遼寧省錦州市某校2022-2023學年高二下學期第二次階段性考試數(shù)學試題（含答案解析）

2022~2023學年下學期第二次階段性考試高二數(shù)學試題考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：選擇性必修第二冊第四章，選擇性必修第三冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.某物體的運動路程s（單位：）與時間t（單位：）的關系可用函數(shù)表示，則該物體在時的瞬時速度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用瞬時速度的定義直接求解.【詳解】該物體在時間段上的平均速度為，當無限趨近于0時，無限趨近于4，即該物體在時的瞬時速度為4m/s.故選：D2.在等差數(shù)列中，若，，則公差等于（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的公差計算公式，代入計算，即可得到結果.【詳解】由題意可得.故選:C3.設某項試驗的成功率是失敗率的4倍，用隨機變量描述一次試驗的失敗次數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結合題意，利用兩點分布的方差公式求解即可.【詳解】由題知，服從兩點分布，且，，所以．故選：C.4.函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出導函數(shù)，由得函數(shù)增區(qū)間.【詳解】由題意得，令，得，故函數(shù)的單調遞增區(qū)間是.故選：A5.新型冠狀病毒引起的肺炎疫情暴發(fā)以來，各地醫(yī)療機構采取了各種針對性的治療方法，取得了不錯的成效，某地開始使用中西醫(yī)結合方法后，每周治愈的患者人數(shù)如表所示：周數(shù)（x）12345治愈人數(shù)（Y）21736103142由表格可得Y關于x的非線性回歸方程為，則此回歸模型第5周的殘差為（）A.0 B.2 C.3 D.―2【答案】D【解析】【分析】利用樣本中心點求出，得到回歸方程，可計算第5周的預測值和回歸模型第5周的殘差.【詳解】因為，，所以，所以，取，得，所以第5周的預測值為144，則此回歸方程第5周的殘差為．故選：D6.現(xiàn)有紅、黃、藍、綠、紫五只杯子，將它們疊成一疊，則在黃色杯子和綠色杯子相鄰的條件下，黃色杯子和紅色杯子也相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件概率的計算公式及排列組合中相鄰問題捆綁法策略即可求解.【詳解】解：記“黃色杯子和綠色杯子相鄰”為事件A，“黃色杯子和紅色杯子也相鄰”為事件B，則黃色杯子和綠色杯子相鄰，有種；黃色杯子和綠色杯子相鄰，且黃色杯子和紅色杯子也相鄰，有種；所以，故選：C.7.已知等差數(shù)列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入4個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構成一個新的等差數(shù)列，則（）A.4043 B.4044 C.4045 D.4046【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質求出，再代入即可.【詳解】設數(shù)列的公差為，由題意可知，，，，故，故，則．故選：C.8.已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將式子變形為，構造函數(shù),求導判斷單調性，進而將問題轉化成，分離參數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)求解最值即可.【詳解】等價于.令函數(shù)，則，故是增函數(shù).所以等價于，故，即.令函數(shù)，則.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，故實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點睛】對于利用導數(shù)求解參數(shù)范圍的問題的求解策略：1.通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2.利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．3.根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在曲線上的切線的傾斜角為點的橫坐標可能為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用導數(shù)的幾何意義即可.【詳解】切線的斜率，設切點為，則，又，所以，所以，，當時，，故AD正確.故選：AD10.在正項等比數(shù)列中，已知，，其前項和為，則下列說法中正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)，的值，可以算出公比，從而得到，即可判斷ABC；根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可判斷D選項.【詳解】設公比為，，，，A正確；所以，故B正確；則，故C錯誤；所以，故D正確.故選：ABD11.若函數(shù)的圖象上不存在互相垂直的切線，則實數(shù)的值可以是（）A. B.1 C.2 D.3【答案】AB【解析】【分析】將切線垂直，轉化為斜率乘積為，然后利用導數(shù)的幾何意義即可求出的范圍.【詳解】因為函數(shù)，所以，當且僅當，即時，等號成立，因為函數(shù)的圖象上，不存在互相垂直的切線，所以，即，解得.故選：AB12.如圖，是一塊半徑為1的半圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個剪掉半圓的半徑）得圖形，記紙板的周長為，面積為，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意，紙板相較于紙板剪掉了半徑為的半圓，故可得，用累加法可求得通項公式，代入選項可判斷AC選項，同理可求得，即可判斷BD選項.【詳解】根據(jù)題意可得紙板相較于紙板剪掉了半徑為的半圓，故，即，故，，，，…，，累加可得，所以，故A正確，C正確；又，故，即，又，，，…，，累加可得，故，故B，D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.A，B，C三個地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有，，的人患了流感．假設這三個地區(qū)的人口比例為，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人，則這個人患流感的概率為______．【答案】0.054##【解析】【分析】根據(jù)全概率公式即可得到答案.【詳解】由全概率公式得．故答案為：0.054.14.已知等比數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式可能是_________.（寫出滿足條件的一個通項公式即可）【答案】（答案不為一，滿足首項為的等比數(shù)列即可）【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算可得，進而即可由等比數(shù)列的通項即可求解.