空間向量的應(yīng)用專題訓(xùn)練卷(含解析)_第1頁
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34/34空間向量的應(yīng)用專題訓(xùn)練卷一、單選題1.(2020·江蘇如東?高一期末)在長方體中,,,則直線與平面所成角的正弦值為()A. B. C. D.2.(2020·河北新華?石家莊二中高一期末)在正方體中,分別為,的中點(diǎn),為側(cè)面的中心,則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D.3.(2020·遼寧高三其他(文))如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()A. B. C. D.4.(2020·黑龍江道里?哈爾濱三中高三二模(理))已知四面體中,,,兩兩垂直,,與平面所成角的正切值為,則點(diǎn)到平面的距離為()A. B. C. D.5.(2020·山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高二月考)在棱長為1的正方體中,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),則直線與平面所成角的正弦值是()A. B. C. D.6.(2018·浙江高三其他)如圖,在長方體中,,,,分別是,,的中點(diǎn),記直線與所成的角為,平面與平面所成二面角為,則()A. B.C. D.7.(2020·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三三模)在三棱柱中,是棱上的點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),記直線與直線所成的角為,直線與平面所成的角為,二面角的平面角為,則()A. B. C. D.8.(2020·浙江衢州?高二期末)在底面為銳角三角形的直三棱柱中,是棱的中點(diǎn),記直線與直線所成角為,直線與平面所成角為,二面角的平面角為,則()A. B. C. D.9.(2020·浙江省杭州第二中學(xué)高三其他)空間線段,,且,設(shè)與所成的角為,與面所成的角為,二面角的平面角為,則()A. B. C. D.10.(2020·四川高三三模(理))如圖該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成,半圓柱體底面直徑BC=4,AB=AC,∠BAC=90°,D為半圓弧的中點(diǎn),若異面直線BD和AB1所成角的余弦值為,則該幾何體的體積為()A.16+8π B.32+16π C.32+8π D.16+16π二、多選題11.(2019·江蘇徐州?高二期末)下列命題中正確的是()A.是空間中的四點(diǎn),若不能構(gòu)成空間基底,則共面B.已知為空間的一個基底,若,則也是空間的基底C.若直線的方向向量為,平面的法向量為,則直線D.若直線的方向向量為,平面的法向量為,則直線與平面所成角的正弦值為12.(2020·山東平邑?高二期末)如圖,一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體,其中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等,且它們彼此的夾角都是60°,下列說法中正確的是()A. B.C.向量與的夾角是60° D.與AC所成角的余弦值為13.(2020·福建廈門?高二期末)正方體中,E、F、G、H分別為、BC、CD、BB、的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A. B.平面平面C.面AEF D.二面角的大小為14.正三棱柱中,,則()A.與底面的成角的正弦值為B.與底面的成角的正弦值為C.與側(cè)面的成角的正弦值為D.與側(cè)面的成角的正弦值為三、單空題15.(2020·四川省南充市白塔中學(xué)高二月考(理))已知平面的一個法向量,,,且,則直線與平面所成的角為______.16.(2019·河南高二競賽)等邊三角形與正方形有一公共邊,二面角的余弦值為,分別是的中點(diǎn),則所成角的余弦值等于.17.(2019·安徽埇橋?北大附宿州實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末(理))若平面,的法向量分別為,,則這兩個平面所成的銳角的二面角的余弦值為________.四、雙空題18.(2020·浙江寧波?高二期末)在正四面體中,,分別為棱、的中點(diǎn),設(shè),,,用,,表示向量______,異面直線與所成角的余弦值為______.19.(2018·北京海淀?高二期末(理))已知棱長為的正四面體,為在底面上的正射影,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,為線段的中點(diǎn),則點(diǎn)坐標(biāo)是__________,直線與平面所成角的正弦值是__________.20.(2020·山東德州?高二期末)如圖,在直三棱柱中,,,則異面直線與所成角為______;二面角的余弦值是______.21.如圖,在三棱錐中,,且,M、N分別是AB和SC的中點(diǎn),則異面直線SM與BN所成的角的余弦值為________,二面角大小為________.五、解答題22.(2020·上海高三專題練習(xí))如圖,在棱長為1的立方體中,是棱的中點(diǎn),為平面內(nèi)的點(diǎn).(1)若平面,確定點(diǎn)的位置;(2)求點(diǎn)到平面的距離.23.