廣東省湛江市美術(shù)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析VIP

廣東省湛江市美術(shù)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為的內(nèi)心，若，則該橢圓的離心率是

(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：A2.現(xiàn)有四所大學(xué)進(jìn)行自主招生，同時(shí)向一所高中的已獲省級(jí)競(jìng)賽一等獎(jiǎng)的甲、乙、丙、丁四位學(xué)生發(fā)出錄取通知書(shū)．若這四名學(xué)生都愿意進(jìn)這四所大學(xué)的任意一所就讀，則僅有兩名學(xué)生被錄取到同一所大學(xué)的就讀方式有(A)288種.

(B)144種.

(C)108種.

(D)72種.參考答案：A略3.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A該幾何體為多面體為一個(gè)直三棱柱截取一個(gè)角得到，如圖，．4.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則△的面積為（

）A． B． C． D．參考答案：B5.設(shè)函數(shù),則(

)A.當(dāng)k=2013時(shí)，在x=1處取得極小值B.當(dāng)k=2013時(shí)，在x=1處取得極大值C.當(dāng)k=2014時(shí)，在x=1處取得極小值D.當(dāng)k=2014時(shí)，在x=1處取得極大值參考答案：C6.若集合，，則的真子集的個(gè)數(shù)是（

）

A．7

B．8

C．15

D．16參考答案：A7.設(shè)，則（）

A)a<b<c

B)a<c<b

C)b<c<a

D)b<a<c參考答案：D8.在區(qū)域中，若滿足的區(qū)域面積占面積的，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】畫(huà)出區(qū)域，以及，根據(jù)的區(qū)域面積占面積的列方程，解方程求得的值.【詳解】畫(huà)出區(qū)域如下圖所示，其中.當(dāng)時(shí)，由得，由圖像可知滿足的區(qū)域面積占面積不小于,不合題意.當(dāng)時(shí)，由得，設(shè)直線交直線于，由，得，代入得，將代入，解得，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查不等式組組成區(qū)域的畫(huà)法，考查兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)問(wèn)題求解，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.9.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且2f′（x）＞1，當(dāng)x∈[﹣，]時(shí)，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2的解集為（）A．（，） B．（﹣，） C．（0，） D．（﹣，）參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）﹣，可得g（x）在定義域R上是增函數(shù)，且g（1）=0，進(jìn)而根據(jù)f（2cosx）＞﹣2sin2可得2cosx＞1，解得答案．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣，則g′（x）=f′（x）＞0，∴g（x）在定義域R上是增函數(shù)，且g（1）=f（1）=0，∴g（2cosx）=f（2cosx）﹣cosx=f（2cosx）﹣cosx，令2cosx＞1，則g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞+cosx，又∵x∈[﹣，]，且2cosx＞1∴x∈（﹣，），故選：D10.的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)是（

）A．－5

B．5

C．－10

D．10參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分線，△ADC的外接圓交BC于點(diǎn)E，AB=2AC=6，EC=6，則AD的長(zhǎng)為

．參考答案：考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．專題：選作題；推理和證明．分析：連接DE，證明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，結(jié)合角平分線性質(zhì)，即可證明BE=2AD，根據(jù)割線定理得BD?BA=BE?BC，從而可求AD的長(zhǎng)．解答： 解：連接DE，∵ACED是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分線，∴AD=DE，∴BE=2AD，設(shè)AD=t，則BE=2t，BC=2t+6，根據(jù)割線定理得BD?BA=BE?BC，即（6﹣t）×6=2t?（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得t=或﹣6（舍去），則AD=．故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形相似，考查角平分線性質(zhì)、割線定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．12.已知函數(shù)則的值為

.參考答案：13.已知，，則__________．參考答案：314.已知，若函數(shù)圖象的任何一條對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間，則的取值范圍是

．（結(jié)果用區(qū)間表示）參考答案：15.設(shè)x，y滿足約束條件，向量，且，則的最小值為

．參考答案：-616.拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸，有且只有一條直線l過(guò)焦點(diǎn)與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，且|AB|=1，則拋物線方程為

