a12＋b2－b12＋c2－c12).【例15】(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·2b＝－2，則x＝________.(2)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．(1)2[c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2.](2)[解]a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)；a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)；a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.【規(guī)律方法】進行空間向量的數量積坐標運算的技巧利用向量坐標運算解決問題的關鍵是熟記向量坐標運算的法則，同時掌握下列技巧．(1)在運算中注意相關公式的靈活運用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等．(2)進行向量坐標運算時，可以先代入坐標再運算，也可先進行向量式的化簡再代入坐標運算，如計算(2a)·(－b)，既可以利用運算律把它化成－2(a·b)，也可以求出2a，－b后，再求數量積；計算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，求數量積，也可以把(a＋b)·(a－b)寫成a2－b2后計算．考點十六：空間向量的平行與垂直【例16】(1)對于空間向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)．若a∥b，則實數λ＝()A．－2B．－1C．1D．2(2)正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點，P、Q分別為線段B1D1，BD上的點，且3eq\o(B1P,\s\up8(→))＝eq\o(PD1,\s\up8(→))，若PQ⊥AE，eq\o(BD,\s\up8(→))＝λeq\o(DQ,\s\up8(→))，求λ的值．[思路探究](1)利用向量共線充要條件．(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算，求λ值．(1)D[因為空間向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)，若a∥b，則eq\f(1,λ)＝eq\f(2,4)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，所以λ＝2，故選D.](2)[解]如圖所示，以D為原點，eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則A(1,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由題意，可設點P的坐標為(a，a,1)，因為3eq\o(B1P,\s\up8(→))＝eq\o(PD1,\s\up8(→))，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，所以3a－3＝－a，解得a＝eq\f(3,4)，所以點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，1)).由題意可設點Q的坐標為(b，b,0)，因為PQ⊥AE，所以eq\o(PQ,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(3,4)，b－\f(3,4)，－1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))＝0，即－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(3,4)))－eq\f(1,2)＝0，解得b＝eq\f(1,4)，所以點Q的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，0))，因為eq\o(BD,\s\up8(→))＝λeq\o(DQ,\s\up8(→))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1，0))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，0))，所以eq\f(λ,4)＝－1，故λ＝－4.【規(guī)律方法】1．判斷空間向量垂直或平行的步驟(1)向量化：將空間中的垂直與平行轉化為向量的垂直與平行；(2)向量關系代數化：寫出向量的坐標；(3)對于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根據x1x2＋y1y2＋z1z2是否為0判斷兩向量是否垂直；根據x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)＝eq\f(z1,z2)(x2，y2，z2都不為0)判斷兩向量是否平行．2．由空間向量垂直或平行求值只需根據垂直或平行的條件建立方程(組)求解即可．考點十七：空間向量的夾角與長度問題【例17】如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點．(1)求BN的長；(2)求A1B與B1C所成角的余弦值；(3)求證：BN⊥平面C1MN.[思路探究]eq\x(建系C-xyz)→eq\x(得各點的坐標)→eq\x(數量積運算)→eq\x(夾角、長度公式)→eq\x(幾何結論)[解](1)如圖所示，建立空間直角坐標系C-xyz.依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，∴|eq\o(BN,\s\up8(→))|＝eq\r(1－02＋0－12＋1－02)＝eq\r(3)，∴線段BN的長為eq\r(3).(2)依題意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，∴eq\o(BA1,\s\up8(→))＝(1，－1,2)，eq\o(CB1,\s\up8(→))＝(0,1,2)，∴eq\o(BA1,\s\up8(→))·eq\o(CB1,\s\up8(→))＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|eq\o(BA1,\s\up8(→))|＝eq\r(6)，|eq\o(CB1,\s\up8(→))|＝eq\r(5).∴cos〈eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(CB1,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up8(→))·\o(CB1,\s\up8(→)),|\o(BA1,\s\up8(→))||\o(CB1,\s\up8(→))|)＝eq\f(\r(30),10).故A1B與B1C所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).(3)證明：依題意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，N(1,0,1)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，2))，∴eq\o(C1M,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，eq\o(C1N,\s\up8(→))＝(1,0，－1)，eq\o(BN,\s\up8(→))＝(1，－1,1)，∴eq\o(C1M,\s\up8(→))·eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)×1＋eq\f(1,2)×(－1)＋0×1＝0，eq\o(C1N,\s\up8(→))·eq\o(BN,\s\up8(→))＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴eq\o(C1M,\s\up8(→))⊥eq\o(BN,\s\up8(→))，eq\o(C1N,\s\up8(→))⊥eq\o(BN,\s\up8(→))，∴BN⊥C1M，BN⊥C1N，又∵C1M∩C1N＝C1，C1M?平面C1MN，C1N?平面C1MN，∴BN⊥平面C1MN.【規(guī)律方法】1．利用向量數量積的坐標公式求異面直線所成角的步驟(1)根據幾何圖形的特點建立適當的空間直角坐標系；(2)利用已知條件寫出有關點的坐標，進而獲得相關向量的坐標；(3)利用向量數量積的坐標公式求得異面直線上有關向量的夾角，并將它轉化為異面直線所成的角．2．利用向量坐標求空間中線段的長度的一般步驟(1)建立適當的空間直角坐標系；(2)求出線段端點的坐標；(3)利用兩點間的距離公式求出線段的長．考點十八：求平面的法向量1．空間中點、直線和平面的向量表示點P的位置向量在空間中，取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P可以用向量eq\o(OP,\s\up8(→))表示，我們把向量eq\o(OP,\s\up8(→))稱為點P的位置向量.空間直線的向量表示式a是直線l的方向向量，在直線l上取eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋ta，也可以表示為eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→)).這兩個式子稱為空間直線的向量表示式.空間平面ABC的向量表示式設兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面內任意一點，則存在唯一的有序實數對(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝xa＋yb.那么取定空間任意一點O，可以得到，空間一點P在平面ABC內的充要條件是存在實數x，y，使eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))，這就是空間平面ABC的向量表示式.2.直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量的定義直線的方向向量是指和這條直線_平行或共線的非零向量，一條直線的方向向量有無數個．(2)平面的法向量的定義直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．3．空間中平行關系的向量表示線線平行設兩條不重合的直線l1，l2的方向向量分別為u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，則l1∥l2?u1∥u2?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)線面平行設l的方向向量為u＝(a1，b1，c1)，α的法向量為n＝(a2，b2，c2)，則l∥α?u·n＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0面面平行設α，β的法向量分別為n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)【例18】四邊形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如圖所示的坐標系A-xyz中，分別求平面SCD和平面SAB的一個法向量．[解]A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．∵AD⊥平面SAB，∴eq\o(AD,\s\up8(→))＝(1,0,0)是平面SAB的一個法向量．設平面SCD的法向量為n＝(1，y，z)，則n·eq\o(DC,\s\up8(→))＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，∴y＝－eq\f(1,2).又n·eq\o(DS,\s\up8(→))＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，∴z＝eq\f(1,2).∴n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，\f(1,2)))即為平面SCD的一個法向量．【規(guī)律方法】求平面法向量的步驟(1)設法向量n＝(x，y，z)；(2)在已知平面內找兩個不共線向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；(3)建立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝a1x＋a2y＋a3z＝0，,n·b＝b1x＋b2y＋b3z＝0；))(4)解方程組：用一個未知量表示其他兩個未知量，然后對用來表示兩未知量的未知量賦以特殊值，從而得到平面的一個法向量．考點十九：利用空間向量證明線線平行【例19】(1)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，則λ與μ的值可以是()A．2，eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C．－3,2D．2,2(2)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點．求證：PQ∥RS.[思路探