(2020·全國高二課時練習(xí))在直三棱柱中,,,是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求直線到平面的距離.24.(2019·天津南開?崇化中學(xué)高二期中)如圖,四棱錐的底面是邊長為2的正方形,側(cè)面底面,且,,分別為棱,的中點(diǎn).(1)求證:;(2)求異面直線與所成角的余弦值;(3)求點(diǎn)到平面的距離.25.(2020·河南高三其他(理))《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年,在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qiandu);陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bienao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中,.(1)求證:四棱錐為陽馬;(2)若,當(dāng)鱉膈體積最大時,求銳二面角的余弦值.26.(2019·浙江衢州?高二期中)四棱錐中,,底面為等腰梯形,,,為線段的中點(diǎn),.(1)證明:平面;(2)若,求直線與平面所成角正弦值.27.(2020·武威第六中學(xué)高三其他(理))如圖,四棱錐的底面為直角梯形,,,,為的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面(Ⅱ)若平面平面,異面直線與所成角為60°,且是鈍角三角形,求二面角的正弦值一、單選題1.(2020·江蘇如東高一期末)在長方體中,,,則直線與平面所成角的正弦值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在的直線為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

則,

為平面的一個法向量.

∴直線與平面所成角的正弦值為.故選:D.2.(2020·河北新華石家莊二中高一期末)在正方體中,分別為,的中點(diǎn),為側(cè)面的中心,則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為,則,∴.則.∴異面直線與所成角的余弦值為,故選A.3.(2020·遼寧高三其他(文))如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以DA、DC、所在的直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),(0,2,1)∴=(-2,0,1),=(-2,2,0),且為平面BB1D1D的一個法向量.∴.∴BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為4.(2020·黑龍江道里哈爾濱三中高三二模(理))已知四面體中,,,兩兩垂直,,與平面所成角的正切值為,則點(diǎn)到平面的距離為()A. B. C. D.【答案】D【解析】以為原點(diǎn),,,分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:設(shè),,,,,.,,.設(shè)平面的法向量,則,令,得,,故.因?yàn)橹本€與平面所成角的正切值為,所以直線與平面所成角的正弦值為.即,解得.所以平面的法向量,故到平面的距離為.故選:D5.(2020·山東省濟(jì)南市萊蕪第一中學(xué)高二月考)在棱長為1的正方體中,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),則直線與平面所成角的正弦值是()A. B. C. D.【答案】B【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,設(shè)平面的法向量為則令可得,所以設(shè)直線與平面所成角為,故選:B6.(2018·浙江高三其他)如圖,在長方體中,,,,分別是,,的中點(diǎn),記直線與所成的角為,平面與平面所成二面角為,則()A. B.C. D.【答案】B【解析】連接,如圖,在長方體內(nèi)知,所以為異面直線與所成的角為,易知為等邊三角形,所以,因?yàn)槠矫?平面,所以又,所以平面,同理可得平面,則,可分別視為平面,平面的一個法向量,又因?yàn)樵陂L方體內(nèi)易知,而故與的夾角為,所以或,即,故選:B7.(2020·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三三模)在三棱柱中,是棱上的點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),記直線與直線所成的角為,直線與平面所成的角為,二面角的平面角為,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)三棱柱是棱長為的正三棱柱,是棱的中點(diǎn),以為原點(diǎn),在平面中,過作的垂線為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,,直線與直線所成的角為,,直線與平面所成的角為,平面的法向量,,,設(shè)平面的法向量,則,取,得,二面角的平面角為,,,故選:D8.(2020·浙江衢州高二期末)在底面為銳角三角形的直三棱柱中,是棱的中點(diǎn),記直線與直線所成角為,直線與平面所成角為,二面角的平面角為,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可知,直三棱柱的底面為銳角三角形,是棱的中點(diǎn),設(shè)三棱柱是棱長為的正三棱柱,以為原點(diǎn),在平面中,過作的垂線為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,,直線與直線所成的角為,,,直線與平面所成的角為,,平面的法向量,,,設(shè)平面的法向量,則,取,得,二面角的平面角為,由圖可知,為銳角,即,,,由于在區(qū)間上單調(diào)遞減,,則.