.參考答案：17.已知銳角滿足則_________.參考答案：1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（18分）記無(wú)窮數(shù)列{an}的前n項(xiàng)a1，a2，…，an的最大項(xiàng)為An，第n項(xiàng)之后的各項(xiàng)an+1，an+2，…的最小項(xiàng)為Bn，令bn=An﹣Bn．（1）若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n2﹣n+1，寫(xiě)出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{an}遞增，且{an+1﹣an}是等差數(shù)列，求證：{bn}為等差數(shù)列；（3）若數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=1﹣2n，判斷{an+1﹣an}是否為等差數(shù)列，若是，求出公差；若不是，說(shuō)明理由．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；等差關(guān)系的確定；等比關(guān)系的確定．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n2﹣n+1，可得：a1=2，an，n≥1時(shí)為單調(diào)遞增數(shù)列．可得A1=a1=2，B1=a2=7，b1=﹣5．同理可得b2=A2﹣B2=a2﹣a3．可得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=An﹣Bn=an﹣an+1．（2）由數(shù)列{an}遞增，可得An=an，Bn=an+1，可得bn=An﹣Bn=an﹣an+1=﹣（an+1﹣an），即可證明．（3）設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，先證明：bn=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數(shù)列，即可得出．解答： （1）解：數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n2﹣n+1，a1=2，+，n≥1時(shí)為單調(diào)遞增數(shù)列．∴A1=2，B1=a2=2×22﹣2+1=7b1=2﹣7=﹣5．同理可得b2=A2﹣B2=a2﹣a3=﹣9．∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=An﹣Bn=an﹣an+1=2n2﹣n+1﹣=﹣4n﹣1；（2）證明：∵數(shù)列{an}遞增，∴An=an，Bn=an+1，∴bn=An﹣Bn=an﹣an+1=﹣（an+1﹣an），∵{an+1﹣an}是等差數(shù)列，∴{bn}為等差數(shù)列．（3）解：設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，先證明：bn=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數(shù)列；充分性：設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則an=a1+（n﹣1）d，∴An=an=a1+（n﹣1）d，Bn=an+1=a1+nd，∴dn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．必要性：若bn=An﹣Bn=﹣d，（n=1，2，3，4…）．假設(shè)ak是第一個(gè)使ak﹣ak﹣1＜0的項(xiàng)，則dk=Ak﹣Bk=ak﹣1﹣Bk≥ak﹣1﹣ak＞0，這與dn=﹣d≤0相矛盾，故{an}是一個(gè)不減的數(shù)列．∴dn=An﹣Bn=an﹣an+1=﹣d，即an+1﹣an=d，故{an}是公差為d的等差數(shù)列．而數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=1﹣2n，bn+1﹣bn=﹣2，∴{an+1﹣an}是公差為2等差數(shù)列．點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性、充要條件，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．19.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a5=5，若（6﹣a1）=a2+a3，且A、B、C三點(diǎn)共線（O為該直線外一點(diǎn)）；點(diǎn)列（n，bn）在函數(shù)x的反函數(shù)的圖象上．（1）求an和bn；（2）記數(shù)列Cn=anbn+bn（n∈N*），若{Cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求使不等式成立的最小自然數(shù)n的值．參考答案：解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則∵（6﹣a1）=a2+a3，且A、B、C三點(diǎn)共線，∴由三點(diǎn)共線的條件，可得6﹣a1=a2+a3，∴a1+d=2，∵a5=5，∴a1+4d=5，∴d=1，a1=1，∴an=n；∵點(diǎn)列（n，bn）在函數(shù)x的反函數(shù)的圖象上∴；（2）Cn=anbn+bn=，∴Tn=，∴Tn=兩式相減，可得Tn==∴Tn=∴3﹣Tn=∴等價(jià)于∴n＞6∴使不等式成立的最小自然數(shù)n的值為7．略20.（本小題滿分13分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，，為數(shù)列的前項(xiàng)和．（Ⅰ）若數(shù)列，都是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，試比較與的大?。畢⒖即鸢福好}意圖：本題綜合考察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和，中等題．（Ⅰ）數(shù)列，都是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，則

得，

∴

…………………5分（Ⅱ）由于①當(dāng)時(shí)，②由①-②得：又

∴

，………10分又∴∴

……………13分21.

某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)2013年1月份起前x個(gè)月的旅游人數(shù)的和p（x）（單位：萬(wàn)人）與x的關(guān)系近似地滿足.已知第x月的人均消費(fèi)額q（x）（單位：元）與x的近似關(guān)系是

（I）寫(xiě)出2013年第x月的旅游人數(shù)（單位：人）與x的函數(shù)關(guān)系式；

（II）試問(wèn)2013年第幾月旅游消費(fèi)總額最大，最大月旅游消費(fèi)總額為多少元？

參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

……2分當(dāng)，且時(shí)，…4分驗(yàn)證符合

……6分（Ⅱ）第月旅游消費(fèi)總額為即

……8分當(dāng)，且時(shí)，，令，解得，（舍去）.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元）.

……10分當(dāng)，且時(shí)，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元），

綜上，2013年第5月份的旅游消費(fèi)總額最大，最大消費(fèi)總額為3125萬(wàn)元.

…12分略22.（本小題滿分14分）在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東

(其中，)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）;（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由參考答案：解:（I）如圖，AB=40，AC=10，

………2分由于,所以cos=

………4分由余弦定理得BC=……6分所以船的行駛速度為（海里/小時(shí)）

………7分（II）解法一

如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)有，x1=y1=AB=40,

………8分x2=ACcos,y2=ACsin

………10分所以過(guò)點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.

………11分又點(diǎn)E（0，