gs多元函數(shù)的偏導數(shù)

會計學1gs多元函數(shù)的偏導數(shù)在二元函數(shù)z=f

(x,y)中,有兩個自變量x,y,但若固定其中一個自變量,比如,令y

=y0,而讓x

變第1頁/共65頁.化則z成為一元函數(shù)x,y0),z=f(我們可用討論一元函數(shù)的方法來討論它的導數(shù),稱為偏導數(shù).一、偏導數(shù)的定義設z

=f

(X)=f

(x,y)在X0

=(x0,y0)的某鄰域U(X0)內(nèi)有定義.固定y

=y0,在x0給

x

以增量

x

.

相應函數(shù)增量記作稱為z在點0X處關于x的偏增量.定義第2頁/共65頁則稱這個極限值為z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數(shù).即此時也稱f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數(shù)存在.否則稱f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數(shù)不存在.第3頁/共65頁類似,若固定x

=x0,而讓y

變,z

=f

(x0,y)成為

y

的一元函數(shù).則稱它為z=f(x,y)在(x0,y0)處對y的偏導數(shù).即第4頁/共65頁若z

=f

(x,y)在區(qū)域D

內(nèi)每一點(x,y)處時x的偏導數(shù)都存在,

即

(x,

y)

D,存在.此時,它是x,y的二元函數(shù).稱為z

對x

的偏導函數(shù).簡稱偏導數(shù).類似定義z對y的偏導函數(shù).第5頁/共65頁1.由偏導數(shù)定義知,所謂f

(x,y)對x

的偏導數(shù),就是將y

看作常數(shù),將f

(x,y)看作一元函數(shù)來定義的.第6頁/共65頁注因此,在實際計算時,求f"x(x,y)時,只須將y看作常數(shù),用一元函數(shù)求導公式求即可.求f"y(x,y)時,只須將x看作常數(shù),用一元函數(shù)求導公式求即可.x

0

0第7頁/共65頁x在點(x0,y0)的值.算xf"x(0,y0)可用3種方法.2.f

"

(x

,

yx0f"y,y)0(

)就是f"(x,)x(yf"y,y)f"y(x0,y0)(1)用定義算.(2)先算f"x(x,y),再算f"x(x0,y0)f"y(x,y),f"y(x0,y0).0再算f"x

(x,y0)再算f"x

(x0,y0)(3)先算f

(x,y

)(,fx0,y),,,)yf"y(x0f"y(x0,y0).例1.解::或f(x,2)=x2+6x+4,第8頁/共65頁f"x(x,2)=2x+6,故f"x(1,2)=2+6=8.例2.解::第9頁/共65頁例3.解::偏導數(shù)的概念可推廣到三元以上函數(shù)中去.比如,設u=f(x,y,z).它的求法,就是將y,z均看作常數(shù)來求即可.第10頁/共65頁例4.解::第11頁/共65頁由一元函數(shù)的導數(shù)的幾何意義,可以得到偏第12頁/共65頁設f(,xy)z=在點0X,)0y0x(=導數(shù)的幾何意義.處的偏導存在,記f(x0,y0)=.z0點0,y(0,z0M)0x則二、偏導數(shù)的幾何意義f"(x,y)就是以平面=yy與曲面z=f(x,y)相截,得到截線.00x

0

1第13頁/共65頁1上點M0(x0,y0,z0)處切線對x軸的斜率.而f"(x

,y

)就是以就是以平面x

=x

與曲面y

0

0

022上點zxM0)0,0y,0(z

=

f

(x,

y)

相截,

得到截線

.處切線對y軸的斜率.故只須搞清一元函數(shù)f(x,y0)的幾何意義.就可得到f"x(x0,y0)的幾何意義.以平面y=y0與曲面z=f(x,y)相截,得截線1:z=f(x,y)第14頁/共65頁y=y0也就是z=f(x,y0).且M0(x0,y0,z0)在1上.即z=f(x,y0)表示平面y=y0與曲面z=f(x,y)的交線1.f(x,y0)z=上點0M處的切線對x的斜率.第15頁/共65頁如圖yxzoz

=

f

(x,

y)X0M0即f"x(x0,y0)表示0y=y與)x,y=f(z的交線在0M處的切線對x的斜率.T11:z

=

f

(x,

y0)1y0第16頁/共65頁yxzoz

=

f

(x,

y)M0X022:z

=

f

(x0

,

y)類似得)0y,0x(y"f的幾何意義.如圖即x0,y0)f"y(表示0x=x與z=f(x,y)的交線在M0處的切線對y的斜率.x0T2第17頁/共65頁在一元函數(shù)中,可導必連續(xù),但對多元函數(shù)不適用.即,對多元函數(shù)f

(X)而言,即使它在X0的對各個自變量的偏導數(shù)都存在,也不能保證f(X)在X0

連續(xù).第18頁/共65頁三、偏導與連續(xù)的關系例5.設證明z=f(x,y)在(0,0)的兩個偏導都存在,但它在(0,0)不連續(xù).第19頁/共65頁證::前邊已證z=f(x,y)在(0,0)的極限不存在,因此它在(0,0)不連續(xù).0=0=第20頁/共65頁故z