故選:A.9.(2020·浙江省杭州第二中學(xué)高三其他)空間線段,,且,設(shè)與所成的角為,與面所成的角為,二面角的平面角為,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榭臻g線段,,所以可將其放在矩形中進(jìn)行研究,如圖,繪出一個矩形,并以點(diǎn)為原點(diǎn)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系:因?yàn)?,所以可設(shè),,,則,,,,,,,故與所成的角的余弦值,因?yàn)楦鶕?jù)矩形的性質(zhì)易知平面平面,平面,所以二面角的平面角為,,,所以即與面所成的角,故,因?yàn)?,所以,故選:A.10.(2020·四川高三三模(理))如圖該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成,半圓柱體底面直徑BC=4,AB=AC,∠BAC=90°,D為半圓弧的中點(diǎn),若異面直線BD和AB1所成角的余弦值為,則該幾何體的體積為()A.16+8π B.32+16π C.32+8π D.16+16π【答案】A【解析】設(shè)在底面半圓上的射影為,連接交于,設(shè).依題意半圓柱體底面直徑,為半圓弧的中點(diǎn),所以且分別是下底面、上底面半圓的圓心.連接,則與上下底面垂直,所以,以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)幾何體的高為,則,所以,由于異面直線和所成的角的余弦值為,所以,即.所以幾何體的體積為.故選:A二、多選題11.(2019·江蘇徐州高二期末)下列命題中正確的是()A.是空間中的四點(diǎn),若不能構(gòu)成空間基底,則共面B.已知為空間的一個基底,若,則也是空間的基底C.若直線的方向向量為,平面的法向量為,則直線D.若直線的方向向量為,平面的法向量為,則直線與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【解析】對于A,是空間中的四點(diǎn),若不能構(gòu)成空間基底,則共面,則共面,故A對;對于B,已知為空間的一個基底,則不共面,若,則也不共面,則也是空間的基底,故B對;對于C,因?yàn)?,則,若,則,但選項(xiàng)中沒有條件,有可能會出現(xiàn),故C錯;對于D,∵,則則直線與平面所成角的正弦值為,故D對;故選:ABD.12.(2020·山東平邑高二期末)如圖,一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體,其中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等,且它們彼此的夾角都是60°,下列說法中正確的是()A. B.C.向量與的夾角是60° D.與AC所成角的余弦值為【答案】AB【解析】以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都相等,它們彼此的夾角都是60°,可設(shè)棱長為1,則而,所以A正確.=0,所以B正確.向量,顯然為等邊三角形,則.所以向量與的夾角是,向量與的夾角是,則C不正確又,則,所以,所以D不正確.故選:AB13.(2020·福建廈門高二期末)正方體中,E、F、G、H分別為、BC、CD、BB、的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A. B.平面平面C.面AEF D.二面角的大小為【答案】BC【解析】由題可知,在底面上的射影為,而不垂直,則不垂直于,則選項(xiàng)不正確;連接和,E、F、G、H分別為、BC、CD、BB、的中點(diǎn),可知,所以平面,則平面平面,所以選項(xiàng)正確;由題知,可設(shè)正方體的棱長為2,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,則各點(diǎn)坐標(biāo)如下:,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,得,得平面的法向量為,所以,所以平面,則選項(xiàng)正確;由圖可知,平面,所以是平面的法向量,則.得知二面角的大小不是,所以不正確.故選:BC.14.正三棱柱中,,則()A.與底面的成角的正弦值為B.與底面的成角的正弦值為C.與側(cè)面的成角的正弦值為D.與側(cè)面的成角的正弦值為【答案】BC【解析】如圖,取中點(diǎn),中點(diǎn),并連接,則,,三條直線兩兩垂直,則分別以這三條直線為軸,軸,軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系;設(shè);則;,,,,1,,,,,,1,;,0,,.底面的其中一個法向量為:,與底面的成角的正弦值為,;錯對.的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,,;側(cè)面的其中一個法向量為:;與側(cè)面的成角的正弦值為:,;故對錯;故選:.三、單空題15.(2020·四川省南充市白塔中學(xué)高二月考(理))已知平面的一個法向量,,,且,則直線與平面所成的角為______.【答案】【解析】設(shè)直線與平面所成的角為,則,∴直線與平面所成的角為.