2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版2019題型講義第17講復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

第17講復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算①?gòu)?fù)數(shù)的加法與減法運(yùn)算法則若設(shè)，是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則，②復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律1.交換律：z1＋z2＝z2＋z1；2.結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算①?gòu)?fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則設(shè)，(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．②共軛復(fù)數(shù)的概念已知，則的共軛復(fù)數(shù)為③復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則設(shè)，(a，b，c，d∈R)，則【題型目錄】題型一：復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算題型二：復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算題型三：虛數(shù)單位的冪的周期性題型四：共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用題型五：解復(fù)數(shù)方程【典型例題】題型一：復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算【例1】已知為虛數(shù)單位，計(jì)算下列各式．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則運(yùn)算即得.（1）；（2）；（3）；（4）．【例2】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，，，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)加法計(jì)算出實(shí)部和虛部，根據(jù)復(fù)數(shù)平面判斷即可.【詳解】因?yàn)閦＝z1＋z2＝＋＝－2＋i，所以實(shí)部小于0，虛部大于0，故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限故選:B【例3】當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【詳解】由題意得，，，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選：．【例4】（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算直接計(jì)算作答.【詳解】.故選：A【題型專練】1．復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得出答案.【詳解】，故虛部為.故選：D.2．等于（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接由復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算求解即可.【詳解】.故選：D.3．已知是虛數(shù)單位，則（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算，直接求得答案.【詳解】由題意得，，故選：B4．在復(fù)平面上，四個(gè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，其中三個(gè)復(fù)數(shù)分別是，則第四個(gè)復(fù)數(shù)是__________．【答案】##【分析】設(shè)第四個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,利用與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量相等即可求得答案.【詳解】設(shè)正方形的三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為設(shè)由題意得,,即，即第四個(gè)復(fù)數(shù)是.故答案為:題型二：復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算【例1】已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則的虛部為（）A．B．26C．D．13【答案】C【分析】將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選:C.【例2】若為實(shí)數(shù),且,則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可得,故選D.【例3】已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∴，∴z=，故選C.【例4】設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，，則（）A．-5B．5C．-4+iD．-4-i【答案】A【解析】由題意，得，則，故選A．【例5】已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先由復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出，再求出虛部即可.【詳解】，故虛部為.故選：C【例6】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣2【答案】B【解析】∵又因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi)，∴，得﹣1＜a＜1．∴實(shí)數(shù)a的值可以是0．【例7】復(fù)數(shù)，則共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)乘方、模、除法運(yùn)算求得，進(jìn)而求得，從而求得的虛部.【詳解】，，，，，其虛部為.故選：D【題型專練】1.已知復(fù)數(shù)，則下面關(guān)于復(fù)數(shù)z的命題正確的是（）A．B．復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C．D．復(fù)數(shù)z的虛部與實(shí)部互為相反數(shù)【答案】D【解析】解：由，得，所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，，實(shí)部為虛部為，故選：D2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】C【解析】由，得，則，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第三象限.3.若是純虛數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】D【解析】為純虛數(shù)，則，解得，，因此，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選：D.4.已知，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為.【答案】【解析】為實(shí)數(shù)，則.5.是虛數(shù)單位，則的值為_(kāi)_________.【答案】【解析】．6．設(shè)，則（）A．1B．C．2D．【答案】D【分析】計(jì)算，再計(jì)算模長(zhǎng)得到答案.【詳解】，則，故.故選：D7．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算求得，進(jìn)而求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，故z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限．故選：D題型三：虛數(shù)單位的冪的周期性【例1】化簡(jiǎn)：z=i【解析】解：∵2i∴z=＝i3+i1010＝﹣i+i4×252+2＝﹣1﹣i．故答案為：﹣1﹣i．【例2】復(fù)數(shù)的虛部為（）A．B．1C．D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意得到，從而得到，即可得到答案.【詳解】因?yàn)樗?，即虛部?1.故選：A【題型專練】1．已知，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】C【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法和乘方化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，進(jìn)而可得，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即得.【詳解】因?yàn)?，∴，所以?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限．故選：C.2.設(shè)是虛數(shù)單位，則（）A．B．C．