=f

(x,y)在(0,0)的兩個偏導都存在,但它在(0,0)不連續(xù).下證=,yx)z(f在(0,0)的兩個偏導都存在.從幾何上看,f"x

(x0,y0)存在.只保證了一元函數(shù)f

(x,y0)在x0

連續(xù)也.即y

=y0

與z

=f

(x,第21頁/共65頁10

0

0

0y)的截線 在

M

=

(x

,

y

,

z

)是連續(xù)的.同理,f"y

(x0,y0)存在.只保證了x

=x0

與z20=

f

(x,

y)的截線 在

M

連續(xù).但都不能保證曲面z=f(x,y)在M0連續(xù).換句話說,當X

從任何方向,沿任何曲線趨于X0時,f

(X)的極限都是f

(X0).顯然,上邊兩個條件都不能保證它成立.第22頁/共65頁例..易知,f

(x,y)在(0,0)的兩個偏導都存在,且為但它在(0,0)不連續(xù).0.如圖yxzo第23頁/共65頁§1－4第24頁/共65頁多元函數(shù)的微分改變量較麻煩,希望找計算它的近似公式.第25頁/共65頁該近似公式個應滿足1)(好算.)2(有起碼的精度.在實際中,常需計算當兩個自變量都改變時,二元函數(shù)z

=f

(X)=f

(x,y)的改變一般說來,算這0

0

0

0量

f

(x

+

x,

y

+

y)

–

f

(x

,

y

).一、全微分的概念類似一元函數(shù)的微分概念,引進記號和定義.第26頁/共65頁記z=f(x0+x,y0+y)–f(x0,y0).=f(X+X)–f(X0).其中X0=(x0,y0).X=(x,y)稱為z=f(X)=f(x,y)在點X0=(x0,y0)的全增量.設z

=f

(X)=f

(x,y)在U(x0)內(nèi)有定義.(x0+若

z

=

f

(x,

y)在點(x0,

y0)

的全增量

z

=

fx,

y0

+

y)

–

f

(x0,

y0)能表成z=ax+by+0(||X||)其中a,b是只與0x0,y有關,而與x,y無關的常數(shù).定義第27頁/共65頁稱ax+by為z=f(x,y)在點0y,0x()處的全微分.則稱,yx(f=z)在點0x(,y0)可微.第28頁/共65頁1.按定義,z=f(x,y)在點0,y0)(x可微注第29頁/共65頁2.若z在點X0=(x0,y0)可微即z–(ax+by)=0(||X||)第30頁/共65頁3.若z

=f

(x,y)在區(qū)域D

內(nèi)處處可微.則第31頁/共65頁稱

z

=

f

(x,

y)在

D

內(nèi)可微.

z

在(x,

y)

D

處的全微分記作dz.即dz=a(x,y)x+b(x,y)y它實際上是一個以x,y,x,y為自變量的四元函數(shù).對照一元函數(shù)的微分,z=f(x),若z=ax+0第32頁/共65頁(x)則dz=a)=xf"(x·x.自然會提出以下問題.(1)若z=f(x,y)在點(x,y)可微,微分式dz=ax+by中系數(shù)ba,如何求,是否與z的偏導有關?00(2)在一元函數(shù)中,可微與可導是等價的.在二元函數(shù)中,可微與存在兩個偏導是否也等價?(3)在一元函數(shù)中,可微連續(xù),對二元函數(shù)是否也對?設z

=f

(x,y)在點(x0,y0)可微,要證z

在(x0,y0)連續(xù).則z=f(x0+x,y0+y)–f(x0,y0)令x0,y0,由最后一式知,z0.第33頁/共65頁結(jié)論:對二元函數(shù)

z

=f

(x,第34頁/共65頁y),z

在(x0,

y0)可微(不是存在兩個偏導)

z

在(x0,

y0)連續(xù).若z

=f

(x,y)在點X

=(x,y)處可微,則z=f

(x,y)在點(x,y)處兩個偏導證:因z

在(x,y)處可微,由定義,z

的全增量.此式對任何充分小的,xy都成立.且z在,x(y)處的全微分為定理1第35頁/共65頁特別,當y=0時,有同除以x(0),并令x0.得=a第36頁/共65頁定理1回答了問題1,并指出二元函數(shù)z

=f

(x,y)可微存在兩個偏導,第37頁/共65頁反之不對.右端式子也可寫出.可能不是全微分.從而z不能寫成定義中的形式,故不可微.第38頁/共65頁例11..證明z在(0,0)處的兩個偏導存在,但z在(0,0)不可微.證::由偏導定義=0=0第39頁/共65頁而故z在(0,0)不可微.第40頁/共65頁若z