【詳解】由，得，所以，所以，取，則（寫出一個首項為的等比數(shù)列即可）.故答案為：15.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)確定函數(shù)的單調性，即可得，解一元二次不等式即可.【詳解】因為恒成立，所以函數(shù)在上單調遞增，若，則，解得.故答案為：16.某人射擊10次，每次中靶的概率均為且每次是否中靶相互獨立，記10次射擊中恰有3次中靶的概率為，則取最大值時，______.【答案】##0.3【解析】【分析】由題可得，后由導數(shù)相關知識可得答案.【詳解】由題，則.由于，所以在區(qū)間上，，單調遞增；在區(qū)間上，，單調遞減，所以取最大值時，.故答案：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知的兩個極值點分別為，2.（1）求a，b的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【答案】（1），（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）由題意可知即可求解（2）求導判斷單調性，求出極值和端點函數(shù)值即可比較得出結果.【小問1詳解】由題意可得：，則，解得經檢驗，-1，2為函數(shù)的極值點，故，.【小問2詳解】由（1）知，.令，解得，或；令，解得，則的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為，因為，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，又因為，，即，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.18.在①；②，，成等比數(shù)列；③.這三個條件中選擇一個，補充在下面問題中，并進行解答.已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的首項，__________.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）條件選擇見解析，（2）【解析】【分析】（1）選①②利用等差數(shù)列的基本量求解即可；選③利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式即可.（2）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，分組求和即可.【小問1詳解】設的公差為，∵，∴，解得，∴.選②因為成等比數(shù)列，所以，又，設的公差為，所以，解得或（舍），所以.選③設的公差為，∵，∴，即，∴，∴.【小問2詳解】因為，數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列是首項為3，公差為3的等差數(shù)列，所以.19.為了打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農科院針對玉米種植情況進行調研，力爭有效地改良玉米品種，為農民提供技術支持，現(xiàn)統(tǒng)計了25株抗倒伏玉米，20株易倒伏玉米的莖高情況，設莖高大于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米．完成以下問題．（1）完成以下的2×2列聯(lián)表：莖高倒伏合計抗倒伏易倒伏矮莖16高莖25合計（2）根據(jù)（1）中的列聯(lián)表，有99%的把握認為玉米倒伏與莖高有關嗎？附：，其中．0.050.010.001k3.8416.63510.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析（2）有99%的把握認為玉米倒伏與莖高有關【解析】【分析】（1）利用題目條件和列聯(lián)表中的已知數(shù)據(jù)，補全列聯(lián)表；（2）計算，與臨界值比較得到結論.【小問1詳解】補全列聯(lián)表如下所示：莖高倒伏合計抗倒伏易倒伏矮莖16420高莖91625合計252045【小問2詳解】由題意可知．由于，所以有99%的把握認為玉米倒伏與莖高有關．20.已知數(shù)列中，，（）.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設，，試比較與的大小.【答案】（1）見解析；（2）當時，有，當時，有.【解析】【詳解】試題分析：(1)由等差數(shù)列的定義即可證得數(shù)列是等差數(shù)列，進而取得求數(shù)列的通項公式是.(2)裂項求和，結合前n項和的特點可得當時，有，當時，有.試題解析：（1）解：∵，（），∴，即.∴是首項為，公差為的等差數(shù)列.從而.（2）∵，由（1）知.∴（）∴，而，∴當時，有；當時，有點睛：注意等差數(shù)列概念中的“從第2項起”與“同一個常數(shù)”的重要性.使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的．21.為普及航天知識，某航天科技體驗館開展了一項“摸球過關”領取航天紀念品的游戲，規(guī)則如下：不透明的口袋中有3個白球，2個紅球，這些球除顏色外完全相同．參與者每一輪從口袋中一次性取出3個球，將其中的白球個數(shù)記為該輪得分X，記錄完得分后，將摸出的球全部放回袋中．當參與者完成第n輪游戲，且其前n輪的累計得分恰好為2n時，游戲過關，可領取紀念品，同時游戲結束，否則繼續(xù)參與游戲．若第3輪后仍未過關，則游戲也結束．每位參與者只能參加一次游戲．（1）求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望；（2）若甲參加該項游戲，求甲能夠領到紀念品的概率．【答案】（1）分布列見解析，；（2）.【解析】【分析】（1）求出的可能值，及各個值對應的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）由（1）的信息，分類求出能領到紀念品的概率，再利用互斥事件的概率公式計算作答.【小問1詳解】依題意，隨機變量X可取的值為1，2，3，則，，，所以隨機變量X的分布列為：X123P0.30.60.1數(shù)學期望．【小問2詳解】由（1）知，參與者每輪得1分，2分，3分的概率依次為0.3，0.6，0.1，記參與者第i輪的得分為，則其前n輪的累計得分為，若參與者取球1次后可領取紀念品，即參與者得2分，則；若參與者取球2次后可領取紀念品，即參與者獲得的分數(shù)之和為4分，有“1+3”“3+1”的情形，則；若參與者取球3次后可領取紀念品，即參與者獲得的分數(shù)之和為6分，有“1+2+3”、“3+2+1”的情形，則；記“參與者能夠領取紀念品”事件A，則．22.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（2）若存在整數(shù)使得恒成立，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）求導得斜率，根據(jù)點斜式即可求解切線方程，（2）構造函數(shù)，利用導數(shù)求解單調性，結合零點存性定理即可求解.【小問1詳解】時，，，所以，，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】恒成立，即恒成立.令，則，令，則，令，則，所以函數(shù)在上遞增，即函數(shù)在上遞增，又，則當時，