1D．【答案】C【解析】由于，所以．題型四：共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用【例1】已知復(fù)數(shù)滿足，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．的實(shí)部與虛部之積為B．的共軛復(fù)數(shù)為C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn)．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)得，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部可判斷A，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷B，根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算可判斷D.【詳解】由得，對(duì)于A,復(fù)數(shù)的虛部為1，實(shí)部為2，故A正確，對(duì)于B,的共軛復(fù)數(shù)為,B正確，對(duì)于C,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故點(diǎn)在第一象限，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，D正確，故選：C【例2】若，，是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A．B．2C．D．10【答案】C【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念寫(xiě)出，然后，求出，進(jìn)而求出的模長(zhǎng).【詳解】，所以，故選：C【例3】若，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，.【題型專練】1．已知復(fù)數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則以及共軛復(fù)數(shù)的定義即可求解.【詳解】由得，所以故選：A．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】D【解析】的共軛復(fù)數(shù)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限，故選D.【例5】（2020·江西省南昌十中高三其他（文））復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)滿足，則z＝（）A．2+iB．2﹣iC．l+2iD．1﹣2i【答案】A【解析】由5，得，∴z＝2+i.3.設(shè)有下面四個(gè)命題：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)，則.其中的真命題為A.B．C．D．【答案】B【解析】令，則由得，所以，故正確；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，而知，故不正確；當(dāng)時(shí)，滿足，但，故不正確；對(duì)于，因?yàn)閷?shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實(shí)數(shù)，故正確，故選B.4.已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘方的運(yùn)算得周期，即可化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，在按照復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化成一般形式，即可求共軛復(fù)數(shù)，于是可得的虛部.【詳解】解：在復(fù)數(shù)中：，故周期為4，則且所以則，所以的虛部為.故選：C.題型五：解復(fù)數(shù)方程【例1】已知（i為虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，若，則（）A．0B．C．2D．【答案】A【分析】將代入方程，整理后根據(jù)復(fù)數(shù)相等可解.【詳解】由題知，，整理得所以，故選：A【例2】已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的根，則（）A．1B．C．D．2【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)一元二次方程的求根公式得到的根，從而得到，再由復(fù)數(shù)的模的定義即可求解.【詳解】復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的根，又，該方程的根為，即或，則,故選：A.【例3】“虛數(shù)”這個(gè)詞是世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)造的，當(dāng)時(shí)的觀念認(rèn)為這是不存在的數(shù)．人們發(fā)現(xiàn)即使使用全部的有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，也不能解決代數(shù)方程的求解問(wèn)題，像這樣最簡(jiǎn)單的二次方程，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒(méi)有解．引進(jìn)虛數(shù)概念后，代數(shù)方程的求解問(wèn)題才得以解決．設(shè)是方程的根，則（）A．B．C．是該方程的根D．是該方程的根【答案】AD【分析】求出方程的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可判斷AB選項(xiàng)；利用代入法可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算得出，可判斷D選項(xiàng).【詳解】解方程，即，解得，所以，與為方程的兩根.對(duì)于AB選項(xiàng)，由韋達(dá)定理可得，，A對(duì)B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，故不是方程的根，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，若，則，所以，是該方程的根，D對(duì).故選：AD.【例4】關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程．(1)若方程有一個(gè)根是，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)虛根滿足，求的值．【答案】(1)9(2)【分析】（1）將代入方程，根據(jù)實(shí)部、虛部為0求得的值；（2）用求根公式直接求出兩個(gè)虛根，代入求的值．【詳解】（1）因?yàn)闉榉匠痰囊桓?，所以，即，所以且，故，所以?）方程有兩個(gè)虛根，則，故，因?yàn)榈膬蓚€(gè)虛根為，所以，故，所以滿足條件.綜上：【例5】復(fù)數(shù)的平方根是___________.【答案】【分析】令且，應(yīng)用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等列方程組求參數(shù)，即可得到平方根.【詳解】令且，∴，即，解得或，∴復(fù)數(shù)的平方根是.故答案為：【題型專練】1．已知，若關(guān)于的方程的一個(gè)根為，為虛數(shù)單位，則___________.【答案】60【分析】根據(jù)一元二次方程的虛數(shù)根為共軛復(fù)數(shù)，再結(jié)合韋達(dá)定理可求得，即可得解.【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于的方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為，所以，所以，所以.故答案為：.2．已知是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，那么該方程在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的另一個(gè)根是___________．【答案】【分析】根據(jù)方程根的定義，將代入原方程，解得的值，再利用配方法解方程，可得答案.【詳解】已知是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則，即，則，可得，可得方程：，由配方法可得：，解得：，故答案為：.3．已知方程有兩個(gè)虛根，若（i為虛數(shù)單位），則m的值是___________.【答案】【分析】由實(shí)系數(shù)方程有虛根的性質(zhì)求出，再由根系關(guān)系即可求m值.【詳解】由題意且互為共軛復(fù)數(shù)，若，則且，所以，，而，經(jīng)驗(yàn)證滿足題設(shè).故答案為：4．為求方程的虛根，可把原式變形為，由此可得原方程的一個(gè)虛根的實(shí)部為_(kāi)_____________.【答案】或【分析】由，對(duì)比系數(shù)得，解出即可得出．【詳解】，對(duì)比系數(shù)得，解得，或，所以原方程的虛根為，故原方程的一個(gè)虛根的實(shí)部為，或．故答案為：或．5．已知復(fù)數(shù)滿足，，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.(1)求復(fù)數(shù)；(2)若復(fù)數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根，求的值.【答案】(1