=f

(X)=f

(x,y)的兩個偏導數(shù)f"x第41頁/共65頁(x,y),f"y

(x,y)在X0

=(x0,y0)的某鄰域U(x0)內(nèi)存在,且它們都在X0

=(x0,y0)連續(xù),則z

=f

(x,y)在(x0,y0)可微.定理2因f"x

(x,y),f"y

(x,y)在U(x0)內(nèi)存在.第42頁/共65頁證::由偏導數(shù)的定義,以及一元函數(shù)可導與連續(xù)的關系知.對于固定的y,以x為自變量的一元在該鄰域所對應的x的區(qū)間上連續(xù),可導.函數(shù)z

=f

(x,y)以y為自變量的一第43頁/共65頁元函數(shù)z

=f

(x,y)在該鄰域所對應的y

的區(qū)間上連續(xù),可導.從而它們都滿足拉格朗日中值定理條件(在相應區(qū)間上).對于固定的,xz=f(x0+x,y0+y)–f(x0,y0)第44頁/共65頁=[f(x0+x,y0+y)–f(x+0y,0xy(f[]y0+0,+))y–x0,y0)]f(在上式第一括號中,將+y0y固定.則它是以x為自變量的一元函數(shù)0y,x(f+)y在x0,x0+[x]上的改變量.因

f

(x,

y0+

y)在x]上滿足拉格朗日中值定理條件,

從[x0,

x0+而,取+0x(+0y,xy))0X(Uf(x0+x,y0+y)–f(x0,y0+y)第45頁/共65頁=f"x(x0+1x,y0+y]

x,其中0<1<1同理f(x0,y0+y)–f(x0,y0)=f"y(x0,y0+2y]y,0<2<1故z=f"x(x0+1x,y0+y]x+f"x(x0,y0+2y]y因f"x

(x,y),f"y

(x,y)都在(x0,y0)連續(xù).由極限與無窮小量的關系,第46頁/共65頁其中10(,x,0y0時)有x+0f"x(1+x,y0x=f"+)0y,0x(y)1有,(y"f+0y,0x2y)=f"(x0,y0)+y2其中20,(x0,y0時)因此,z=f0(y,0xx")(yxx)0y,0f"+(+y1x+2)y第47頁/共65頁由于+z=f"x(x010+xy,y]x(x0,y0+x+f"2y]y+0x(x"f1+0y,x)=f"(x0,y0)+xy1易見|1|+|2|0,(x0,y0時)由全微分的定義知z=f(x,y),在x0,y0)(可微.即第48頁/共65頁在點X處雅可比向量(矩陣).也記作(z).第49頁/共65頁若z

=f

(X)在區(qū)域D

內(nèi)有一階連續(xù)偏導.

則記

f

(X)

C1(D)和一元函數(shù)微分一樣,自變量x,y

的微分就等于它們的改變量,

即dx

=

x

,

dy

=

y

.且記dX

=

(dx

,

dy)最后一式表數(shù)量積.4.全微分的概念可推廣到三元以上的函數(shù)中去.且,若u=f(x,y,z)可微,則因此,全微分公式可寫為第50頁/共65頁2例2.求z=xcosxy的全微分.解:故dz=(2xcosxyx2ysinxy)dxx3sinxydy第51頁/共65頁例3.求z

=exy

在點(2,1)處的全微分.解:故dz

=yexydx

+xexydy第52頁/共65頁例4.求u

=xyz

的全微分.解:故du

=yzxyz–1

dx

+zxyz

lnxdy+yxyzlnxdy=

xyz–1

(yzdx

+

xzlnxdy

+

xylnxdy)第53頁/共65頁則(X)(1)d(fdf(g)X(X))=dg(X)f(X))=kdf(X),k(2)d(k為常數(shù).(X)g(X))=g(X)df(X)+f(X)dg(X)d(f(3)(4)其中g(shù)(X),0.第54頁/共65頁定理3設多元函數(shù)f(X),g(X)在點X可微,設z

=f

(X)=f

(x,y)在X0

=(x0,y0)的某鄰域U(X0)內(nèi)存在偏導數(shù)f"x

和f"y

,則對任意的X

=

(x,

y)1,

1),X2

=

(U(X0),至少存在兩點X1

=(2,

2)

U(X0),使得證::回憶一元函數(shù)拉格朗日中值定理.二、微分中值定理第55頁/共65頁定理44由于f"x

和f"y

在U(X0)內(nèi)存在.而對于固定的y,f

(x,y)是以x

為自變量的一元函數(shù)在,對應的x的區(qū)間上連續(xù),可導.滿足拉格朗日中值定理條件有.同理,第56頁/共65頁其中,1介于x0,x之間,2介于y0,y之間.(X0)UX=(x,

y)(x0,

y)X1X2X0

=

(x0,

y0)記,y=1=2,0x有第57頁/共65頁一般,若n元函數(shù)z

=f

(X)在點X0的某鄰域U(X0

)內(nèi)存在對各變量的偏導,則對任意的X

=(x1,x2,…,xn)∈U(X0),存在n

個點第58頁/共65頁設

z=

f

(X)=

f

(x,

y)

在閉區(qū)域D

R2上連續(xù),在開區(qū)域D

內(nèi)存在連續(xù)偏導數(shù)f"