故答案為:.16.(2019·河南高二競賽)等邊三角形與正方形有一公共邊,二面角的余弦值為,分別是的中點(diǎn),則所成角的余弦值等于.【答案】【解析】設(shè)AB=2,作CO⊥面ABDEOH⊥AB,則CH⊥AB,∠CHO為二面角C?AB?D的平面角,,OH=CHcos∠CHO=1,結(jié)合等邊三角形ABC與正方形ABDE可知此四棱錐為正四棱錐,故EM,AN所成角的余弦值。17.(2019·安徽埇橋北大附宿州實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末(理))若平面,的法向量分別為,,則這兩個平面所成的銳角的二面角的余弦值為________.【答案】【解析】兩個平面,的法向量分別為,,則這兩個平面所成的銳二面角的大小是,,這兩個平面所成的銳二面角的余弦值為.故答案為:.四、雙空題18.(2020·浙江寧波高二期末)在正四面體中,,分別為棱、的中點(diǎn),設(shè),,,用,,表示向量______,異面直線與所成角的余弦值為______.【答案】..【解析】畫出對應(yīng)的正四面體,設(shè)棱長均為1則(1).(2)由(1),又.又.設(shè)異面直線與所成角為則.故答案為:(1)..(2).19.(2018·北京海淀高二期末(理))已知棱長為的正四面體,為在底面上的正射影,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,為線段的中點(diǎn),則點(diǎn)坐標(biāo)是__________,直線與平面所成角的正弦值是__________.【答案】【解析】由題意易得:,,,的法向量為,,,.故答案為,20.(2020·山東德州高二期末)如圖,在直三棱柱中,,,則異面直線與所成角為______;二面角的余弦值是______.【答案】【解析】直三棱柱中,,,,如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,所以異面直線與所成角為;設(shè)平面的法向量為則即令,則顯然平面的一個法向量為故二面角的余弦值是故答案為:;21.如圖,在三棱錐中,,且,M、N分別是AB和SC的中點(diǎn),則異面直線SM與BN所成的角的余弦值為________,二面角大小為________.【答案】【解析】因?yàn)?,所以以S為坐標(biāo)原點(diǎn),SA,SB,SC所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則所以異面直線SM與BN所成的角的余弦值為,平面的一個法向量為,設(shè)平面的一個法向量為,則由得可取,因?yàn)槎娼菫殇J角,所以二面角大小為故答案為:,五、解答題22.(2020·上海高三專題練習(xí))如圖,在棱長為1的立方體中,是棱的中點(diǎn),為平面內(nèi)的點(diǎn).(1)若平面,確定點(diǎn)的位置;(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)是的中點(diǎn);(2)1【解析】以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖:由棱長為1可得,,,,,,由是棱的中點(diǎn)可得,(1)由為平面內(nèi)的點(diǎn)可設(shè),則,,,若平面,則,解得即,所以是的中點(diǎn);(2)由(1)知平面的一個法向量為,連接,可得,所以到平面的距離.23.(2020·全國高二課時練習(xí))在直三棱柱中,,,是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求直線到平面的距離.【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】(1)證明:連接交于點(diǎn),連接,則點(diǎn)為中點(diǎn),又是的中點(diǎn),所以,因?yàn)槠矫?,平面,所以平面;?)解:因?yàn)槠矫?,所以到平面的距離就等于點(diǎn)到平面的距離.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,.設(shè)平面的法向量為,所以,即,即令,則.所求距離為.24.(2019·天津南開崇化中學(xué)高二期中)如圖,四棱錐的底面是邊長為2的正方形,側(cè)面底面,且,,分別為棱,的中點(diǎn).(1)求證:;(2)求異面直線與所成角的余弦值;(3)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析;(2)(3)【解析】(1)證明:由題意可得:側(cè)面底面,取中點(diǎn),因?yàn)?,則交線,所以底面,如圖,以,所在直線分別為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,1,,,1,,,,,,0,,,,,則,則,所以;(2)解:設(shè)異面直線與所成角為,則.所以異面直線與所成角的余弦值為;(3)解:因?yàn)?設(shè)平面的一個法向量為,,,由,得,取,得,.所以,又,所以點(diǎn)到平面的距離.25.(2020·河南高三其他(理))《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年,在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qiandu);陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直

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